1、问题的提出问题的提出离散时间信号的主要优点：可用数字计算机表示和处理离散时间信号的主要优点：可用数字计算机表示和处理序列的频谱：序列的频谱：-()( )jjnnX ex n e 频域变量频域变量为连续变量，说明傅里叶变换不适合用为连续变量，说明傅里叶变换不适合用数字计算机表示和处理数字计算机表示和处理 为此，通过频域抽样将为此，通过频域抽样将离散化，从而得到离散时间离散化，从而得到离散时间变量变量n与离散频率变量与离散频率变量 k 之间的映射之间的映射离散傅里叶变换离散傅里叶变换时域抽样：时域抽样：连续时间信号连续时间信号xa(t) 离散时间信号（序列）离散时间信号（序列）x(n)= xa(t
2、)|t=nT时域抽样对频谱的影响时域抽样对频谱的影响 频谱周期性延拓，序列的频谱频谱周期性延拓，序列的频谱 X(e j)的周期为的周期为2时域抽样时域抽样 频域信号具有隐含周期性（延拓）频域信号具有隐含周期性（延拓） 周期周期 2频域抽样频域抽样 时域信号具有隐含周期性（延拓）时域信号具有隐含周期性（延拓） 周期周期N频域抽样：频域抽样：连续频谱连续频谱 X(e j) 离散频谱离散频谱X(k)=X(e j)|=k0 ， 频域抽样对时域的影响频域抽样对时域的影响时域信号周期性延拓时域信号周期性延拓( (延拓周期为延拓周期为N) )02N时域抽样、频域抽样时域抽样、频域抽样 T0 xa(t)tM点
3、抽样点抽样(M-1)n0 x(n)主周期主周期N点抽样点抽样主值周期主值周期恢复恢复周期延拓周期延拓0-hh|Xa(j)|0-hh|X(e j)|2周期延拓周期延拓 (=T)恢复恢复主周期主周期(N-1)0 = 2/Ns= 2s= 2/T0|X(k)|k0k( )X k0nN-1( )x n有限长序列的傅里叶分析有限长序列的傅里叶分析dejXtxtj)(21)(一、四种信号傅里叶表示一、四种信号傅里叶表示1. 连续时间非周期信号连续时间非周期信号dtetxjXt j)()(频谱特点： 连续非周期谱傅里叶变换傅里叶变换2. 周期为周期为T0的连续时间周期信号的连续时间周期信号ntn jenXtx
4、0)()(0dtetxTnXtn jT00)(1)(00频谱特点：频谱特点： 离散非周期谱离散非周期谱傅里叶级数傅里叶级数3. .离散非周期信号离散非周期信号deeXnxnjj)(21)(nj-njenxeX)()(频谱特点： 周期为2的连续谱序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换4.4.周期为周期为N 的离散周期信号的离散周期信号21jnk 01(n)IDFS(k)(k)NkNxXXeN21-jn0(k)DFS(n)(n)NkNnXxxe频谱特点：周期为频谱特点：周期为N的离散谱的离散谱离散傅里叶级数离散傅里叶级数x(n)、X(k)均为均为N点点有限长序列有限长序列( (0n、kN-1) )DFT
5、变换对变换对(M-1)n0 x(n)(N-1)0|X(k)|k 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT)和离散傅里叶级数和离散傅里叶级数(DFS)(DFS) 均为均为周期序列周期序列（周期为（周期为N）（无限长序列）（无限长序列）DFS变换对变换对0nN-1k( )x n( )X k0( )x n( )X k有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）1, 2, 1 , 0,)(1)(210NnekXNnxknNjNkIDFTDFT符号表示符号表示:)()(kXIDFTnx1, 2, 1 , 0,)()(210NkenxkXknNj-Nn)()(nxDFTkXN点有限长序列点有限长序列x(n)
6、 , n = 0, 1, 2 , N-1有限长序列的有限长序列的DFT与与DTFT关系：关系：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，是其序列傅里叶变换X(ej)在一个周期0,2)内的N点等间隔取样1, 2, 1 , 0,)()()(2NkeXnxDFTkXkNjnj-njenxnxDTFTeX)()()(1, 2, 1 , 0,)()(210NkenxkXknNj-NnDTFT ：离散时间傅里叶变换：离散时间傅里叶变换,时域离散非周期而频域周期时域离散非周期而频域周期连续的，且频域是以连续的，且频域是以 为周期为周期 2DFTDFT与与 z z 变换的关系：变换的关系：X( (k) )是
