1、2.1 2.1 引引 言言问题问题： 通过考察信号在采样时刻的行为，如何把一个连续时间系统转换为一个离散时间系统？注意注意： 1. 采样数据系统是一个时变系统，本章回避这个问题，仅研究与计算机时钟相同步的那些时刻的信号。 2. 面向计算机的数学模型仅仅给出在采样点上的特性，而物理过程本身仍是一个连续时间系统。 2.2 2.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样n采样采样意味着“连续时间信号由一个数值序列所代替，这个序列代表了某些时刻的信号值”。n过程变量模拟变换器有关的采样数值序列 处理后新的数值序列转换为连续时间信号作用于过程。(采样过程采样过程 重构过程重构过程) n计算机接收受控过程在
2、离散时间上的测量值，并在离散时间上发送新的控制信号。描述信号在逐个样点上的变化，而不关心样点之间的特性。(差分方程差分方程)图2.1 计算机控制系统的原理框图2.3 2.3 连续时间状态空间系统的采样连续时间状态空间系统的采样问问 题：题： 1. 利用A/D和D/A变换器可以把一个连续时间系统和计算机连接起来，如何描述这样的系统？ 2. 计算机里的信号序列u(tk)和y(tk)，如何寻求这两个序列的关系？把寻找一个与连续时间系统相对应的离散时间系统称为连连续时间系统的采样续时间系统的采样，所得到的模型亦称为频闪模型频闪模型。 图2.2 连接有A/D和D/A转换器的连续时间系统框图 2.3 2.
3、3 连续时间状态空间系统的采样连续时间状态空间系统的采样连续时间系统由下列状态空间方程表示 ： (2.1) 系统具有r个输入，p个输出，且阶数为n。 系统的零阶保持采样系统的零阶保持采样 在计算机控制中，普遍的把D/A变换器设计成这样，即在指定下一个变换之前，它一直保持模拟信号恒定不变。通常，这样称之为零阶保持电路零阶保持电路。 d( )( )dtttxAxBu( )( )( )tttyCxDu采样时刻上系统变量之间的关系采样时刻上系统变量之间的关系当给定系统在采样时刻tk时的状态，则通过求解方程(2.1)便能得到某个未来时刻t的系统状态。于是，当tkt tk+1时，t时刻的状态为： (2.2
4、) 这样，t时刻的状态变量向量为x(tk)和u(tk)的线性函数。如果A/D和D/A变换器是完全同步的，并且变换时间可以忽略不计，那么我们可以把输入u和输出y看作是在同一瞬间进行的采样。 (2.3)( -)( - )( -)( - )( -)0( )e( )+e( )de( )+ed( )e( )+e d( )( ,) ( )+ ( ,) ( )kkkkkktt tt skttt tt skktt tt tskkkkkkttsststtstt ttt ttAAAAAAxxBuxBuxBuxu采样系统在采样时刻上的系统方程为： (2.3)式中，注注 意意： 方程(2.3)并不包含任何的近似。由于
5、控制信号在两个采样时刻之间保持恒定，故方程(2.3)给出了状态变量和输出量在采样时刻上的准确值。 把模型(2.3)式称之为系统(2.1)式的零阶保持采样零阶保持采样。 式(2.3)也称之为系统(2.1)的零阶保持等价系统零阶保持等价系统。111()(, ) ( )+ (, ) ( )kkkkkkktttttttxxu( )( )( )kkktttyCxDu11(-)110(,)e(,)e dkkkkttkkttskkttttsAAB均匀采样的离散时间系统均匀采样的离散时间系统 对于周期为h的周期采样，有：tk= kh，这时，式(2.3)表示的模型便可以简化成时不变系统： (2.4)式中： (2
6、.5)由式(2.5)得： ()()+()khhkhkhxxu()()()khkhkhyCxDu0ee dhhssAABd( )( )( )dttttAAd ( )( )dtttB矩阵 和 满足方程：注注 意意：单位矩阵I的维数等于输入信号的个数。采样周期h，矩阵 (h)和 (h)可以由下面的方阵得到： (2.6)d( )( )( )dttttAAd ( )( )dtttB( )( )( )( )d0000dtttttA BII( )( )exp000hhhABI如何计算 和 下面给出可以采用的五种方法：Matlab中的数值计算；矩阵指数级数展开；Laplace变换；凯莱-哈密顿(Cayley-
