1、第一章 图的基本概念v1.1 图的概念v1.2 同构v1.3 图的矩阵和顶点的度v1.4 子图v1.5 路和连通性 v1.6 圈v1.7 最短路问题 1.1 图的概念lKnigsberg七桥问题l电网络 l四色猜想图图 G = (V(G), E(G)， 其中 V(G) = V -顶点集， -顶点数 E(G) = E -边集，-边数例如，下图中，V=a, b,f,E=k,p, q , ae, af, ,ce, cf 12,v vv L Leee,21defG = (V, E)p q abc k v注意注意， 右图仅仅是图G的一个几何实现几何实现（geometric realization,代表代
2、表representation）， 它们有无穷多个，随顶点位置及边的形状而不同。真正的图G是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对图G及其几何实现几何实现将经常不加以区别。defG = (V, E)p q abc k v称 边 ad 与顶点a (及d) 相关联相关联(incident)。也称顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联相关联 。v称顶点a与e 相邻相邻(adjacent)。也称有公共端点的一些边，例如 p与af彼此相邻相邻。v称一一条边的两个顶点为它的两个端点端点v环环（loop，selfloop）：如边 k ，它的两个端点相同。v棱棱（link）：如边ae，它的
3、两个端点不相同。v重边重边：如边p及边q。v简单图简单图：（simple graph）无环，无重边v平凡图平凡图：仅有一个顶点的图。v注意注意：任何一图都有：任何一图都有 V 。v记号记号： （ ,）( )( ) , ( )( ) .GV GGE G defG = (V, E)p q abc k 例题例题v1.1 若G为简单图，则 。v1.2 若一群人中，凡相识的两人都无公共朋友，凡不相识的两人都恰有两个公共朋友，则每人的朋友数相等。21.2 同构例如在下图中，称 图G恒等恒等于图H (记为 G = H) VG)=V(H), E(G)=E(H)。 a y zx wb c d e G=(V, E
4、) x d w a b c y e z F=(V, E) x w b c d e a yz H=(V, E) 图G同构同构于图F （记为 G F ） V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间各各存在一 一映射， 及且这二映射保持关联关联关系，即： )()(:FVGV)()(:FEGE( )( ) ( ), ( )euveuvE G a y zx wb c d e G=(V, E) x w b c d e a yz H=(V, E) x d w a b c y e z F=(V, E) 注注 两个图同构是指”它们有相同的结构”，仅在顶点及边的标号上或两个图的画法上有 所不同而已。往往将同构慨
5、念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。注注 判定两个图是否同构是个未解决的困难问题（open problem）。 a y zx wb c d e G=(V, E) x w b c d e a yz H=(V, E) x d w a b c y e z F=(V, E) v完全图完全图(complete graph) Knv空图空图（empty g.） E = 。 V ( V) 为独立集独立集 V中任二顶点都互不相邻。v二部图二部图 （偶图偶图，bipartite g.） G = (X, Y ; E) 存在 V(G) 的一个 2-划分划分 (X, Y)（即V(G)=X Y，且XY=）
6、，使X与Y 都是独立集。K1K2K3K4K5v完全二部图完全二部图 Km,n 二部图G = (X, Y; E)，其中X和Y之间的每对顶点都相邻，且 X = m, Y = n 。v类似地可定义，完全三部图完全三部图（例如， Km,n,p），完完全全 n-部部 图图等。二部图K3,3K1,5K2,2,2v例。用标号法判定二部图用标号法判定二部图。用红蓝两种颜色进行顶点标号如下：任取一顶点v 标以红色。再将v的所有相邻顶点都标以兰色。这时称v为已扫描顶点。若尚存在一已标号未扫描顶点u，将它的所有相邻顶点，（若不出现矛盾）都标以（其相异色）红色，并称u为已扫描顶点。如此继续下去，直到或者所有顶点都已标