7、是X( (z) )在单位圆上的在单位圆上的N点等间隔采样（采样间隔点等间隔采样（采样间隔2 2/ /N）0如：如：N=8X (6)X (4)/4RezjImzX (0)X (1)X (2)X (3)X (5)X (7)1, 2, 1 , 0,)()()(2NkeXnxDFTkXkNj1, 2, 1 , 0,)()()(2NkzXnxDFTkXkNjez时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期T0非周期和离散( )离散(T)和非周期周期( )和连续离散(T)和周期T0周期( )和离散( )0离散傅里叶级数离散傅里叶级数( (DFS) )周期序列周期序列10( )NnkNnx n W2j
8、NNWe 旋转因子（旋转因子（N点）点）( )x nX( )k 周期为周期为N的的周期序列周期序列2101( )X( )X( )NjnkNnx nIDFSkk eN210X( )( )( )NjnkNnkDFS x nx n e DFS变换对：变换对：101X( )NnkNkk WNDFSDFS的性质的性质 调制特性调制特性nx( )X()lNDFS Wnkl x( )y( )X( )Y( )DFS anbnakbk 线性线性设设 为周期为为周期为N的周期序列，对应的的周期序列，对应的DFS为为( ) ,( )x ny nX( ) , Y( )kk ( (时域、频域均为周期为时域、频域均为周期
9、为N的周期序列的周期序列) )2x()X( )X( )jmkmkNNDFSnmWkek 序列的移位序列的移位 周期卷积和周期卷积和 ( (前提：前提： 必须是同周期的周期序列必须是同周期的周期序列) )1100( )( ) ()() ( )NNmmy nx m h nmx nm h m( )( )( )Y kX kH k( )( ) ()() ( )mmy nx m h nmx nm h m的长度的长度=x(n)的长度的长度+h(n)的长度的长度 -1( )y n( )( )x nh n、是与是与 同周期同周期( (N) )的周期序列的周期序列( )y n( )( )x nh n、线性卷积和中
10、的线性卷积和中的x(n)、h(n)可以是任意序列可以是任意序列有限长序列与周期序列的关系有限长序列与周期序列的关系( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )Nx nx n是截取是截取 的主值区间的主值区间 所构成的所构成的N点有限长序列点有限长序列( )x n( )x n0 1N 是是 以以N为周期的周期延拓序列（无限长）为周期的周期延拓序列（无限长）( )x n( )x nx(n)(0(0nN-1) ) N点有限长序列点有限长序列 周期为周期为N的周期序列的周期序列( )x nx(n)6n01 2 3 4x(n)0n1 2 3 4 5符号符号(n)N 是余数运算表达式，表示是余数运
11、算表达式，表示n对对N求余数求余数 例：例： 是周期为是周期为N=8=8的序列，求的序列，求 n =11=11和和 n =-2 =-2 对对N的余数的余数( )x n11 1 83n 解：解：8(11)32( 1) 86n 8( 2)6(11)(3),( 2)(6)xxxx离散傅里叶变换离散傅里叶变换( (DFT) )有限长序列有限长序列N点有限长序列点有限长序列 x( (n) )N点有限长序列点有限长序列 X( (k) )01( )( )0nNx nx nn其它01X( )( )0kNkX kk其它（隐含周期性）（隐含周期性）10( )( )(01()NnkNnDFTX kx n WknNx
12、101( )( )(01)IDFT( )NnkNkx nX k WX knNNDFT变换对变换对：DFTDFT与与DFSDFS的关系：的关系：)()()(1)(210nRnxekXNnxNknNjNk)()()()(210kRkXenxkXNnkNj-NnDFT可以看成是截取可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对的主值区间构成的变换对DFT的性质的性质线性线性序列的圆周移位序列的圆周移位共轭对称性共轭对称性DFT形式下的帕赛瓦定理形式下的帕赛瓦定理圆周卷积和圆周卷积和圆周相关圆周相关有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积DFT的性质的性质 线性线性： 1212( )(
13、 )( )( )DFT ax nbx naX kbXk 若若N1 N2，则应取，则应取 Nmax(N1，N2)，先将短序列，先将短序列 补补0得到两个得到两个N点序列点序列 后，再分别作后，再分别作N点点 DFT变换变换 ，最后求，最后求N点点DFT )(),(21nxnx)()(21kbXkaX)(),(21kXkX若若 的长度分别为的长度分别为N1、N2，则，则 当当N1=N2=N时时 ， 均为均为N点点DFT，都是，都是N点序列点序列12( ),( )x n x n12,( )( )aX kbXk)(),(21kXkX序列的圆周移位序列的圆周移位序列的圆周移位序列的圆周移位 共轭对称性共