7、Hamiton)定理；变换成对角型或者约当型。如果n2，矩阵 和 ： 22310e d.231iihshhhshiAAAAI+！(+ ) ！IAB例1：一阶连续时间系统：应用式(2.5)，得到：因此，采样系统变为： ddxxut0ee d(e1)hhshsB()e()(e1) ()hhx khhx khu kh例2 双重积分器双重积分器的微分方程为：令y= x1， =x2，其状态空间表达式为：得到：双重计分器的离散时间模型为：22ddyuty 010d001dut xx10y x221001e.0100012hhhhhAAIA！20/2d1hshsh 212()()()01hhx khhx k
8、hu khh()10()y khx kh(2.7)采样之逆采样之逆问问 题：题： 从离散时间描述中获取相应的连续时间系统是否可能？ 需要满足什么条件下才使可能的？ 考察一阶差分方程考察一阶差分方程：从例子1中发现，相应的连续时间系统是从：得到：表明表明：当a0时，才能得到一个具有实系数的连续时间系统。一般情况下，从式(2.6)可以得到：此处的ln()为矩阵对数函数。表明表明：连续时间系统可由对一个方阵取它的矩阵对数得到。当矩阵 在负实轴上没有特征值时。对数才唯一存在。 ()()()x khhax khbu kheha(e1)hb1ln ah1ln1baha1ln000hABI具有时延的系统的采
9、样具有时延的系统的采样在工业过程的数学模型中，时间延迟是很常见的。由于具有时间延时的连续时间系统是无限维系统，所以这种系统的理论十分复杂。设系统描述为： d( )()dtttxAxBu(2.8) 第1种情况 ： h图2.3 u(t)、u(t-)和h之间的关系 n先计算系统先计算系统(2.8)(2.8)的零阶保持采样的零阶保持采样。式(2.8)在一个采样周期上的积分为：(- )()e()+e()dkh hhkh h skhkhhkhssAAxxBu(2.9)1. 信号u(t)在整个采样间隔上是分段恒定的，故，延迟信号 u(t-)也是分段恒定的；2. 延迟信号在各个采样时刻之间会有变化。 要计算式
10、(2.9)的积分项，方便的办法是：把积分区间分成两部分，使得u(t-)在每一部分中都是恒定的，即：(- )(- )(- )10e()ded()ed()()()kh hkh h skhkhkh hkh h skh h skhkhssskhhskhkhhkhAAABuBuBu u u连续时间系统(2.8)的采样系统为： 01()()()+()khhkhkhkhhxx u u(2.10)式中：ehA00e dhssAB(2.11) 式(2.10)的状态空间模型为：10()()()()00()1khhkhkhkhkhhxxuuu注注 意意：1. 引入了r个状态变量u(kh-h)，它表示为控制信号的先前
11、值。2. 连续时间系统(2.8)是无限维的，但对应的采样系统却是有限维的。3. 要想规定系统的状态，就必须在整个等于时间延迟的时间区间上存储输入信号。4. 应用零阶保持重构法，输入信号总可以用有限数目的采样之来表示()10ee dhssAAB长时间的延迟长时间的延迟第2种情况 ： h设：(1)0dhh其中，d为常数，于是可以导出如下方程：01()()(1) )+()khhkhkhdhkhdhxx u u式中， 0和 1由式(2.11)确定，但需要用 代替原来式中的 对应的状态空间描述为： 10()0()0(1) )000()0()0()000(2 )0()0000()khhkhkhdhkhdh
12、khkhhkhhkhkhh xxuIuuuIuuuI(2.12) 注意：注意：如果 0，那么，额外的引入了dr个状态变量来描述时间延迟，这里r是输入的个数。状态空间描述的特征多项式为drA()，其中A()为矩阵 的特征多项式。例例3 3 简单的造纸机模型简单的造纸机模型 模型的状态方程为：d ( )( )+ (2.6)dx tx tu tt 采样间隔h=1。d=3，=0.6。根据(2.12)，可得：01(1)( )(2)+(3)kkkkxx u u其中：1e0.36790.40.400e d1 e0.3297ss 0.60.40.4110ee dee0.3024ss 具有内部时延的系统具有内部
