1、1.1机械振动的运动学概念机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是研究机械系统的某些物理量在某一数值附近随时间t变化的规律。可用函数表示为x=x(t);对于周期运动，表示为x(t)=x(t+nT) 其中T为振动的周期，其倒数即为f=1/T1.1机械振动的运动学基本概念)2sin()2cos(tTAtTAxT21.简谐振动位移和时间可以用时间表示：角速度称为简谐运动的角频率或圆频率，单位为rad/s，可表示为它与频率f有关系式：f21-1)sin()cos()(tjAtAAeztj)sin()sin()2sin()cos
2、(22tAtAxatAtAxv 简谐振动的速度和加速度是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数：在振动分析中。有时我们用旋转矢量来表示简谐振动，旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率。若用复数来表示，则有：（1-2）（1-3）Im)(tjAex这时，简谐振动的位移x可表示为：ImImImIm)()2()(2)(tjtjeAAexaeAAejxvtjtj 简谐运动的速度和加速度表示为：（1-4）（1-5）tjtjjeAeAez式（13）还可改为：jAeA 式中：是一复数，称为复振幅。它包含振动的振幅两个信息。（16）2.周期振动任何周期函数，只要满足条件（1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，
3、且间断点上函数左右极限存在；（2）在一个周期内，只有有限个极大小值；则可展开为Fourier级数的形式。.2sinsin.2coscos2)(21210tbtbtataatxtdtntxTbdttntxTbdttxTaTnTTsin)(2cos)(2)(200000此时：其中：（1-7)sin(2)(tan)sin(sincos1022nnnnnnnnnnnnntnAatxbabaAtnAtnbtna对于特定的n，我们可得式中：于是，方程（1-7）又可表示为：(1-8)sin()sin(222111tAxtAx3.简谐振动的合成u两个同频率振动的合成有两个同频率的简谐振动22112211222
4、1122211coscossinsintan)sinsin()coscos()sin(AAAAAAAAAtAx它们的合成运动为：式中：u两个不同频率振动的全成有两个不同频率的简谐振动tAtAxxxtAxtAx22112121222111sinsinsinsin若则合成运动为：对于，这时有tAAAAAtAAAAAtAxtAxtAxAAcos2)(1cos2sin)sin(sin122121212221112211112合成运动可表示为：式中：1.2构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。u惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。u恢复性就是能使物体位置恢复到平衡
5、状态的性质。u阻尼就是阴碍物体运动的性质。从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，有：质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理参数。22dtxdmF 典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs Fs(x)其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为线性函数时，即Fskx比例常数K称为弹簧常数或刚度系数，单位为N/m。阻尼力Fd反应阻尼的强弱，通常是速度的函数。当阻尼力Fd与速度成正比时，有：x
6、cFd这种阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼，比例常数c称为粘性阻尼系数，单位为N.s/m质量，弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。质量大小、弹簧常数和阻尼系数是表示振动系统动特性的基本物理参数。1.3自由度和广义坐标为了建立振动系统的数学模型，列出描述其运动的微分方程，必须确定系统的自由度数和描述系统运动的坐标。物体运动时，受到各种条件的限制。这些限制条件称为约束条件。物体在这些约束条件下支边动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就是该系统的自由度数。一个质点在空间作自由运动，决定其位置需要三个独立的坐标，自由度数为3。而由n个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度数为3n。刚体运
7、动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿直角坐标x,y,z的三个平动位移和绕x, y, z的三个转角，所以其自由度数为6。弹性体、塑性体和流体等变形连续体，由于由无限个质点所组成，其自由度数有无限多个。),.,(111nnnzyxzyx当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质点系，各质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件，约束方程为：rkzyxzyxfnnnk,.,2 , 10),.,(111为了确定各质点的位置，可选取N3n-r个独立的坐标：来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动，其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条件的形式。Njzyxzyxqqnnnjj,.,3 , 2 , 1),.,(111