14、轭对称性Re( )( )epDFTx nXkIm( )( )opDFTjx nXk 应用应用 用一次用一次N点复序列的点复序列的DFT运算来计算两个运算来计算两个N点实点实 序列的序列的DFT 设：设：两个两个N点点实实序列序列 构成一个构成一个N点复序列：点复序列：)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21njxnxnw2( )x n1( )x n1( )( )epX kWk2( )( )opXkWk DFTDFT形式的帕塞瓦定理形式的帕塞瓦定理 时域、频域的能量计算相同时域、频域的能量计算相同deXnxEjn22)(21)(2211001( )( )NNnkEx
15、nX kN 圆周卷积和圆周卷积和 限定在限定在(0N-1)区间区间 两个两个N点有限长序列（点有限长序列（0N-1） 、( )x n( )h n其其N点点DFT分别为分别为 、( )X k( )H k( )( )( )Y kX kH k10( )( )( ) ()( )NNNmy nIDFT Y kx m h nmRn10()( )( )NNNmx nmh mRn( )( )y nx n( )h nN( )h n( )x nN记为记为:y(n)也是也是N点有限长序列（点有限长序列（0 0nN-1）设有限长序列设有限长序列 、 的长度分别为的长度分别为 N 和和 M圆周卷积和与线性卷积和的关系圆
16、周卷积和与线性卷积和的关系( )( )y nx n( )h nLL点圆周卷积和点圆周卷积和( )x n( )h n线性卷积和线性卷积和( )( )( )Lynx nh n( (L 点点) )( (N+ +M -1)-1)点点圆周卷积和与线性卷积和相等的条件：圆周卷积和与线性卷积和相等的条件：LN+M-1可以用圆周卷积和代替线性卷积和可以用圆周卷积和代替线性卷积和 圆周相关圆周相关 N点有限长序列点有限长序列 x(n)（0nN-1）的）的N点圆周相关定义为：点圆周相关定义为： 10( )( )()( )NxyNNnRmx n ynmRm 圆周相关与圆周卷积和的关系类似于线性相关与线性圆周相关与圆
17、周卷积和的关系类似于线性相关与线性卷积和的关系。卷积和的关系。 时域圆周卷积和时域圆周卷积和离散频域乘积离散频域乘积( )( )( )Y kX kH k( )( )y nx n( )h nN( )h n( )x nN( )( )( )y nx nh n1( )( )Y kX kN( )H kN1( )H kN( )X kNv 时域乘积时域乘积离散频域圆周卷积和离散频域圆周卷积和DFT的性质的性质 圆周相关圆周相关线性相关：线性相关：( )( )()( )* ()xyrx t yt dtxy( )( )()xynrmx n y nm圆周相关：圆周相关：10( )( )()( )NxyNNnrmx
18、 n ynmRm( )( )( )xyRkX k Yk线性卷积线性卷积圆周卷积圆周卷积周期卷积周期卷积1111( )( )*( )( ) ()Lmyn =x nh nx m h nm10( )( ) ()Nmy n =x m h nm( )( )y nx n( )h nN10( ) ()NNmx m h nm关关 系：系：对非周期连续时间信号的傅里叶变换的对非周期连续时间信号的傅里叶变换的DFT逼近逼近()( )jtX jx t edt1( )()2jtx tX jed傅里叶变换对：傅里叶变换对：用用DFT计算这一变换对的步骤：计算这一变换对的步骤：1. 对对x(t )等间隔采样等间隔采样 (
19、 )( )()t nTx nx tn 2. 对对x(n )截取有限长截取有限长 ( ) (0-1)x nnN3. 对对 离散化离散化 ()X j( ) (0-1)X kkN1. 对对x(t )等间隔采样等间隔采样 ( )( )()t nTx nx tn tnTdtT()( )jnTnX jx n eT()( )jtX jx t edt频谱的变化：频谱的变化：2. 对对x(n )截取有限长截取有限长 ( ) (0-1)x nnN相当于相当于x(t )截取截取0T0区间，区间，T0称为纪录长度，满足称为纪录长度，满足0TNT则则10()( )NjnTnX jx n eT10()( )NjnTnX