13、时延的系统设系统由下列方程描述： 11111111122222221d( ):( )( )d( )( )( )d( ):( )( )d( )()tStttttttStttttxA xB uyC xD uxA xB uuy(2.13) 图2.4 具有内部时间延迟的系统 假设，u(t)在采样区间h上分段恒定。现在，试图找出x1(kh)和x2(kh)的递归方程。对系统(2.13)进行采样，当 =0，且采样区间h，得到分块系统：1111221222()( )0()( )()()( )( )()( )khhhkhhkhkhhhhkhhxxuxx定理：定理： 内部时间延迟 对系统(2.13)以采样区间为h
14、，且0 h进行的周期性采样，得到的采样数据表达式为：1111()( )()( ) ()khhhkhhkhxxu22112222()()( )()+()() ()khhkhhhkhkhhhkhx xx uu(2.14) 1111()( )()( ) ()khhhkhhkhxxu22112222()()( )()+()() ()khhkhhhkhkhhhkhx xx uu(2.14) 式中，2112()212101102211021211221121122e=1,2eed( )ed( )e()d( )()( )()()( )()( )itittt ststsiststtsshhhhhhAAAAAB
15、 CBB C (2.15)注注 意：意：具有时间延迟 的采样数据系统(2.14)是由对系统(2.13)采样而得到的，其中采样间隔h、 h、 之间无时间延迟。这样，相对于所需的采样时间间隔给出了 1、 2、 21、 1、 2。这意味着应用采样系统的标准软件就可得到式(2.14)。2.4 离散时间系统离散时间系统n集中讨论差分方程的特性。时不变离散时间系统可以用差分方程来表示：(1)( )( )( )( )( )kkkkkkxxuyCxDu(2.16) 为了简单起见，采样时间取作单位时间，即h=1。u 系统方程的解 为了分析离散时间系统，需要解系统方程(2.16)。假设初始条件x(k0)，输入信号
16、u(k0), u(k0+1)，均为已知。那么，状态如何演变呢？n通过下列简单的迭代法迭代法可以求解式(2.16)：00000000002000100110(1)()()(2)(1)(1)()()(1)( )()()(1)()( )k kk kkk kkjj kkkkkkkkkkkkkkkj xxuxxu xuuxxuuxu(2.17) 上述的解包括有两个部分：一个依赖于初始条件；另一个为输入信号的加权和。 例例4 4 差分方程的解差分方程的解n考察离散时间系统：120(1)( )1kkxx已知x(0)=1 1T，很容易证得：11122=10kkkkjjkj11122=1( )kkkjjkjkx
17、如果ik时为零。于是普通线性系统的输入和输出关系便可以写成：H( ,)h k m函数 称为系统的脉冲响应函数( ,)h k m其中yp一项表示考虑了系统的初始条件的结果。说明：对于零初始条件，脉冲响应的取值 表示在m时刻上的单位脉冲在k时刻产生的输出。( ,)h k m对于多输入和多输出系统，脉冲响应就直接是一个简单的矩阵值函数。对于是不变系统，脉冲响应只是km的函数，即：因此，可得：离散时间系统的脉冲响应函数为：性质性质（脉冲响应的不变量）（脉冲响应的不变量）离散时间系统的脉冲响应与状态空间模型的坐标变换无关。2脉冲传递算子(1) 位移算子运算法把系统看成是输入信号映射到输出信号的一种算子。
18、该算子运算中，所有的信号都是看成是双向无限序列，采用周期为单位采样。正向平移算子正向平移算子用符号q表示：后向平移算子后向平移算子用符号q1表示：性质：位移算子具有单位范数。应用平移算子简化高阶差分方程的运算，考虑方程：其中，d nanb，称为系统的极点盈数， nanb。应用平移算子可得：如果引入多项式：和上述差分方程可以表示为：同样，如果采用后向平移算子，上述差分方程可以写成：把多项式A的系数顺序反过来就获得下列多项式：该多项式称之为互反多项式，引入互反多项式后，系统可以写成：平移算子何时可以进行乘法，除法，加法和减法的运算呢？平移算子何时可以进行乘法，除法，加法和减法的运算呢？如果 成立，
