1、5 5-1 测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差的来源一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响一一. .产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限, ,轴系残余误差轴系残余误差, ,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制, ,经验经验, ,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素( (温度变化温度变化, ,风风, ,大气折光大气折光) ) 结论：观测误差不可避免结论：观测误差不可避免
2、(粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件观测条件: : 上述三大因素总称为观测条件上述三大因素总称为观测条件等精度观测等精度观测: :在上述条件基本相同的情况下进行的各在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为次观测，称为等精度观测等精度观测。二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规律一定的规律变化。变化。例：例： 误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差
3、i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) )操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差表面看没有任何规律性，但大量的误差有有“统计规律统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例：例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准
4、、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差如何评价数据的精度？三三. .偶然误差的特性偶然误差的特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：nlll,21n,21iilX (5-1-1)(5-1-1)真误差真值观测值 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d 有限性：偶然误差应小于限
5、值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。2)(221)(xexf的偶然误差是观测值式中：叫标准差当离散型方差：iiniiiniiilnnppdfD,1,)()(12212222中误差n二、相对中误差二、相对中误差平均误差lnm一、中误差一、中误差第一组观测 第二组观测 次序 观测值 l 2 观测值 l 2 1 1800003 -3 9 1800000 0 0 2 1800002 -2 4 1595959 +1 1 3 1795958 +2 4 1800007 -7 49 4 1795956 +4 16 18
6、00002 -2 4 5 1800001 -1 1 1800001 -1 1 6 1800000 0 0 1795959 +1 1 7 1800004 -4 16 1795952 +8 64 8 1795957 +3 9 1800000 0 0 9 1795958 +2 4 1795957 +3 9 10 1800003 -3 9 1800001 -1 1 | 24 72 24 130 中误差 7.221nm 6.322nm 4 .221 n1)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf2)(2)(22221)(1, 0021)(xxexfxexf则若m m1 1较
7、小较小, , 误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 两组观测值中误差图形的比较：两组观测值中误差图形的比较：m m1 1= = 2.72.7 m m2 2= = 3.63.6 xxxx9973. 0)33()(9545. 0)22()(6826. 0)()(1)(,),(332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当1)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)( xf222)(21)(xexf22221)(0 xex
8、f则若9973. 0)(9545. 0)(6826. 0)()(3322xfxfXPxfm2允m3允或：5 5 -3观测值的算术平均值及改正值 xnlniil 1算术平均数：满足最小二乘原则的最优解xnlnlniil1一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解XnlnnnnlXnlim0lim4）特性更据偶然误差第（xnlnnlXlXlX2211将上列等式相加，并除以n,得到iiilxllvl改正值的特性 0ivv定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解0l- 2 2xvdxvvdminiivv最小二乘0)(ilxxnl211niivmn 1122nvnii中误差nnlXlXlX2211nnlx
9、vlxvlxv2211)()()(2211xXvxXvxXvnn222)()(2xXxXvviii 取和2)()(2xXnxXvvv2)(xXnvv )0(v2213121222221222)(2)()()()(nnnnxXnxXxXnxXnvnnn)(xXvii对1)(2nvvnnvvxXnvv代入前式代入前式次序 观测值 l 改正数 v vv 1 123.457 -5 25 2 123.450 +2 4 3 123.453 -1 1 4 123.449 +3 9 5 123.451 +1 1 和 123.452 0 40 毫米16.3232.61540452.123mnlliilXnmil
10、xivnlx1nvvm二、中误差二、中误差.),(21xxfy设有函数式：nmyyy y=? 观测值函数的中误差 误差传播定律一一. .观测值的函数观测值的函数例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和( (差差) )函数函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?nmzzz )()(yyxxzzyxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和( (差差) )函数函数yxz已知：mx,my, 求：mz=
11、?yxz111yxz222yxznnnyxz2222yyxxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz和和 2222yyxxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?yxz2222yyxxz和和 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym?0222yxzmmm二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?222yxzmmmyxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和
12、差函数（一）和差函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?yxz2222yyxxz和和 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym0222yxzmmm二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz 已知：mx,求：mz=?nmzzz xkz11xkz22xkz22xkz21221xkz22222xkz222nnxkz和平方222xkz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz 已知：mx,求：mz=?nmzzz xkz222xkznxknz222222xzmkm xzmkm m2 . 0m5
13、.168m2 . 0mm2002 . 0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解：解：例例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1列函数式中误差式二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数三）线性函数nnxkxkxkz2211已知：mxi,求：mz=?222xymkm iiixky :令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm（三）线性函数三）线性函数nnxkxkxkz221122222221212nxnxxzmkmkmkm特殊n
14、lllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmnm21mnnmmxxi为独立独立观测值例：例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误差 ：xxmMxM /凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。( (四四) )一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数),(21nxxxfZxi为独立独立观测值对上式上式线性化nndxxfdxxfdxxfxxxfZn2211000),(21120001122(,)nnnf xxxf dxf dxf dxiiidxxx0id
15、xixmm 22222212212nxnxxzmfmfmfm222222212212nxxxzmxfmxfmxfm22222221212.nnymfmfmfm 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三
16、、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。 abP adbbdadP2222bapmambm22)02. 0500()02. 0400(2228 .12108mmmmm3,180ffm22291fmmm222223mmmmmf222234391mmmm错误mmmm3,180ffmmmmmmmmm329696919194603332222222222222222cossincossincoscosvSDvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvS
17、D或，三，二，一，5 5 -6 误差传布定律应用举例22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，nlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221次序观测值 l1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm误差传播
18、定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：3 . 435 . 7xm测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m例：例：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 15f5 . 7, 152ffmmf则1233180321xfmmf）（ 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。15fDMPxycossinxDyDXYO由误差传播定律：2222222220cossincos72 20 4024
19、0sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmm解：解：180206265P点的点位中误差：222225.338.346.3PxyMmmmm例例9：已知直线MP的坐标方位角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。20m 40Dmmm xmymPMcossinsincosdDdddDddDyDxAlClBl3CBAlllxx=?AlClBl1212874321lllllllxCPBPAPlPlPlPl
20、llCCBBAACBA543543 ( ) ( ) ( )llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/ )(2232122llmmp iiinnnplpppplplplpx212211nlxppii当：.CSCBSBASASiiiiilPplPplPpPlpplpxsxpmm ppPsx.2222222CSCBSBASAxmPpmPpmPpm.2222222CSCBSBASAxpmPppmPppmPpmSSCSBSAxPmmPpmPpmPpm22222222. npm)(21)(2npvvm如果m要用改正数v计算，则次序观测值l权p改正数vpvpvv1123.4573-
21、4.5-13.560.752123.4503.5+2.58.821.883123.4535-0.5-2.51.254123.4491+3.53.512.255123.4512.5+1.53.75.62S123.452515.0046.63452.1230 ll毫米42. 3283. 61563.460m毫米0 . 10ilpmm例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值： 18204012961020400PLpLppLx1 2 402014 4 1 42 4 40 20 1
22、7 7 2 143 6 40 20 20 10 3 30 L0= 40 20 10 6 489 .313301 npvvmo810240 pplx6 .169 .30 xxpmm6 ppx例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号 测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值： 18204012961020400PLpLppLx1 2 40 2014“ 4 2 82 4 40 2017“ 7 4 283 6 40 2020“ 10 6 60 L0= 40 2010 12 965 .513601 npvvmo810240 pplx6 .1125 .50 xxpmm12 ppx22jjmmP ),(,21nxxxfy22222221212nnymfmfmfmnnypfpfpfp22221211pppp3,180ffppppppppp236996191191194160333
