1、第 4 章 恒定电场 电磁场与波电磁场与波主讲人：丁永华华中科技大学 电气与电子工程学院2013年3月 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。 恒定电场恒定电场( (恒定电流场恒定电流场) )研究的问题研究的问题 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。主角是 J 和 E 。 遵循同样的路线：基本方程位函数边值问题电路参数：电阻。 电流会产生磁场。但当电流分布不随时间变化时，电场和磁场可以分开研究，本章只研究电场。【例】截面积为S，电导率为的导体，外加电压U，电流为I。求内部电场和表面电场。电荷运动，导体内部电场不为0第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源
2、恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻电流：电荷的定向移动形成电流。电荷的定向移动形成电流。0dlimdtqqItt 电流密度电流密度 J： 空间某点处垂直于电流方向的截面上单位面积内的电流量： ddI JSIJIJSSdSI JSIqSLStStSJv微观上：按体密度 分布的电荷，以速度v 运动，则电流密度为注意导体内部净电荷密度为0。电流强度电流强度I：单位时间内通过某一截面的电荷量均匀均匀分布分布非均匀非均匀iiiJvEJ电导：导体中若存在电场，则产生电流，电流密
3、度正比于电场强度：（欧姆定律的微分形式）焦耳热效应： 电流流过导体，导体要发热，称为焦耳热效应。2pEE J导体中消耗的总功率为dVPVE JPUIEl JSEJ Vp V单位体积内的热功率为：均匀均匀 恒定电流场要消耗能量。该能量依靠外加电源补充。电源与电动势电源内部：电源需要克服库仑电场力，把正电荷从负极板输送到正极板，这个作用力称为局外力 fe。通常把单位正电荷受的局外力称为局外场强 Eeee0limqqfEaebdEl 在电源外部导体中，电流与电场强度的关系为：JEEe 和 E 实际方向相反abdU ElPI电源的功率：第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒
4、定电场与静电场的比拟 电导与电阻第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻Maxwell 方程组SqSD d0d SSBd() dlStDHlJSlStSBlEdd D0 Bt DJHt EEJ本构关系： D E， Bm H， t DJH在在Maxwell 方程组中实际上包含了这一定律。看修正方程组中实际上包含了这一定律。看修正的安培环路定律的安培环路定律两边取散度，左端两边取散度，左端旋度的散度恒为旋度的散度恒为0 0，故得，故得0tDJt J电荷守恒定律电荷守恒是自然界中一电荷守恒是自然界中一条非常重要的守恒定律。条非常重要的守恒定律
5、。dddSqSt J出去多少就少多少；守恒。dddddSvvSVVqtt JJt J恒定电场的基本方程令令Maxwell方程组及电荷守恒定律中关于时间的偏导方程组及电荷守恒定律中关于时间的偏导数等于数等于0，得到关于，得到关于 E 和和 J 的的基本方程基本方程。d0lEl0EEJd0SS J0J 本构关系本构关系 特点：特点：在导体内部，恒定电流场无散无旋。在导体内部，恒定电流场无散无旋。媒质交界面条件 媒质交界面条件媒质交界面条件实际上是基本方程在媒质交界面上实际上是基本方程在媒质交界面上的表现形式。的表现形式。静电场下静电场下： D0E21nnDDt 1t2EE恒定电流场下恒定电流场下：
6、0J0E21nnJJt 1t2EE21()0nJJ21()0nEE折射定律111 11112222222/tantan/tntntntnJJEJJJEJEJ良导体与不良导体的交界面如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大于 2，则21211 0 0nnnEEJ2111/ 0tttEEJ材材 料料/Sm-1材材 料料/Sm-1银银铜铜金金铝铝铁铁6.21075.81074.11073.51071.0107海水海水蒸馏水蒸馏水湿土湿土干土干土玻璃玻璃5321041021031051012良导体表面内侧良导体表面内侧，电流法，电流法向分量很小，电流近似平向分量很小，电流近似平行于良导体表面