20、jx n eT3. 对对 离散化离散化 ()X j( ) (0-1)X kkN即每个周期即每个周期( ( fs 或或s ) )采样采样N个点：个点：000001,2sfNFFFT0k0d则频谱则频谱0100()( )NjknTnX jkTx n e0022TTTN2100()( )NjknNnX jkTx n e00()()DFT( )( )kX jkX jTx nTX k1( )()2jtx tX jed01()()2sjnTx nTX jed010001()2NjknTkX jke21000()NjknNkFX jke 21000()1NjknNkNFX jNke01( )( )()t n
21、Tx nx tIDFT X jkT)(tx抽样抽样离散化离散化)(nx周期化周期化)(nxDFT 实现实现)( jXhhA)(jeX22TAhh)(kXk利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 （1） 无限长，其频带有限无限长，其频带有限)(tx)(kX)(nx加窗加窗)(tx抽样抽样)(nxNDFT)(kXk（2） 有限长，其频带无限有限长，其频带无限)(tx抽样抽样)(nx)(kXDFT)(tx)(kXk（3） 无限长，其频带无限无限长，其频带无限)(tx)(nxN加窗加窗)(nx)(tx抽样抽样)(kXDFT)( jX)(kXk利用利用DFT计算连续时间信号时计算
22、连续时间信号时可能出现的几个问题可能出现的几个问题 频率响应的混叠失真频率响应的混叠失真 频谱泄漏频谱泄漏 栅栏效应栅栏效应 频率分辨力频率分辨力频率响应的混叠失真及参数的选择频率响应的混叠失真及参数的选择抽样频率必须满足抽样定理：抽样频率必须满足抽样定理：2shff（抽样前加前置预滤波器，滤除信号中高于（抽样前加前置预滤波器，滤除信号中高于 fh的频率分量）的频率分量）112shTff 即时域抽样间隔满足：即时域抽样间隔满足：对于对于DFT来说，频域抽样间隔为：来说，频域抽样间隔为：001sfFTN其中，其中，T0为信号的纪录长度为信号的纪录长度0TNTN一定时，信号最高频率一定时，信号最高
23、频率 fh与频率分辨率与频率分辨率F0之间相互矛盾之间相互矛盾解决方法：增加纪录长度的点数解决方法：增加纪录长度的点数N，即满足，即满足002shffNFF频谱泄露频谱泄露)()()(jNjjNeWeXeX)()()()(nwnxnxnxNN 加窗加窗)(kXDFT其中：窗函数其中：窗函数)(nwN矩形窗矩形窗汉宁窗汉宁窗哈明窗哈明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凯塞窗凯塞窗 截取有限数据，时域相乘频域周期卷积，卷积的结截取有限数据，时域相乘频域周期卷积，卷积的结果使所得的频谱与原来的频谱有失真，频谱扩散（拖尾、果使所得的频谱与原来的频谱有失真，频谱扩散（拖尾、变宽），这就是频谱泄漏变宽），这就是频谱泄
24、漏矩形窗矩形窗其它 NknRnwN001)()(时域波形时域波形幅度频谱幅度频谱0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51010203040时域波形时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.5105101520幅度频谱幅度频谱汉宁窗汉宁窗布拉克曼窗布拉克曼窗时域波形时域波形0510152025303500.20.40.60.81-1-0.500.51051015幅度频谱幅度频谱减小泄漏的方法：减小泄漏的方法： 取更长的数据，即窗宽加宽，当然数据太长，运算存取更长的数据，即窗宽加宽，当然数据太长，运算存储量都增加储量都增
25、加 数据不要突然截断，也就是不要加矩形窗，而是要缓数据不要突然截断，也就是不要加矩形窗，而是要缓慢截断，即加各种缓变的窗，使得窗谱的旁瓣能量更小，慢截断，即加各种缓变的窗，使得窗谱的旁瓣能量更小，卷积后造成的泄漏减小卷积后造成的泄漏减小栅栏效应栅栏效应解决方法：增加频域抽样密度，即增加解决方法：增加频域抽样密度，即增加N值值 DFT计算频谱只是限制在离散点上的计算频谱只是限制在离散点上的频谱，不是连续的频谱，这就像通过一个栅频谱，不是连续的频谱，这就像通过一个栅栏观看一个景象一样，只能在离散点的地方栏观看一个景象一样，只能在离散点的地方看到真是景象，这种现象称为看到真是景象，这种现象称为“栅栏效应栅栏效应”精品课件精品课件！精品课件精品课件！频率分辨力频率分辨力 解决方法：增加解决方法：增加N值值001sfFTNT0越大，频率分辨力越好，但这个长度越大，频率分辨力越好，但这个长度T0是指真正实际信是指真正实际信号长度，抽样点数号长度，抽样点数N也是指这个长度上的抽样点数，而不是也是指这个长度上的抽样点数，而不是补零后的长度或抽样点数。补零后的长度或抽样点数。