19、那么，是否亦成立？需要条件吗？举例说明：考虑差分方程：l采用平移算子表示为：可得解为：l采用迭代结果，如果y(k0)= y0，得到方程的解为：由于q1具有单位范数，等式右边可以表示为收敛级数：显然，两种结果不一致。注意：注意：如果假设存在某个k0，使得k k0时的序列全部为零，那么就有可能建立一个算子代数学，它允许除以q的任意多项式。也就是说，当差分方程的初始条件为零时，可以进行代数学的运算。（2）脉冲传递算子采用算子演算可以很方便的把输入输出关系表示成正向平移算子或者后向平移算子的有理函数，这种有理函数称为脉冲传递算子。 根据状态空间模型，可得：因此，从而导出：于是系统的脉冲传递算子为：同样
20、，系统的脉冲传递算子也可以用后向平移算则表示为：性质性质（脉冲传递算子的不变量）（脉冲传递算子的不变量） 离散时间系统的脉冲传递算子H(q)与状态空间模型的坐标变换无关。3 脉冲传递函数（1） z变换它是一种研究带初始条件和不带初始条件的线性差分方程的便利工具。将一个半无限的时间序列映射为一个复变量的函数。l说明说明 平移算子和平移算子和z变换变换变量范围。算子运算考虑的是双无限时间序列，z变换考虑的是半无限时间序列。l初始条件。 z变换考虑初始条件，变量z为复变量。l形式。平移算子演算与z变换计算形式上非常紧密，处理差分方程可以任选其一。lq是一个作用与序列的算子，z是一个复变量。l从纯数学
21、的观点来说，可以明显的看出两者的不同，在举例2中说明。定义定义 z变换变换：考虑离散时间信号f(kh)：k=0,1,， z变换定义为：其中， z是复变量，f的z变换记作为Z f或者F。 z反变换定义为：式中，积分周线包含F (z)的全部奇点。z变换的性质变换的性质线性性质：时移性质：卷积性质：初值定理：终值定理：如果(1z1)F(z)在单位圆上或者在单位圆外没有任何极点的话，那么（2） 脉冲传递函数差分方程：(1)( )+( )kkkxxu( )( )( )kkkyCxDu如果对等式两边取z变换，可得：因此：且l离散系统的脉冲响应与脉冲传递函数是z变换对，即：Zh(k)=H(z)系统的脉冲传递
22、函数l离散系统的脉冲传递算子与脉冲传递函数形式相同，但是含义不同。离散系统脉冲传递函数的计算离散系统脉冲传递函数的计算根据连续时间传递函数来直接确定脉冲传递函数。设系统的传递函数为G(s)，它前面接一个零阶保持器。脉冲传递函数由给定的信号的响应所惟一确定。图 连续时间系统的采样步骤如下：1）确定传递函数G(s)的系统的阶跃响应。2）确定相应的阶跃响应的z变换。3）用阶跃函数的z变换除。通过使用上述方法，就可以推导下面的表达式：如果对于一个大数值的s来说，传递函数G(s)以至少等于s1的递减速率趋于零，并有相异的均不在原点的极点，则得到：式中，si为G(s) 的极点，Res表示为残数。举例1（脉
23、冲传递函数的计算）：考察一个单位阶跃输入，这样序列u(kh)是1的序列，于是，信号u(t)也是一个单位阶跃信号。设Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，即：又假设采样输出序列y(kh)的z变换为用输入脉冲传递函数z/(z1)除以 ，可得：Y举例2（说明平移算子和z变换的区别）：考虑差分方程：其脉冲传递函数为：后面一个等号的成立是由于z是一个复变量。于是也许会错误的以为上述的差分系统（1）可以等效为：这显然是错误的。（1）（2）系统的极零对消因为差分系统（1）的解为：说明：仅当初始条件y(0)0时，系统(1)和(2)才是等效的。因此，从系统理论的观点来说，表达式：是否为1?是具有条件的l在a1的情况
24、下，其值可等于1，反之不成立。说明：说明：z变换中通过消去因子来抛弃了某些振型。如果消去的因子对应的是稳定振型，这种做法没有问题；如果消去的因子对应的是不稳定振型，这种做法可能会犯大错。2.7 零点和极点对于SISO有限维系统，其极点和零点能够方便的从脉冲传递函数的分子和分母中得到。极点极点离散时间系统：()()+()khhkhkhxxu()()khkhyCx系统的极点就是矩阵 的特征值，记作i( )，i1,n。离散时间系统的极点和连续时间系统的极点的对应关系如下：由于 exp(Ah)，根据矩阵函数的性质，可得： i( )e i(A)h上式确定了从连续系统的极点到离散时间的极点之间的映射关系。Z平面与S平面的映射关系零点零点不可能找出简单的公式来表示零点的映射。