7、号，从而该图为一二部图；或者在标号过程中出现矛盾，该图为非二部图。习题1.2.1 G H (G) = (H) , (G) = (H) 。 并证明其逆命题不成立。1.2.2 证明下面两个图不同构： v1.2.3 证明下面图1与图2是同构的； 而图1与图3是不同构的：v1.2.4 证明两个简单图G和H 同构 存在一 一映射 f : V(G) V(H) ，使 得 uv E(G)当且仅当 f(u)f(v) E(H) 。 图 1 图 2 图 3 v1.2.5 证明：(a). (Km,n ) = mn ; (b). 对简单二部图有 2/4 .v1.2.6 记Tm,n为这样的一个完全m-部图：其顶点数为n，
8、每个部分的顶点数为n/m 或n/m个。证明： (a). (Tm,n) = 其中 k =n/m . (b)*. 对任意的n顶点完全m-部图G，一定有 (G) (Tm,n)，且仅当G Tm,n 时等式才成立。v1.2.7 所谓k-方体方体是这样的图：其顶点是由0与1组成的有序有序k-元组元组，其二顶点相 邻当且仅当它们恰有一个坐标不同。证明k-方体有2k个顶点，k*2 k-1条边，且是一偶图。n kmk2112()v1.2.8 简单图G的补图补图G c 是指和G有相同顶点集V的一个简单图，在G c中两个 顶点相邻当且仅当它们在G中不相邻。 (a). 画出Kcn和 Kcm,n。 (b). 如果G G
9、 c则称简单图G为自补的自补的。证明：若G是自补的，则 0, 1 (mod 4) 。v1.2.9 设 ，且 ， 则H一定是个完全二部图。v1.2.10若 的简单图 中如下性质成立 则G一定是个完全（某）m部图。nnvvvHVuuuGV,)(,)(2121奇数)()()(jGiGjiududHEvv),(EVGVwvuEuwEvwuv,21.3 图的矩阵和顶点的度M(G)=mi,j , (关联矩阵) mi,j = 顶点vi与边ej 的关联次数= 0, 1, 2.eeeeeeeM Gvvvv123456712341100101111000000110010001120( ) e1e2e3e4e5e
10、6v1v2v3v4G = (V, E)e7A(G)=ai,j, ai,j = 连接顶点vi 与 vj 的边数 。 （邻接矩阵）vvvvAGvvvv123412340211201011011011( )e1e2e3e4e5e6v1v2v3v4G = (V, E)e7v顶点 v的 度度 dG(v) = G中与顶点v 相关联边数。（每一环记为2）v记号： 最大、最小度最大、最小度 ， 。（(G) , (G) ） v奇点奇点：度为奇数的顶点；v偶点偶点：度为偶数的顶点；v孤立点孤立点：度为0的顶点；v悬挂点悬挂点：度为1的顶点；v悬挂边悬挂边：悬挂点的关联边。v定理定理1.3 .1 (hand sha
11、king lemma) 任一图中，v推论推论1.1 任一 图中，度为奇数顶点的个数为偶数。( )2 .v Vd v 例：任一多面体中，边数为奇数的外表面的数目为偶数。（提示：作一图，其顶点对应于多面体的面，且二顶点相邻当且仅当对应的两个面相邻（即有公共边界）。）k-正则图正则图 （k-regular g.) ( ), .d vkvV 0-正则图1-正则图2-正则图3 -正则图习题v1.3.1 证明： 2/ 。v1.3.2 若 k-正则偶图(k 0)的2-划分为 (X, Y),则 X = Y。v1.3.3 在人数 1的人群中，总有二人在该人群中有相同的朋友数 v1.3.4 设V(G) = ，则称
12、 ( d(v1), d(v2), , d(v) ) 为G的度序列度序列。 证明：非负整数序列 ( d1 ,d 2, d n) 为某一图的度序列 是偶数。 v1.3.5 证明：任一 无环图G都包含一偶生成子图H，使得 dH(v) dG(v)/2 对所有v V 成立。 （提示：考虑G的边数最多的偶生成子图）v1.3.6* 设平面上有n个点，其中任二点间的距离 1，证明：最多有 3n对点的距离 = 1 。 vvv,21diin11.4 子图v子图子图 (subgraph) H G V(H) V(G) , E(H) E(G) 。v真子图真子图 H G H G 且HG 。母图母图（super graph
