1、1 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算2 二、内容提要二、内容提要有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数3 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如
2、果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那末我们就把那末我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为1.1.有向曲线有向曲线42.2.积分的定义积分的定义, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内
3、定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfS
4、Cnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 63.3.积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成线积分且且存存在在则则积积分分连连续续沿沿逐逐段段光光滑滑的的曲曲线线设设,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则74. 积分的性质积分的性质;d)(d)()1
5、( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线85. 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理) . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处处
6、解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数9).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函数解析函数内的一个内的一个必为必为那末函数那末函数析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C106.6.原函数的定
7、义原函数的定义. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是因此因此zffzFzz . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹
8、公式) )117. 7. 闭路变形原理闭路变形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末12). , , , , :( , , , ,
9、 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf138.柯西积分公式柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那那末末内内任任一一点点为为于于它它的的内内部部完完全全含含闭闭曲曲线线内内的的任任何何一一条条正正向向简简单单为为内内处处处处解解析析在在区区域域如如果果函函数数14 9. 高阶导数公式高阶导数公式. , )( ), 2 , 1
10、(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 15. ),( 0, , ),( 2222内内的的调调和和函函数数为为区区域域那那末末称称并并且且满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数内内具具在在区区域域如如果果二二元元实实变变函函数数DyxyxDyx 10.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.16. . , , 的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为和和函函数数中中的的两两个个调调内内满满足足方方程程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),( , ),( 的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数. . 共轭调和函数共轭调和函数
