1、有内热源存在时的热传导方程有内热源存在时的热传导方程为为式式(6-27a)(6-27a)在不同坐标系的一般形式如下：在不同坐标系的一般形式如下：直角坐标系：直角坐标系：柱坐标系：柱坐标系：球坐标系：球坐标系： 求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度 t 与与时间时间及位置及位置( ( x , y , z) )的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布( (温度场温度场) )。所得的解为。所得的解为t = = f( (, ,x , y , z) )，它不但要满足式，它不但要满足式(7-1)(7-1)或
2、或式式(7-2)(7-2)、式、式(7-3)(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。akqtt276.1217 .1222222kqztytxtt27.11122222kqzttrrtrrrt37.sin1sinsin1112222222kqtrtrrtrrrt第一节第一节 稳态稳态热传导热传导一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导对于对于无内热源的一维稳态热传导，已知条件无内热源的一维稳态热传导，已知条件又设沿又设沿 x 或或 r 方向进行一维导热，则方向进行一维导热，则代入代入热传导方程式热传导方程式(7-1)(7-1
3、)式式(7-1)(7-1)，可简化为一维的，可简化为一维的Laplace方程，方程，直角坐标系直角坐标系柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系0 , 0qt0 , 0 , 0 , 0 , 022222222tttztyt47 .0dd22xt5.70.ddddrtrr6.70.dddd2rtrr( (一一) )单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导，当热导率单层平壁一维稳态热传导，当热导率 k 为常数时，式为常数时，式(7-4)(7-4)即为描即为描述该导热过程的微分方程，即述该导热过程的微分方程，即设边界条件为设边界条件为将式将式(7-4)(7-4)积分两次，可得积分两
4、次，可得代入边界条件，可得代入边界条件，可得将将C1、C2代入式代入式(7-7)(7-7)，得温度分布方程，即，得温度分布方程，即由式由式(7-8)(7-8)可知，可知，平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线。47 .0dd22xt 21 : 2 : 0 1ttbxttx77 .21CxCtbttCtC12112 , 87 .211xbtttt根据根据Fourier 定律定律，通过，通过 x 处的导热通量处的导热通量将式将式(7-8)(7-8)对对 x 求导，得求导，得代入式代入式(7-9)(7-9)，得，得或或由式由式(7-10)(7-10)可知，热通量可知
5、，热通量 q/ /A和和传热速率传热速率 q是是与与 x 无关是常量。无关是常量。97 .ddxtkAqbttxt21dda107 .热阻推动21力kAbttq107 .21ttbkAq( (二二) )单层筒壁的稳态热传导单层筒壁的稳态热传导 若筒壁很长，即若筒壁很长，即 Lr ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。 对于对于无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式(7-5)(7-5)表表征热传导方程，即征热传导方程，即设边界条件为设边界条件
6、为对式对式(7-5)(7-5)积分两次，可得积分两次，可得代入边界条件，可得代入边界条件，可得5.70.ddddrtrr 2211 : 2 : 1ttrrttrr117 .ln21CrCt112121212121lnln , lnrrrtttCrrttC将将C1、C2代入式代入式(7-11)(7-11)，得温度分布方程，即，得温度分布方程，即式式(7-12)(7-12)表明，表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是半径半径 r 的对数函数的对数函数。 通过半径为通过半径为 r 的筒壁处的传热速率或热通量的计算的筒壁处的传热速率或热通量的计算
