1、华北电力大学力学教研室华北电力大学力学教研室4-1 4-1 扭转的概念扭转的概念一、扭转实例：一、扭转实例：华北电力大学力学教研室华北电力大学力学教研室齿轮传动示意图齿轮传动示意图圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）变形特点：变形特点：Me Me 工程中主要承受扭转的构件称为工程中主要承受扭转的构件称为“轴轴”，实际构，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、件工作
2、时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。拉压等其他变形形式。4-2 4-2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩传动轴的转速传动轴的转速n ；所传递的所传递的功率功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：传动轮的转速传动轮的转速n 、功率、功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之间的关系：间的关系：)(024mN nP7Me(P 马力马力)Me Me ABmin)/()(9549rnkWPMe、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横
3、截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。eMT 11利用利用截面法截面法来确定来确定.扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定: :扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况。eMT 11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图图+xT例例 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输主动轮输入的功率入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率
4、分，三个从动轮输出的功率分别为：别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111x
5、M2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在在CA段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)一、扭转试验与假设：一、扭转试验与假设：4-3 4-3 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力强度条件强度条件1 1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；、形状、间距都未变；2 2、纵向线倾斜了同一个角度、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均，表面上所有矩形均变成平行四边形变成平行四边形。平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面平面假设：圆轴
6、受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。一样绕杆的轴线转动。表面变形特点：表面变形特点：表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度直角的改变量直角的改变量g g切应变切应变gjABDCgABC D B1A1D1 C1 DD1C1C横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。与圆周相切，即与半径垂直。此处为以横截面、径截面以及与表面平此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体微小的正六面体单元体单元体切应力互等定理切应力互等定理单元体单元体Me Me
7、xyzabOcddxdydztttttt纯剪切应力状态：纯剪切应力状态： 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。O1O2ababdxMe Me 二、横截面上的应力公式二、横截面上的应力公式物理方面物理方面静力学方面静力学方面几何关系几何关系A A、几何关系、几何关系EGGG ggtanADDDggtanxddjgMe Me djgDGGETTO1O2ababdxDAgdjgDGGEO1O2DAgdxdxRddjxddjgxddj相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率
8、，对于给定的横截面为常量定的横截面为常量gdjgDGGETTO1O2ababdxDAgdjgDGGEO1O2DAgdxd剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应变成正比。切应变成正比。gtGxGddjtB B、物理方面、物理方面txddjgOd？横截面上各点的横截面上各点的剪应力与点到截剪应力与点到截面中心的间距成面中心的间距成正比，即正比，即剪应力剪应力沿截面的半径呈沿截面的半径呈线性分布线性分布。C C、静力学方面、静力学方面AdtTATAxGAddd2jAAId2ppddGITxj称为横截面称为横截面的的极惯性矩极惯性矩 tdA rO令令得得TxG
9、ddjt圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：ppITGITGtxGddjtpddGITxjpITtOdtmaxtmaxtT1、T为横截面上的扭矩为横截面上的扭矩2、Ip为截面参数，取决于截为截面参数，取决于截面形状与尺寸面形状与尺寸3、为所求点距圆心距离。为所求点距圆心距离。发生在横截面周边上各点处。发生在横截面周边上各点处。rpmaxITrt称为称为扭转扭转截面系数截面系数rIWpp最大切应力最大切应力rIT/ppWT令令即即pmaxWTttmaxtmaxOdtT同样适用于空心圆截面杆受扭的情形同样适用于空心圆截面杆受扭的情形pITtpmaxWTttmaxtm
10、axODdTt圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数WpAAId2p162/3ppddIW324d实心圆截面：实心圆截面：几何性质几何性质OddDdOd431162/DDIWpp44132DAAId2p4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计圆轴扭转强度条件与合理设计一、扭转失效一、扭转失效塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面断裂。横截面断裂。脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成轴线成45螺旋面断裂。螺旋面断裂。nutt)577. 05 . 0(t对于塑性材料：对于塑性材料：)0 .