7、流动。行于良导体表面流动。良导体表面外侧良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导体表面。体表面。1 0nJ2111/ 0tttEEJ恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不大，其表面可以大，其表面可以近似视为等位面近似视为等位面。基本方程1122tntnEEEE例1 一平行板电容器填充两种媒质，电导率和电容率分别为1、1和 2、2，两板之间的电压为U。求媒质交界面上积聚的电荷密度
8、。解：设媒质1、2中的电场为E1、E2，则1212222ddUEEUEEd交界面上121122nnJJEE求得21122UEd12122UEd交界面上面电荷密度为2112212211122()nnUDDEEd 只有当 ，即 时，媒质分解面上无集聚电荷。22112112 例例2 设平行双输电线间距设平行双输电线间距d=50cm，电压，电压U=100V，电流电流 I=300A，导体截面，导体截面S=150mm2，求导线内部，求导线内部及表面场强。及表面场强。7108 . 5分析：分析：内部内部110.035(V m)tJEE1JE210.035(V m)ttEE由边界条件由边界条件由电轴法，沿由电
9、轴法，沿AB)11(202rdrEn2E0rdaABnE21E两导体之间电压两导体之间电压00lnABdUa有：有：211()1700(V m)2lnnUEdaadaatnEE22结论：结论：导体内部电流平行于导体流动；导体内部电流平行于导体流动；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；( (如何产生如何产生的？的？) )导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；恒定电场拉普拉斯方程 在均匀导电媒质中，将电位函数的定义式代入在均匀导电媒质中，将电位函数的定义式代入散度方程散度方程Const00J20电位电位 的媒质交界面条件
10、的媒质交界面条件2112ttEE1212nn12nnJJ EEJ 恒定电场中，电位函数 的边值问题与静电场中 的边值问题完全相似，揭示了相同的物理规律揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。0J第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻静电场（静电场（ ） 恒定电流场恒定电流场 对应量对应量00E0EEE EE0 J0 DDJEJED0212nnJJ12nnDDttEE21ttEE210212
11、121212nn1212nn基本基本方程方程电位电位函数函数衔接衔接条件条件dsIJsdsqDsqI qCUIGUCG其它其它静电比拟的条件静电比拟的条件 两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）；两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）； 相应电极的电压相同；相应电极的电压相同； 界面具有相似的几何形状，且满足条件界面具有相似的几何形状，且满足条件1212/静电比拟：静电比拟：右图右图静电场与恒定电静电场与恒定电场有完全相似的场有完全相似的结构和形式完全结构和形式完全相同的解答。相同的解答。静电场便于计算静电场便于计算 通过静电比拟计算恒定电场通过静电比拟计算恒定电场恒定电场便于实验恒定
12、电场便于实验某些静电场问题可用恒定电流场模拟某些静电场问题可用恒定电流场模拟第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻第 4 章 恒定电场 恒定电场的电流和电源 恒定电场的基本方程 恒定电场与静电场的比拟 电导与电阻（1 1） 电导与电阻电导与电阻恒定电流场的电路参数恒定电流场的电路参数 URI/GI U（2 2） 漏电导与绝缘电阻漏电导与绝缘电阻 工程中，电极之间有时需填充不导电的材料作电绝缘。而实际上，这些材料，因此当电极间加直流电压时，总会有电流从正电极经绝缘材料流到负电极，这种电流称为漏电流0URIIGU电阻电阻定义为两个电极之间
13、的电压与电流之比定义为两个电极之间的电压与电流之比。 电导电导定义为电阻的倒数：定义为电阻的倒数：漏电阻（绝缘电阻）:极间电压U与漏电流I之比为。漏电导定义为绝缘电阻的倒数（3） 电导的计算 直接用电流场计算直接用电流场计算设设 d IIUGUJJEEl() d IUIGUEJEJS或设设 静电比拟法静电比拟法 当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。ddddddSLSSLSCQ UGI UDSElESJSElES例3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外半径分别为R1、R2，长度为 l ,中间媒质的电导率为 ，介电常数为 。求绝缘电阻。解法一 直接计算电流场设22IJIIJE