13、）。v生成子图生成子图（spanning subg.） H H G 且V(H) = V(G)。v生成母图生成母图。v基础简单图基础简单图 （underlying simple g.）：从一图中去掉其所有重边及环后所得的剩余（简单图）图称之为其基础简单图。v导出子图导出子图（induced subgraph.）GV， ( 非空非空 V V ) 以V为顶点集，以G中两端都在V上的边全体为边集构成的G的子图 v边导出子图边导出子图 GE (非空非空E E) 以E为边集，以E中所有边的端点为顶点集的的子图。GV, GE 两种子图对应于取子图的两种基本运算。下面是取子图的另两种基本运算：vG - V 去
14、掉V及与V相关联的一切边所得的剩余子图。 即 GV VvG - E 从中去掉E 后所得的生成生成子图 fea bc dghG=(V, E) x wvyuGu,w,x Gu,w,x,y Gc,d,eGf, c v例。G - b, d, g, ( = GE b, d, g ) G - b, c, d, g, ( GE b, c, d, g ) G - a, e, f, g. ( GE a, e, f, g )注意注意 GE E 与G - E 虽有相同的边集，但两者不一定相等 ：后者一定是生成子图，而前者则不然。 fea bc dghG=(V, E) x wvyubc dhx wvyufeac hx
15、wvyuxfeahwvyuv上述四种运算是最基本的取子图运算，今后经常会遇到，一定要认真掌握好认真掌握好。关于子图的另一些定义还有： G + E 往G上加新边集E 所得的（G的）母图。 为简单计，今后将 G e 简记为 G e ； G - v 简记为 G - v 。 设 G1, G2 G ，称G1与G2为v 不相交不相交的（disjiont） V(G1) V(G2) = ( E(G1) E(G2) = ) v 边不相交边不相交 （edge-distjiont，边不重的边不重的） E(G1) E(G2 ) = 。（但这时G1与G2仍可能为相交的相交的）。v 并图并图 G1G2 , 当不相交时可简
16、记为 G1+G2.v 交图交图 G1 G2 .习题v1.4.1 证明：完全图的每个导出子图是完全图；偶图的每个导出子图是偶图。v1.4.2* 设G为一 简单 图，1 n -1。证明：若 4，且G中每个n顶点的导出子图均有相同的边数，则 G K或 Kc 。 1.5 路和连通性路和连通性v途径途径 （walk） 例如图G的(u,x)-途径 W = ueyfvgyhwbvgydxdydx (有限非空序列) = uyvywvyxyx (简写法-当不引起混淆时)uvyxweabdhcfgv起点起点（origin） u 。 v终点终点（terminus） x。v内部顶点内部顶点（internal vert
17、ex） y, v, w, x。 （注意，中间出现的x也叫内部顶点。）v长长 边数（重复计算）。v节节（段段，section）。 例如W的(y, w)-节=yvw 。vW-1 （逆途径）, vWW（两条途径W与W相衔接衔接。要求：W的终点=W的起点）。v迹迹( trail) 边各不相同的途径（顶点可重复出现）。 例如，yvwyx 。v路路 (path) 顶点各不相同的途径。（边也一定不重复出现。路可当作一个图或子图）。例如， yvwx 。v距离距离 dG(u, v) = 图G中顶点u与v之间最短路的长。 uyvywvyxyx定理1.5.1 G中存在(u, v)-途径 G中存在(u, v)-路。证
18、明：是显然的； ：设G中存在 -途径 其中 若W中的顶点互不相同，则W就是(u, v)-路；不然，设其中有 （ ），则 也是一条 -途径，长度比W短 。若其中仍有重复顶点出现，则继续上述过程。由于W 长度的有限性，上述过程必停止于一(u, v)-路 。 ),(vunjivvvvvW,10vvuvn ,0jivv ji njivvvvvW,110),(vu。图 G 图的连通性：称G中顶点u与与v为连通的为连通的(connected) G中存在 (u, v)-路 ( G中存在(u, v)-途径。) 容易验证，V上的连通连通性是V上的等价关系等价关系，它将 V划分为一些等价类：V1 ，V使每个Vi中