11、 18 . 0(t对于脆性材料：对于脆性材料：二、强度条件二、强度条件maxtt等直圆轴等直圆轴pmaxtWT材料的许用切应力材料的许用切应力三、圆轴合理截面三、圆轴合理截面OdtmaxtmaxtTtmaxtmaxODdTt例例2 实心等截面直轴，实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截面试求截面上距轴线上距轴线40mm40mm处的点的剪应力。处的点的剪应力。(2) 若已知若已知=40MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。解：解：由扭矩图得知由扭矩图得知T2=9.56kN.m(1)(1)应力计算应力计算p2ITMPa6 .2632/10110104095601243(2) (2) 强
12、度计算强度计算MPa6 .3616/101109560WT93tmaxmax轴的强度满足轴的强度满足危险横截面在危险横截面在AC段，段，Tmax=9.56kN.m例例3（同例（同例2）若）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调解：互调AD轮位置轮位置后，扭矩图如图所后，扭矩图如图所示示: MPa60.8WTmaxmaxt强度不符合要求。强度不符合要求。Tmax=15.9 kN.m讨论讨论:扭矩合理分配扭矩合理分配MA MBMC ACBMA MBACMC B22143614一定使轴上的一定使轴上的Tmax最小最小)1 (16DW43t 例例4（同例（同例2）若）若
13、BD轴改用内外径之比为轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与与D；并计算空；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。心与实心轴的材料消耗之比。解：解：MPa6 .36maxtmkNT56. 9maxtmaxmaxWTt t由得mmTD157)1 (163max4maxtd=0.9D=141mm235. 04/4/ )(2122ddDAAVV实空实空例例已知已知： 传动轴为无缝钢传动轴为无缝钢管，管，D=90mm，t = 2.5 mm，Tmax= 1.5kNm, t=60MPa。求求：校核轴的强度。校核轴的
14、强度。解解：u 计算计算WtDd3mm29400DtD 2944. 0)1 (1643DWt)944. 01 (169043u 切应力切应力tWTmaxt910294001500MPa51t例例已知已知： 同上例。将空心轴同上例。将空心轴改为实心轴。要求与空心改为实心轴。要求与空心轴有相同的强度。轴有相同的强度。Tmax=1.5kNm。求求：实心轴的直径。实心轴的直径。解解：tWTmaxt16150031D61051m0531. 01Du 比较空心轴与实心轴比较空心轴与实心轴实心轴截面积实心轴截面积241m102 .22Au 比较空心轴与实心轴比较空心轴与实心轴实心轴截面积实心轴截面积241m
15、102 .22A空心轴截面积空心轴截面积空心轴与实心轴截面积比空心轴与实心轴截面积比242m1087. 6A2 .2287. 612AA31. 0例例 圆柱螺旋弹簧如图圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度簧杆斜度 d 。 试推导弹簧丝横截面上试推导弹簧丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。的应力并建立相应的强度条件。解：解： 1、 求簧杆横截面上的内力求簧杆横截面上的内力FF S剪力2DFT 扭矩分离体的平衡分离体的平衡2、求簧杆横截面上的应力、求簧杆横截面上的应力3328162dFDdDFWTtpmaxa) 剪力相应的切应力剪力相应的切应力(假假定均匀分布定均匀分布)b)扭矩相应的切应力扭矩相应的切应
16、力214dFAFstOTA当D d 时可略去剪力的影响时可略去剪力的影响)21 (8162433221maxDddFDdDFdFtttmax38dFDtmaxOTA当D / d 10时时,不可略去剪力的不可略去剪力的影响影响342483maxmmdFDt当D / d 10时时,不可略去剪力的不可略去剪力的影响影响342483maxmmdFDtm=D / d4. 5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形扭转角扭转角l 扭转变形扭转变形 两个横截面绕轴线的相对转角。两个横截面绕轴线的相对转角。pddGITxxGITddplxGIT0pdu 微段的扭转角微段的扭转角u 整体的扭转角整体的扭转角djgDT
17、TO1O2ababdxDAlxGIT0pdu 整体的扭转角整体的扭转角u 等直圆轴且扭矩不变时等直圆轴且扭矩不变时pGITlGIp 圆轴的圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。niiiiGIlT1pu 台阶轴或扭矩分段变化台阶轴或扭矩分段变化二、刚度条件二、刚度条件max等直圆杆在扭转时的刚度条件：等直圆杆在扭转时的刚度条件：maxmax180pGIT对于精密机器的轴对于精密机器的轴对于一般的传动轴对于一般的传动轴m/30. 015. 0常用单位：常用单位： /mm/25 . 0dxd称为单位长度扭转角。称为单位长度扭转角。例例5（同例（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为，若各轮之间距离均为 l=2
18、m，G=80GPa， =0.5/m，(1) 计算相邻两轮之间的计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。 (2)试校核试校核轴的刚度；轴的刚度；解解:(1):(1)变形计算变形计算477. 0180 PBCBCBCIGlT954. 0180 PCACACAIGlT635. 0180 PADADADIGlT轴两端截面之间的相对扭转角为：轴两端截面之间的相对扭转角为：805. 0ADCABCBD(2) (2) 刚度计算刚度计算48. 0180GITPmaxmax所以刚度符合要求。所以刚度符合要求。Tmax=9560N.m例例 如图传动轴，如图传动轴，