7、柱坐标系的柱坐标系的 Fourier 定律，即定律，即q 半径半径 r 处的导热速率；处的导热速率；q/ /Ar 半径半径 r 处的热通量；处的热通量；r 径向坐标；径向坐标；dt/ /dr r 处的温度梯度；处的温度梯度；L 筒壁长度；筒壁长度；Ar 半径半径 r 处导热面积，处导热面积， 。导热面积。导热面积Ar 是半径是半径 r 的函数。的函数。127 . lnln lnlnlnln1122111121211212rrrrtttrrrtttrrrtttartkAqrtkAqrr137 . dd , 137 . ddrLAr2将式将式(7-12)(7-12)对对 r 求导求导, ,得：得：
8、代入式代入式(7-13)(7-13)，得，得即即式式(7-14)(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。即为单层筒壁的导热速率方程。传热速率传热速率 q 与半径与半径 r 无关无关，是，是常量。常量。由式由式(7-14)(7-14)可得单位筒长导热速率，即可得单位筒长导热速率，即单位筒长导热速率单位筒长导热速率与半径与半径 r 无关，是无关，是常量。常量。rrrttdrdt1/ln1212137 . 1/ln2dd1212rrrttrLkrtkAqr147. /ln21221rrttkLqbrrttkLq147. /ln21221代入式代入式(7-13a),(7-13a),得得即即由式由式(7
9、-14a)(7-14a)可知，热通量可知，热通量 q/ /Ar 随半径随半径 r 而变。而变。由式由式(7-14)(7-14)，即，即可知，传热速率可知，传热速率 q 与半径与半径 r 无关，是无关，是常量，亦即常量，亦即或或arrrttkrtkAqr137 . 1/lndd1212arrttrkAqr147. /ln 1221157.2222211constLrAqLrAqLrAqqrr167.2211constrAqrAqrAqrr147. /ln21221rrttkLq式式(7-14)(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程式亦可写成与平壁导热速率方程式(7-10)(7-10)相类似的形式
10、，即相类似的形式，即式式(7-17)(7-17)与式与式(7-14)(7-14)对比对比可知可知或或 式中式中 rm筒壁的对数平均半径；筒壁的对数平均半径； Am筒壁的对数平均面积。筒壁的对数平均面积。当当 时，对数平均值近似等于算术平均值，即时，对数平均值近似等于算术平均值，即177. 1221rrttkAqm147. /ln21221rrttkLq187. 2/ln21212LrLrrrrAmmaAAAALrLrLrLrAm187. ln22ln2212121212212rr2ln , 2/ln121212121212AAAAAAArrrrrrrmm107 .21ttbkAq二、有内热源的
11、一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导 若柱体很长，即若柱体很长，即 Lr ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。 对于有对于有内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能量方程式量方程式(7-2)(7-2)，即，即可简化为可简化为式式(7-19)(7-19)为具为具有有内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。若内热源均匀，则若内热源均匀，则 为常数。为常数。27.11122222kqz
12、ttrrtrrrt01kqrtrrr19.70.dddd1kqrtrrrq对式对式(7-19)(7-19)进行一次积分，得进行一次积分，得再积分一次，得再积分一次，得由边界条件可确定积分常数由边界条件可确定积分常数 C1、C2，代入式，代入式(7-21)(7-21)求得柱体内的求得柱体内的温度分布。温度分布。207.2dddddd1rCrkqrtrrkqrtr217.ln4dd2ddd2d21211CrCrkqtrrCrrkqtrrCrrkqt 例例7-47-4有一半径为有一半径为 R、长度为、长度为 L 的实心圆柱体，其发热速率为的实心圆柱体，其发热速率为，圆柱体的表面温度为，圆柱体的表面温
13、度为 ts ，L R ，温度仅为径向距离的函数。设，温度仅为径向距离的函数。设热传导是稳态的，圆柱体的热导率热传导是稳态的，圆柱体的热导率 k 为常数，试求圆柱体内的温度为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值。分布及最高温度处的温度值。解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为依题意，设边界条件为由边界条件由边界条件(2)(2)可得可得q217.ln4212CrCrkqt RrsrtRLkLRqRrttRrdd2 : 2 : 12kRqrtRr2 dd将上式代入式将上式代入式(7-20)(7-20)，即，即并取并
