1、量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端每一项的量纲必须一致等式两端每一项的量纲必须一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT12003321对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2
2、， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为什么假设这种形式为什么假设这种形式321glmt 设设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgT
3、MLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Bucking
4、ham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵量纲矩阵记作记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量
5、纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识1 1311 10 0111001 0222LAMTl vpg l = L, v =LT-1, = L-3M, p = L-1MT-2, = L-1MT-2, g = LT-2量纲分析示例：量纲分析示例：管道内不可压缩粘性流体的压强差管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端管道两端压强差压强差 pmjXqniaijij, 2 , 1,1管道长管道长l, 流速流速v, 粘性系数粘性系数 ,密度
6、密度 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30( , , )l vpg 0),(21mqqqf选取物理量选取物理量123011212110100010001,yyyy211121213vplvl v g Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量 F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (l,v, ,p, ,g) = 0 等价等价为得到差为得到差 p 的显式表达式的显式表达式F=0123(,)
7、 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价222323(,)(,),pvv 211121213vplvl v g 23Reynold numberFroude ne;umb rRe:lvvFrgl )()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2 量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度
8、航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvlg13132221211, 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),(21m
9、qqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvlg13132221211为得到阻力为得到阻力 f 的显式的显式表达式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf3.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)211
10、211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,31311llff311flfl)(1 结论：结论：按一定尺寸比例造模型船，量测按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出可算出 f1 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf3.3 无量纲化方法无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可将按量纲齐次原则构成的方程简化为一个与其等价但比它简单的方程。利用无量纲化方法也可以使某些数学问题简单。ckxbaxA3/1)(例：简化非线性参数方程例：简化非线性参数方程ckbaA,5个参数323A aadvvkk 3kbkaauAuc3a xbu3,A aa dwkk wvv3b kdcauv u-v 无量纲化无量纲化范式化范式化精品课件精品课件！精品课件精品课件！卡丹公式（卡丹公式（Cardanos Formula ） 2323qp 令，30 xpxq231133 1 2 3 22, , .ikkkqqxke 3200,azbzczda3bzxa令，