19、的任二顶点都连通连通（即存在(u, v)-路）； 而不同Vi与Vj之间的任二顶点都不连通连通。 v称每个 GVi i=1,2,. 为G的一个分支分支（component）; 称 (G)为G的分支数分支数。v称 G为连通图连通图 (G) = 1 G中任两点间都有一 条路相连。v称 G为非连通图非连通图 (G) 1。v记号：记号： 对任一非空 SV ，令 = VS, 记 S, = G中两端分别在S及 中的一切边的集合。 （后文中将称为边割边割）SSS容易证明：v定理1.5.2 G连通 对任 S V 都有 S, v例1.5 简单图G中， k G中有长 k 的路。 （注意到，G中任一最长路P的起点（终
20、点）的所有邻接点全在P上。） S习题v1.5.1 证明：G中长为k的 途径的数目, 就是A k 中的(I, j)元素，其中A为G的 邻接矩阵。v1.5.2 证明：对简单图G有， G连通。 对于 1，试给出 的不连通简单图。v1.5.3 证明简单图G中， /2 - 1 G连通。 当是偶数时，试 给 出 一个不连通的(/2-1)正则简单图。jivv ,1221v1.5.4 G不连通 Gc 连通。v1.5.5 对任意图G的任一边e，有 (G) (G-e) (G) +1 。 v1.5.6 G连通，且 d(v)=偶数， v V (G-v) d(v)/2, v V.v1.5.7 连通图中，任二最长路必有公
21、共顶点。v1.5.8 对任一图的任三个顶点 u, v, w 都有 d(u, v)+d(v, w) d(u, w)。 v1.5.9 任一的简单、连通、非完全图中，一定有三个顶点 u, v, w， 使得uv, vw E 而 uw E。 v1.5.10若图G 中恰有两个奇点u与v，则G中一定有一(u,v)路。1.6 圈v闭途径闭途径（closed walk） 起点=终点 且长长 0 的途径。v闭迹闭迹 (closed trail) 边各不相同的闭途径。v圈圈（cycle） 顶点各不相同的闭迹。 （可当作一图或子图。） 例：v闭途径： uyvyu ; uywxywvu ； uyuyu。v闭迹：uyxw
22、yvu。v圈： yfvgy ; uywvu。vk-圈圈（k-cycle） 长为k的圈。v奇圈奇圈 (odd cycle)。v偶圈偶圈 (even cycle)。 uvyxweabdhcfg例：v1-圈（即一条环环），v2-圈(由两条重边组成)，v3-圈（又称三角形）。三角形）。定理定理1.2 G 为二部图 G不含奇圈。 证明：设G的2-划分为（X, Y），由G的定义，G的任一圈中，X和Y的顶点一定交错出现，从而其长必为偶数。：不妨设G为 连通的。 任取一顶点u,令 X = xV d(u, x) = 偶数 , Y = yV d(u, y) = 奇数。易见，(X, Y)为V的2-划分，所以只要再证
23、X（和Y）都是G的独立集（ 即X（或 Y）中任二顶点v， w都不相邻 ）即可。 令P与Q分别为最短(u, v)-路与最短(u, w)-路。设u为P与Q的最后一个公共顶点； 而 P与Q分别为P的(u, v)-节与Q的(u, w)-节。则P与Q只有一公共顶点。 又，由于P与Q的(u, u)-节的长相等， P与Q的长有相同的奇偶性，因此v与w不能相邻， 不然，v( P)1 Qwv 将是一奇圈，矛盾。 PQuP Quvw容易证明：v命题1 图G中 2 G中含圈。v命题2 简单图G， 2 G含长 +1 的圈。 （提示：以上两例中可考虑其最长路）v命题3 任一图G中 G含圈。证明：反证，假设结论不成立，而
24、G为其最小反例。则首先G是连通的，且 。再由以上第一例知，G中存在一顶点u， 。于是， ，且显然G-u中也不含圈，从而G-u也是个反例，但顶点数比G少，矛盾。 21)(ud)()(uGuG习题v1.6.1 若边e在G的一闭迹中，则e在G的一圈中。v1.6.2 证明： (a). G含圈。 (b)*. + 4 G含两个边不重的圈。v1.6.3 证明：任一连通偶图G=(X, Y)的2-划分 (X, Y)是唯一的。 （提示：不然，必有二顶点u,v，原属同一部（例如，）X，而在另一种2-划 分 则不然。） v1.6.4证明或反证：(1).G中有两个不同的(u,v)路，则G中含一圈。(2).G中有一闭途径