14、取 r = R，即，即得得故故将将 及及边界条件边界条件(1)(1)代入式代入式(7-21)(7-21)，得，得207.2dd1rCrkqrtrCRkqrtRr12ddrCRkqRkq12201C01C22222124 , 4217.ln4RkqtCCRkqtCrCrkqtss最后得到温度分布方程为最后得到温度分布方程为由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为224rRkqttskRqttttsr4200max201Rrttttss三、二维稳态热传导三、二维稳态热
15、传导对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为代入热传导的基本微分方程代入热传导的基本微分方程式式(7-1),(7-1),即即得得该式为该式为无内热源的二维稳态热传导无内热源的二维稳态热传导微分方程微分方程( (二维二维Laplace 方程方程) )。 根据式根据式(7-22)(7-22)求出的温度分布求出的温度分布 t = f ( x , y ) 为一连续曲面，若为一连续曲面，若将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算法求出温度分布。法求出温度分布。17 .1222222kqzt
16、ytxtt0 , 0 , 0 , 022ztzttq227 .02222ytxt( (一一) )物体内部的结点温度方程物体内部的结点温度方程 将物体分割成若干个由将物体分割成若干个由 组成的小方格，分割线的交点组成的小方格，分割线的交点称为结点。称为结点。 及及 的长度根据计算精度的要求选取。的长度根据计算精度的要求选取。xyyx 、xttxtjijiji, 1,21xttxtjijiji, 1,21yttytjijiji,1,21,yttytjijiji1,21,2, 1, 1,21,21222,xtttxxtxtjixtjijijijiji2,1,1,21,21,222,ytttyytyt
17、jiytjijijijiji将将式式(7-22)(7-22)近似地写成差分形式，即近似地写成差分形式，即令令 ，则有，则有该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点 ( i , j ) 的的温度温度 ti,j 与邻近与邻近 4 4个结点温度之间的关系，即为邻近个结点温度之间的关系，即为邻近 4 4个结点温度的个结点温度的算术平均值。算术平均值。0220,227 .02,1,1,2, 1, 122222222ytttxtttjiytjixtytxtjijijijijijiyx237.04,1,1, 1, 1jijijijijittttt(
18、 (二二) )物体边界上的结点温度方程物体边界上的结点温度方程处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式(7-23)(7-23)来来表达，需要根据具体情况来建立。表达，需要根据具体情况来建立。1.1.绝热边界绝热边界取垂直纸面的距离为单位长度。对虚线包围的微元作热量衡算，得取垂直纸面的距离为单位长度。对虚线包围的微元作热量衡算，得 令令 ，则有，则有022,1,1, 1xyttkxyttkyxttkjijijijijijiattttjijijiji247.042, 11,1,yx2.2.一般对流边界一般对流边界设周围流体的主体温度为设周
19、围流体的主体温度为 tb，且维持不变，微元体表面与流体之间，且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为的对流传热系数为 h ，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，得，得 令令 ，则有，则有 即即)(22,1,1, 1,bjijijijijijijittyhxyttkxyttkyxttkyxbtkxhtkxhtttbjijijiji247. )2()2(21,1,1, 1bjijijijitkxhtkxhttt2222,1,1, 13.3.对流边界上的外角对流边界上的外角对虚线包围的微元作热量衡算，得对虚线包围的微元作热量衡算，得令令 ，则有，则