19、n=500r/min，N1=500马力，马力， N2=300马马力，力， N3=200马力，已知马力，已知 = 40MPa ，许可单位长度扭，许可单位长度扭转角转角 =1 /m ，G=80GPa。求：确定。求：确定AB和和BC段直径。段直径。解：解： 1）计算外力偶矩NmnNmA702470241NmnNmB6 .280970242NmnNmC4 .4214702432）计算直径AB段：由强度条件 tt31max16dTWTt mmTd801070702416163631t由刚度条件 jj18032dGT41mmGTd6 .841108018070243218032429421jmmd6 .8
20、41mmd672BC段：同理，由扭转强度条件得由扭转刚度条件得mmd5 .7424-6 扭转静不定问题 扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立件建立补充方程。补充方程。例例 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆 AB ，在截面，在截面 C 处受一扭转处受一扭转力偶矩力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试，试求杆两端的支反力偶矩。求杆两端的支反力偶矩。 解解： 一次超静定一次超静定 设想解除固定端设想解除固定端B处的
21、约束，代之处的约束，代之以约束力偶矩以约束力偶矩MB.MeABablCIIIMAMeCABIIIxBM设固定端设固定端A的支反力偶的支反力偶为为MA ,方向同方向同MB 变形协调条件变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，：根据原静不定杆的约束情况，B端端的扭转角应等于零的扭转角应等于零, 即即补充方程为补充方程为 列出平衡方程列出平衡方程：0,0eBAxMMMM0Bj 按叠加原理：按叠加原理：0BMBBBjjjj jBB、j jBM分别为分别为MB、Me引起的在杆端引起的在杆端B的扭转角。的扭转角。MAMeCABIIIxBM线弹性时，物理关系线弹性时，物理关系(胡克定理胡克定理) )为为pB
22、pe,GIlMGIaMBBBMjj代入上式代入上式可解得可解得 laMMBeMA可平衡方程求得可平衡方程求得 。lMMbeA例例 图示一长为图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
23、作用在内、外杆上的扭转力偶矩。 解解： 写出独立写出独立平衡方程平衡方程0eBAMMM 一次静不定问题一次静不定问题。 ABMeeMrbarl变形协调条件变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为补充方程为jjjBbBa 代入物理关系代入物理关系(胡克定理胡克定理) )，与，与平衡方程联立，即平衡方程联立，即可求得可求得Ma和和Mb。 并可进一步求得杆中切并可进一步求得杆中切应力如图（内应力如图（内、外两杆、外两杆材料不同），可见材料不同），可见在两在两杆交界处的切应力是不杆交界处的切应力是
24、不同的。同的。dDT1T1ttt2min1max2max214. 7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念l 试验现象试验现象对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。杆的扭转。横向线变横向线变成曲线成曲线平面假设不再平面假设不再成立，可能产成立，可能产生附加正应力生附加正应力横截面发生横截面发生翘曲翘曲不再保不再保持为平面持为平面l 自由扭转自由扭转翘曲翘曲不受限制。不受限制。纵向纤维无伸长纵向纤维无伸长横截面上横截面上无无正应力正应力l 限制扭转限制扭转横截面上横截面上有有正应力正应力。对实体杆，对实体杆，正应力正应力可忽略。可忽略。此时
25、相邻两横截面的翘曲此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有附程度不同，横截面上有附加加正应力产生正应力产生二、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形二、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形一般矩形截一般矩形截面等直杆面等直杆ttp时时1、 tmax发生在横截面的长边发生在横截面的长边中点处；中点处；2、横截面周边各点的切应横截面周边各点的切应力必定与周边相切，沿周边力必定与周边相切，沿周边形成与扭矩同向的顺流；形成与扭矩同向的顺流；3、四个角点处四个角点处t =0 。矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式最大切应力（长边最大切应力（长边中点处）中点处）
26、tWTmaxt短边中点处短边中点处的切应力的切应力maxtt单位长度扭转单位长度扭转角：角：tGITj4tbI3tbW相当极惯性矩相当极惯性矩扭转截面系数扭转截面系数其中其中、 与与 相关的因数相关的因数bhm 狭长矩形截面杆自由扭转狭长矩形截面杆自由扭转10bhm3m特点：特点：1、沿长边各点的切应力值除靠角点附、沿长边各点的切应力值除靠角点附近外，均接近相等；近外，均接近相等；2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚、离短边稍远处，可认为切应力沿厚度度d 按直线规律变化。按直线规律变化。44t3ddmI33t3ddmW34313dddhh23313dddhhdtI 4-8 薄壁杆扭转薄壁杆扭转几个名词： (1)截面中心线(薄壁杆横截面厚度平分线，和壁厚共同描述薄壁杆截面几何尺寸) (2)闭口薄壁杆(中心线为闭曲线) (3)开口薄壁杆(中心线为开曲线精品课件精品课件！精品课件精品课件！一、一、 闭口薄壁杆的扭转应力闭口薄壁杆的扭转应力横截面上任意点处的切应力与壁厚的乘积为一常数C = ,称为剪流。tddt2Tminmax2dtT