14、rlrl电导电导212ln/IlGURR绝缘电阻绝缘电阻2111ln2RRGlR2121ddln22RRRIIUrrllREl同轴电缆横截面解法二解法二 静电比拟法静电比拟法由静电场解得由静电场解得212,ln/lCRR则根据GC关系式得关系式得212,ln/lGRR同轴电缆电导211ln2RRlR绝缘电阻同轴电缆横截面例例4 一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导率已知，电极间电压率已知，电极间电压U 已知，已知，求：求：（1 1）弧片内的电位分布；）弧片内的电位分布；（2 2）总电流）总电流 I 和弧片电阻和弧片电阻 R ；（3 3）分界面上电
15、荷密度。）分界面上电荷密度。解：列边值问题解：列边值问题022(0)4 012()421U 20 214412124412020在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中22222211()z导电片很薄，可忽略导电片很薄，可忽略z方向的变化：方向的变化：220z由边界条件知：由边界条件知：220故：故：21()0解之得：解之得：12lncc1U 20 由边界条件由边界条件 ： , 确定确定c1, c2。 E1= E2= J1= J2= I1= I2= I=I1+I2= R=U/I=（4 4）多个电极之间的部分电导（自学）多个电极之间的部分电导（自学）与部分电容概念类似，当存在多个电极时，电与部分电容概念类似
16、，当存在多个电极时，电极两两之间存在电导，称为部分电导。极两两之间存在电导，称为部分电导。（自学）（自学）5. 5. 接地电阻接地电阻（1 1） 接地接地 接地就是将电气设备的某一部分和大地相联接，其作用是： 保护人员的安全； 保护设备免受电磁干扰（电磁屏蔽与电磁兼容）； 大地作为传输导线（三相四线制三相四线制380V系统变压器中性点接地系统变压器中性点接地） 分别称安全接地安全接地和工作接地工作接地。接地电阻包括：接地电阻包括：接地器电阻接地器电阻，接地，接地器与土壤之间的器与土壤之间的接触电阻接触电阻和和土壤电土壤电阻（接地电阻以此电阻为主）阻（接地电阻以此电阻为主）深埋球形接地器深埋球形
17、接地器（2） 深埋球形接地器 深埋接地器可不考虑地面影响,其电流场可与无限大区域 的孤立圆球的电流场相似。)(24IIJr24rIJE2d44aIIUrra14Ra接地电阻某1kV大电流设备线路接地电阻要求R0.5W。若使用球形接地器，问半径应多大？设土壤电导率为10-2S/m。（3）考虑地面影响的球形接地器 考虑地面的影响，可用镜像法处理。设深度h远大于球半径a，则在空气中放置一镜像电流源I，则空间任意一点，非深埋的球形接地器接地电阻002244iiIIrrrrJ22211dd()4442ahIIIUrrrrah002244iiIIrrrrE111()42Rah1h2h1I靠近悬崖边的接地器
18、：22121211111()422(2 )(2)Rahhhh1h2h2I3I1I4I1h2h1h2h1h2h接地电阻注意：注意：电流的镜像源是同号的，这与电荷电流的镜像源是同号的，这与电荷的镜像不同！的镜像不同！接地电阻Why？思考：如果球的半径a与h相比不可忽略，存在简单的镜像电流源吗？为什么是2I？接地电阻 aR21（4 4）地表半球形接地器）地表半球形接地器考虑地面的影响用镜像法处理。设电流I，浅埋半球形接地器浅埋半球形接地器22242IIJJErr22r ar aIIra接地电阻例5：由半径为a的半球形接地器构成的系统如图，两接地器之间所加电压为U，大地的电导率为 。若 ，求：（1）两电极间的电阻；（2）流经地中电流。0Da为保护人畜安全起见OUU （危险电压取40V)在电力系统的接地体附近在电力系统的接地体附近要注意危险区要注意危险区。002IbxU相应相应为危险区半径。为危险区半径。6. 6. 跨步电压跨步电压半球形接地器的危险区半球形接地器的危险区bxxbxxbIrIdrrIU)(2)1(222bxx电流通过接地体流入大地，在接地体附近，行人跨步之间的电压称跨步电压。以浅埋半球接地器为例，222,2rIJErIJ精品课件精品课件！精品课件精品课件！作业：作业： 4.4, 4. 6 ,4.9, 4. 10