20、有 整理得整理得)(2)(222,1, 1bjibjijijijijittxhttyhxyttkyxttkyxctkxhtkxhttbjijiji247. 2) 1(2,1, 1)(22,1, 1bjijijijittkxhttt4.4.对流边界上的内角对流边界上的内角对虚线包围的微元作热量衡算，得对虚线包围的微元作热量衡算，得 令令 ，则有，则有 整理得整理得2)(2)(22, 1,1,1, 1xtthytthyxttkxyttkxyttkyxttkbjibjijijijijijijijiji)(2222,11,1,1bjijijijijijijittkxhttttttyxdtkxhtkxh
21、ttttbjijijijiji247. 2 3222,1, 11, 1( (三三) )二维稳态温度场的结点温度方程组二维稳态温度场的结点温度方程组 式式(7-23)(7-23)、式、式(7-24)(7-24)表示无内热源二维稳态温度场中各结点温表示无内热源二维稳态温度场中各结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求解温度场时，可根据物度之间的关系，各式均为线性代数方程。求解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割线的交点统一编号小方格，将分割线的交点统一编号( ( i = 1 , 2
22、, , n ) )，然后根据每，然后根据每个结点所在的位置分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温个结点所在的位置分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温度场的结点温度方程组，即度场的结点温度方程组，即ai,j 和和 bi( (i = 1 , 2 , , n) )均为常数，均为常数，ti ( (i = 1 , 2 , , n) )为未知温度。为未知温度。式式(7-25)(7-25)为线性方程组，共有为线性方程组，共有 n 个方程，未知温度亦为个方程，未知温度亦为 n 个，求解个，求解此方程组即可求出此方程组即可求出 ti ( (i = 1 , 2 , , n) )的数值，于是整个温度场即可
23、的数值，于是整个温度场即可求出。求出。 nnnnnnnnnnbtatatabtatatabtatata22112222212111212111 257.第二节第二节 不稳态热传导不稳态热传导 物体内任一点的温度均物体内任一点的温度均随时间而变化随时间而变化的导热称为不稳态导热。的导热称为不稳态导热。求解不稳态导热问题时，需要应用热传导方程式求解不稳态导热问题时，需要应用热传导方程式(7-1)(7-1)、式式(7-2)(7-2)或或式式(7-3) (7-3) ，并须满足具体的，并须满足具体的初始条件和边界条件初始条件和边界条件。通过求解满足这。通过求解满足这些定解条件的微分方程，求得温度分布随时
24、间的变化关系，从而求些定解条件的微分方程，求得温度分布随时间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。得特定时刻的传热速率。 初始条件是指在导热过程开始的瞬时物体内部的温度分布情况初始条件是指在导热过程开始的瞬时物体内部的温度分布情况。边界条件视具体情况一般可分为。边界条件视具体情况一般可分为 3 3类：类： 第一类边界条件是给出第一类边界条件是给出任何时刻任何时刻物体端面的温度分布；物体端面的温度分布； 第二类边界条件是给出第二类边界条件是给出所有时刻所有时刻物体端面处的导热通量；物体端面处的导热通量； 第三类边界条件是物体第三类边界条件是物体端面与周围流体端面与周围流体介质进行热交换，端面介
25、质进行热交换，端面处的导热速率等于端面与流体之间的对流传热速率。处的导热速率等于端面与流体之间的对流传热速率。 不稳态导热过程中传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻。不稳态导热过程中传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻。一、忽略一、忽略内部热阻内部热阻的不稳态导热的不稳态导热集总热容法集总热容法 有一热的金属有一热的金属小球小球，浸泡在冷流体中。不稳态导热过程中，传，浸泡在冷流体中。不稳态导热过程中，传热速率取决于固体内部热阻和表面热阻。亦即小球内部的温度分布热速率取决于固体内部热阻和表面热阻。亦即小球内部的温度分布除与材料的热导率有关外，还与小球表面和周围流体的对流传热系除与材料的热导率有关