25、，在则G中含一圈。(3).G中有一长为奇奇数的闭途径，在则G中含一奇圈。v1.6.5 设图G 的顶点可用两种颜色进行着色，使每个顶点都至少与两个异色顶点邻，则G中一定包含偶圈。v1.6.6座位的教室中，不可能让每个学生都作一上下左右移动，使每个人都换了座位。（提示：“座位图”是 一二部图） 1.7 最短路问题v赋权图赋权图（weighted graph）G (注：权 1 时即为上文中所提的图。)v权权( weight ) w(e) 0. 记号： w(H) = , H G . v路路P的长的长 = w(P)v顶点u与v的 距离距离 d(u, v) = 最短(u, v)-路的长。)(GEew ee
26、 E H( )()v问题问题 求最短( u0, v0)-路。v转转 求最短(u0, v)-路, v V u0.v简化简化 只考虑简单图，且w(e) 0 e E. （ w(uv) = 0 时， 可合并u与v为一 顶点）。v原理原理 逐步求出顶点序列 u1, u2, . 使 d(u 0, u1) d(u 0, u2) .记 S0 = u0 , Sk = u 0, u1,u k ， = V S 。 Pi 为最短( u0, ui)-路 i = 1, 2，(1).求u1 ： u1是使 w(u0 u1) = min w(u0v) v u 0 者 . 得 S1 = S0 u1 , P1 = u 0u1 .S
27、k(2). 若已求得Sk-1 ; d(u0, u1)，d(u0, uk-1) ; 及最短 (u0, ui)路 Pi ，i=1.2,.,k-1 。 求uk ：显然，d(u0, uk) = min d( u0, v) v = d(u0, uj ) + w( u ju k ) 某 j 1,2,，k-1 = min d( u0, u ) + w( uu k ) u S k-1 = mind( u0 , u ) + w(uv ) u S k-1 ，v = min l( v ) v 其中， l( v ) = min d( uo, u ) + w( uv ) u S k-1 ( l( uk ) = d( u
28、0 , uk ) ) Sk1Sk1Sk1u 0u jvu kS k-1S k-1S k Sk = Sk-1 uk , Pk = Pj ujuk 某 j 1,2，k-1 。update 进行下一 步时，只要更新 l(v) 即可： l( v ) min l( v ) , l( uk ) + w( ukv ) 对 v Sku 0u jvu kS k-1S k-1S kDijkstra算法算法v(1).作为开始：l( u0 ) 0; l( v ) ; v u0; S0 u0 ; k 0 .v(2). （这时已有Sk = u0, u1，uk） l( v ) min l( v ) , l(uk ) + w
29、(ukv ) v 再计算 min l( v ) ，设其最小值点为 uk+1 ，令 Sk+1 = Sk uk+1 。 v(3).若 k=-1, 停止；不然，令kk+1,并回到(2)。Sk计算复杂性 加法： (- 1)/2 比较： (- 1)/2 2 v ： (-1)2+) _ 共 O (2 )S凡是复杂性为 p( , ) 的算法 ( p( . , . ) 为一多项式 ) 称为“好算法好算法”( “good algorithm”-J.Edmonds )。这是相对于指数型算法指数型算法而言的：在10 - 6秒/步运算速度下：复杂性n=1020304050n3.001sec .008sec .027s
30、ec.064sec.125secn5.1sec3.2sec24.3sec1.7min5.2min2n.001sec1.0sec17.9min 12.7days35.7years由上表可见，两种算法有天壤之别。注注v1.若只关心求d(u0,v0), 则算法进行到v0Sk时停止。v2.计算过程中，每步所得子图都是一 棵树树（？：每步每步都是往其上增加一条边及一一条边及一 个顶点个顶点）。因此该过程称为 tree growing procedure 。在该树中的(u0,v0)-路， 是中最短(u0,v0)-路 。v 3.若要计录u0到每个顶点u的最短路，只要记录该路中u的前一个顶点（即该树中u的父亲）即可。 72213217353444866u0停例精品课件精品课件！精品课件精品课件！习题v1.7.1 描述一个算法以确定 (a). 一图的各个分支； (b). 一图的围长围长（即最短圈的长）； 并说明你的算法好到什么程度。