26、外，还与小球表面和周围流体的对流传热系数有关。若固体的热导率很大或内热阻很小，而环境流体与固体表数有关。若固体的热导率很大或内热阻很小，而环境流体与固体表面之间的对流传热系数很小或对流传热热阻较大，便可忽略内热阻面之间的对流传热系数很小或对流传热热阻较大，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致，温度梯度主要产生于小球表面的流匀一致，温度梯度主要产生于小球表面的流体层内。体层内。 设设金属球密度金属球密度 ，比热容，比热容 cp ，体积，体积 V ，表面积表面积 A，初使温度均匀为，初使温度均匀为 t0 ，环境流体的，环境流体的主体温度恒
27、定为主体温度恒定为 tb，流体与金属球表面的对，流体与金属球表面的对流传热系数为流传热系数为 h，且不随时间变化。，且不随时间变化。球坐标系的热传导方程为球坐标系的热传导方程为由于金属球的内热阻可忽略，温度与位置无关，即由于金属球的内热阻可忽略，温度与位置无关，即故式故式(7-3)(7-3)简化为简化为因，金属球发热速率等于表面对流传热速率，即因，金属球发热速率等于表面对流传热速率，即代入式代入式(7-26)(7-26)，得，得0ttrt37.sin1sinsin1112222222kqtrtrrtrrrt267.dd1kqtbtthAVqbptthAtVcdd因因故上式应为故上式应为初始条件
28、为初始条件为由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，不存在边界条件。由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，不存在边界条件。令令 ，则，则式式(7-26a)(7-26a)可化为可化为初始条件为初始条件为277.ddpVchAbtt 0dd , 0tttbbtt 00 : 0atthAtVcbp267.dd0 : 0tt 积分积分式式(7-27)(7-27)，得，得或或该式即为忽略物体内热阻情况下物体温度与时间的定量关系式。该式即为忽略物体内热阻情况下物体温度与时间的定量关系式。指数中的量可整理如下：指数中的量可整理如下：令令 Fo 称为称为Fourier数，其物理意义表示时间之比，即无量纲时间
29、数，其物理意义表示时间之比，即无量纲时间。287.elndd00000pVchAbbppttttVchAVchA297 .222AVkAVhcVkAkAhVVchApp317 .22lAVFo令令 Bi 称为称为 Biot 数，其物理意义为数，其物理意义为 Bi 表示物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比表示物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。 当当Bi大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度。不能采用集总热容法。物体内部存在较大的温度梯度。不能采用集总热容法。 当当Bi小时，表示物体内部的热阻很小，表面对流
30、传热的热阻起小时，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起控制作用，在起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时控制作用，在起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度较为均匀。各处温度较为均匀。 对流传热热阻导热热阻长度热导率对流传热系数长度Bi307 .khlkAVhBi将式将式(7-30)(7-30)、式、式(7-31)(7-31)代入式代入式(7-28)(7-28)得得 研究表明，当研究表明，当Bi 0.10.1时，由于表面热阻可忽略，表面温度时，由于表面热阻可忽略，表面温度 ts 在在 00 的的所有时间内均为一个常数所有时间内均为一个常数, ,其数值基本等于环境温
31、度。其数值基本等于环境温度。( (一一) )半无限大固体的不稳态导热半无限大固体的不稳态导热 半无限大固体是指从半无限大固体是指从 x = 0 的界面开始向正的的界面开始向正的 x 方向及其它两个方向及其它两个坐标坐标( (y , z) )方向无限延伸的物体。方向无限延伸的物体。 在导热开始时，物体的初始温度为在导热开始时，物体的初始温度为 t0 0，然后突然将左端面的温，然后突然将左端面的温度变为度变为 ts s，且维持不变。假设除物体的左右两端面外，其它表面均，且维持不变。假设除物体的左右两端面外，其它表面均绝热。由于右端面在无限远处，其温度在整个过程中均维持导热开绝热。由于右端面在无限远
32、处，其温度在整个过程中均维持导热开 始时的初始温度始时的初始温度 t0 0 不变。不变。 这类导热问题可视为沿这类导热问题可视为沿 x 方向的无内热源的一维导热问方向的无内热源的一维导热问 题。题。柱坐标系的热传导方程为柱坐标系的热传导方程为对于沿对于沿 x 方向的无内热源的一维导热，即方向的无内热源的一维导热，即式式(7-2)(7-2)化简为化简为( (用用 表示时间表示时间) )初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为0 , 0 , 0 , 022qttrt27.11122222kqxttrrtrrrt337.22xtt 时 0当 : 3时 0当 : 0 2 对于任何 : 0 100ttx
33、ttxxtts 采用采用合成变量法合成变量法求解式求解式(7-33)(7-33)引入变量引入变量 ，即令，即令于是有于是有 将式将式(7-35)(7-35)、式、式(7-36)(7-36)代入式代入式(7-33)(7-33)，整理得，整理得367.4141357.22222txxtxxtxttxtxtttt347.4x37.70.222tt式式(7-37)(7-37)中的自变量仅为中的自变量仅为 ，故可写成常微分方程，即，故可写成常微分方程，即式式(7-38)(7-38)对应的定界条件为对应的定界条件为令令将式将式(7-39)(7-39)代入式代入式(7-38)(7-38)，得，得将式将式(7
34、-40)(7-40)分离变量并积分，得分离变量并积分，得397.ddtp417.dd2211eCteCp stttt : 0 2 : 1038.70.dd2dd22tt40.70.2ddpp将式将式(7-41)(7-41)积分，得积分，得将定解条件将定解条件(2)(2)代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得故得故得再将定解条件再将定解条件(1)(1)代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得故得故得427.d2012CeCt2001d2CeCtsstC 2sstCteCt2d10102sttC012将将 C1、C2 代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得或或式中误差函数为式中误差
35、函数为式式(7-44)(7-44)即为半无限大固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分即为半无限大固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分布表达式。布表达式。式中式中 可视为在可视为在 瞬时物体某一位置瞬时物体某一位置 x 处的温度处的温度 t 同左端面温同左端面温度度 ts 之差与最大温度差之比。之差与最大温度差之比。437.d24002sxstettt447.4erf0 xttttss d2erf02esstttt0当当 时，表示物体某位置时，表示物体某位置 x 处的温度已经冷却或加处的温度已经冷却或加热到了左端面的温度热到了左端面的温度 ts ，此时由，此时由式式(7-44)(7-44)知知
36、查得查得由于由于 x 为一有限值为一有限值 ，所以，所以 = ，即需要无限长时间物体，即需要无限长时间物体各处各处( (除除左左端面端面外外) )才能才能达到左端面的温度达到左端面的温度 ts 。但实际情况是，经过某一足够长。但实际情况是，经过某一足够长的时间之后，的时间之后，t 即开始以渐进的方式趋近于即开始以渐进的方式趋近于 ts 。ssstttttt 0004erf0sssttttx04x 半无限大物体不稳态导热时的热流速率半无限大物体不稳态导热时的热流速率 半无限大物体的初始温度为半无限大物体的初始温度为 t0 ，当其左端面温度突然变为，当其左端面温度突然变为 ts 且且维持不变时，单
37、位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可由维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可由Fourier定律计算。定律计算。设左端面的面积为设左端面的面积为A，则瞬时的导热通量为，则瞬时的导热通量为由由式式(7-43)(7-43)求得求得由由式式(7-34)(7-34)求得求得故故457.000 xxxtkxtkAq4002222xssettettt41xsxxsxttettxt004004122上式代入上式代入式式(7-45)(7-45)，得，得即即式式(7-46)(7-46)即为半无限大物体不稳态导热过程中即为半无限大物体不稳态导热过程中, , 瞬时通过瞬时通过 x = 0 平
38、面平面的热通量表达式。在的热通量表达式。在 0 时间内通过时间内通过 x = 0 平面的总热量为平面的总热量为积分得积分得sxxttkxtkxtkAq0000 457. 467.00ttkAqs dd00000ttAkqQs 477.200ttAkQs( (二二) )两个端面均两个端面均维持恒定温度维持恒定温度的大平板的不稳态导热的大平板的不稳态导热 假定除垂直于平板两端面的方向外，其它侧面上所传导的热量假定除垂直于平板两端面的方向外，其它侧面上所传导的热量均可忽略不计，在此情况下，具有两个平行端面的大平板中的导热均可忽略不计，在此情况下，具有两个平行端面的大平板中的导热问题，可视为一维导热问
39、题处理。问题，可视为一维导热问题处理。两个端面相互平行，设其间距为两个端面相互平行，设其间距为 2 2l ，平板的初始温度，平板的初始温度 t0 0 各处均匀。各处均匀。现令两个端面的温度现令两个端面的温度突然变为突然变为 ts s，且在整个导，且在整个导热过程中维持不变。热过程中维持不变。热传导方程仍为式热传导方程仍为式(7-33)(7-33) ，即，即初始条件初始条件平板两端面维持恒定条件，即第一类边界条件平板两端面维持恒定条件，即第一类边界条件337.22xtt 0 : 0 1tt 0 : 0 3 : 2xtxttlxs采用采用分离变量法分离变量法求解热传导方程，并满足初始条件和边界条件
40、。求解热传导方程，并满足初始条件和边界条件。引入无量纲数引入无量纲数 无量纲温度无量纲温度 无量纲长度无量纲长度 无量纲时间无量纲时间依依式式(7-48)(7-48)式式(7-50)(7-50)，可求得可求得487.0bbttttT507 .2lFo497 . lxL22202202020 , , , , LTlttxtLTlttxtFoTltttLlxFolTtttbbbb将上述结果代入将上述结果代入式式(7-33)(7-33) ，得，得相应的定界条件变为相应的定界条件变为式式(7-51)(7-51)中的中的 L* * 和和 Fo 为自变量，而为自变量，而 T * * 为函数。为线性齐次偏为
41、函数。为线性齐次偏微分方程，可微分方程，可采用采用分离变量法分离变量法求解。求解。因因 令令于是有于是有517.*22LTFoTFoYXFoTLXYLTLXYLT* , , 2222527.).()(),(FoYLXFoLT),(FoLTT 0 , 0 3 ; 0 , 1 2 ; 1 , 0 1LTLTLTFo将上述结果代入将上述结果代入式式(7-51)(7-51) ，得，得分离变量，得分离变量，得固有固有只有当上式中的常数只有当上式中的常数小于零时小于零时，该式才可能有满足定解条件的非零，该式才可能有满足定解条件的非零解，所以设解，所以设 称为特征值。称为特征值。537.1122LXXFoY
42、Y547.11222LXXFoYY2222517.*LXYFoYXLTFoTconstLXXFoYY2211由式由式(7-54)(7-54) ，可得，可得分别对上两式求解，得分别对上两式求解，得将将式式(7-57)(7-57) 、式式(7-58)(7-58) 代入代入式式(7-52)(7-52)，得，得或或积分常数积分常数A、B可有定解可有定解条件条件(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)确定确定。 567.0dd2YFoY557.0dd222XLX597.cossin2FoeLBLAT587. 577.cossin2321FoeCYLCLCXFoeCLCLCXYTFoYLXFoLT2321
43、cossin527.).()(),( 应用边界条件应用边界条件(3)(3)，即，即将式将式(7-59)(7-59)对对 L* * 求导数，即求导数，即将边界条件将边界条件(3)(3)代入式代入式(7-60)(7-60) ，得，得因因 ，故，故于是式于是式(7-59)(7-59)变为变为 0 , 0 3 LTL607 .sincos2FoeLBLALT627.cos597.cossin22FoFoeLBTeLBLAT02FoeA0617.0A 应用边界条件应用边界条件(2)(2)，即，即将边界条件将边界条件(2)(2)代入式代入式(7-62)(7-62)，得，得由于由于 A=0A=0，故，故 B
44、 B0 0，则由式，则由式(7-63)(7-63)可得可得由式由式(7-64)(7-64)可知，特征值可知，特征值 可以有无限多个，即可以有无限多个，即将式将式(7-65)(7-65)中的中的 i 值值代入式代入式(7-62)(7-62)，得，得式式(7-66)(7-66)为式为式(7-51)(7-51)的一个特解。的一个特解。 0 , 1 2TL647.0cos667. cos2FoiiiieLBT657., 2 , 1 212 , , 23 , 221niii637.cos0627.cos22FoFoBeeLBT线性齐次方程线性齐次方程式式(7-51)(7-51)的通解为的通解为 应用边界
45、条件应用边界条件(1)(1)，即，即将边界条件将边界条件(1)(1)代入式代入式(7-67)(7-67)，得，得该式为该式为 Fourier 级数，级数，Bi为为Fourier 级数的系数，由级数的系数，由正交性原理正交性原理得得积分得积分得677.212cos12122iFoiieLiBT 1 , 0o 1TF687.212cos11iiLiB LLiBid212cos1121010212sin1222LiiBi解得解得或或将将 Bi 值代入值代入式式(7-67)(7-67)，最后，最后得得 T * 的表达式为的表达式为式式(7-70)(7-70)即为式即为式(7-33)(7-33)的解。该
46、式表示平板两个平行端面维持恒温的解。该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布。由给定的时间和位置定情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布。由给定的时间和位置定出出Fo 和和L* * ，然后通过该式计算，然后通过该式计算 T * ，最后即可得到给定的时间和位最后即可得到给定的时间和位置条件下的温度置条件下的温度 t 值。值。697., 2 , 1 12 14niiBiiaBBB697. , 54 , 34 , 4321707.25cos51 23cos312cos4*25*23*2*222LeLeLeTFoFoFo 式式(7-70)(7-70)还可以用于平板一个端面绝热
47、，另一个端面骤然升温至还可以用于平板一个端面绝热，另一个端面骤然升温至 ts 情况下的导热计算。情况下的导热计算。 由于大平板的温度分布在中心面两侧完全对称，因此中心面的由于大平板的温度分布在中心面两侧完全对称，因此中心面的温度梯度为零，即温度梯度为零，即这也是绝热情况下的边界条件，因此这也是绝热情况下的边界条件，因此一个端面绝热平板的不稳态导一个端面绝热平板的不稳态导热问题完全可以用式热问题完全可以用式(7-70)(7-70)计算。计算。 关于防火墙问题关于防火墙问题墙的一面骤然被加热至墙的一面骤然被加热至 ts，热流不稳定地通入墙，热流不稳定地通入墙壁，墙的另一面绝热，绝热面的温度为壁，墙
48、的另一面绝热，绝热面的温度为 tc。因因0 : 0 xtxbbcLttttTLx00 , 0 : 0将上式代入式将上式代入式(7-70)(7-70)，得，得即即式式(7-71)(7-71)表明：表明：(1)(1)防火墙材料的热导率应越小越好防火墙材料的热导率应越小越好, ,而比热容和密度应越大越好。而比热容和密度应越大越好。假定假定 ，代入式，代入式(7-71)(7-71)并取级数的第一项，得并取级数的第一项，得可知，绝热面温度可知，绝热面温度 tc 随随 的减小而减小，亦即的减小而减小，亦即 k 减小或减小或 cp 增大均增大均会使会使 减小，从而使减小，从而使 tc 降低。降低。717.
49、513142222523200*FoFoFobbcLeeettttT0*25*23*20*25cos51 23cos312cos4222LFoFoFoLLeLeLeT00t22241lscett(2)(2)绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正比。比。由式由式(7-71)(7-71)可知可知而而所以，当所以，当 和和 l 2 2 做同样程度的改变时将不影响绝热面温度的变化，做同样程度的改变时将不影响绝热面温度的变化，亦即绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正亦即绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平
50、方成正比。比。FofttttTbbcL00*507 .2lFo三、内部热阻和表面热阻三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时均不能忽略时的大平板的不稳态导热的大平板的不稳态导热 假定大平板的厚度为假定大平板的厚度为 2l，其初始温度，其初始温度 t0 均匀，然后突然将其置均匀，然后突然将其置于主体温度为于主体温度为 tb 的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数 h 为为已知。热流沿已知。热流沿 x 方向亦即垂直于两端面的方向流动。方向亦即垂直于两端面的方向流动。在此情况下在此情况下热传导方程仍为式热传导方程仍为式(7-33)(7-33) ，即，即初始条件初始
