1、1 1. 留数留数如果函数如果函数f(z)在在z0的邻域内解析的邻域内解析, 那么根据柯西定理那么根据柯西定理.0d)(lzzflzzfd)(但是但是, 如果如果z0为为f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿在则沿在z0的某个的某个去心邻域去心邻域0|z- -z0|R内包含内包含z0的任意一条正向简单闭的任意一条正向简单闭曲线曲线l的积分的积分一般就不等于零一般就不等于零.4.1 留数定理留数定理一一. 留数及留数定理留数及留数定理2f(z)=.+a- -n(z- -z0)- -n+.+a- -1(z- -z0)- -1+a0+a1(z- -z0)+.+an(z- -z0)n+.2d)(
2、1-iazzfl100)(Resd)(21)(Res-azfzzfizfC其中其中a- -1就称为就称为f(z)在在z0的的留数留数, 记作记作Resf(z0), 即即因此将因此将f(z)在此邻域内在此邻域内展开为洛朗级数展开为洛朗级数后后,两端沿两端沿l逐项积分逐项积分, 右端各项积分除留下右端各项积分除留下的一项等于的一项等于 外外, 其余各项积分都等于零其余各项积分都等于零, 所以所以110a (z-z )-12 ia-) 1(0)(21-n dzaziln-)( , 1)(, 0)(21aa包围不包围l l dzazil-13 2 留数定理留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立
3、奇点 b1,b2,.,bn 外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则njjlbfizzf1).(Res2d)(Db1b2b3bnl1l2l3lnl留数定理将回留数定理将回路积分化为被路积分化为被积函数在回路积函数在回路所围区域上各所围区域上各奇点留数之和奇点留数之和4证证 把在把在l内的孤立奇点内的孤立奇点zj(j=1,2,.,n)用互不包含的用互不包含的正向简单闭曲线正向简单闭曲线lj围绕起来围绕起来, 则根据复合闭路定理有则根据复合闭路定理有 l 包围一个f(Z)的孤立奇点0Z时 )(zf=-+-kkkzza)(0 Cauchy 定理知：ldzzf)( = 0)(ldzz
4、f 又Qi21-lzdza=)(1(0aa包围）不包围ll dzzfl)(= -+-0)0(lkkkdzazz=1-a2i=2i1-a 1-a=Resf(0z) 5求函数在奇点求函数在奇点z0处的留数即求它在以处的留数即求它在以z0为中心的圆环为中心的圆环域内洛朗级数中域内洛朗级数中a- -1(z- -z0)- -1项的系数即可项的系数即可. 但如果知但如果知道奇点的类型道奇点的类型, 对求留数可能更有利对求留数可能更有利. l包围多个孤立奇点时：包围多个孤立奇点时：njjlbfizzf1).(Res2d)(即+nlbfbfbfzzfi21)(Res)(Res)(Resd)(21L+llllz
5、zfzzfzzfzzfn.d)(d)(d)(d)(21L6设函数设函数f(z)在无限远点的邻域上解析在无限远点的邻域上解析,来计算绕来计算绕 的正向回路的正向回路积分积分 ldzzf在在l以外的区域上没有以外的区域上没有f(z)的有限远奇点的有限远奇点,将将f(z)在在无限远的邻域上展为洛朗级数无限远的邻域上展为洛朗级数,并代入积分式并代入积分式,可得可得除除k=-1项外项外,其他各项为零其他各项为零,则有则有-a-1定义为定义为f(z)在无限远点的留数在无限远点的留数 sfRe,留数定理对于无限留数定理对于无限远点也成立远点也成立,但要注意但要注意,即使无限远点不是奇点即使无限远点不是奇点,
6、 sfRe也可不为零也可不为零 kkllkf z dza zdz- -sfiaiiadzzflRe222113. 无穷远点的留数无穷远点的留数(1)7 之和在所有有限远点的留数zfidzzfl2)( (1)+(2)可得可得 在所有各点的留数之和zfi20 即函数在即函数在全平面上所有各点的留数之和为零全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点这里所有的点包括无限远点和有限远的奇点包括无限远点和有限远的奇点.如果如果f(z)只有有限个奇点只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部则所有有限远奇点必在某个圆的内部,zR在环域在环域 zR内任取一个回路内任取一个回路l,则由留数定理得则由留数
7、定理得(2)8（一）可去奇点的留数：一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 1. 如果如果z0为为f(z)的一阶极点（单极点）的一阶极点（单极点）, 则则（二）（二） 极点的留数极点的留数二二. 留数的计算方法留数的计算方法)( zf=- 1)(0kkkzza =1-a)(01zz-+0a+1a)(0zz-+2a)(02zz-+ )(0zz-f(z)= 1-a+0a)(0zz-+1a)(02zz-+2a)(03zz-+ )()(lim00zfzzzz-=1-a=Resf(0z) 9对于对于 f(z) 可表示为形式可表示为形式f(z)=)()(zQ
8、zP时，且时，且P(z),Q(z)在在0z点是解析的点是解析的， Q(0z)=0, )(0zQ0, P(0z)0 则有：则有： )()(lim00zfzzzz-=)()()(lim0000zQzPzzzz-= 00()()P zQ z罗毕达法则罗毕达法则 - - -1,1Re2zzesz例例 - -zzezz2lim1 - -1 ,1Re2zzesz - -+ + - -11lim21zzezzz - - - 11lim21zzezzz + + 1lim1zzezz21- - e2e 0Re()sf z102 如果如果z0为为f(z)的的m阶极点阶极点, 则则LL010011010)()()(
9、)(-+-+-+-+-+-m-mmmzzaazzazzazzazf)()(lim00zfzzmzz-非零有限值LL1010010101)()()()(+-+-+-+-+-+mmmmmzzazzazzazzaa0)()( -mzfzz+求求 得，得，1a- )()(lim00zfzzzz-=非零有限值)()(lim00zfzzmzz-非零有限值判断极点的阶判断极点的阶 )()(lim00zfzzzz-=)()()(lim0000zQzPzzzz-=00()()P zQ z0Re()sf z)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz-)()()!1(1lim)(Re
10、01100zfzzdzdmzsfmmmzz- 求留数求留数11有了以上法则有了以上法则,我们就可以不必把函数我们就可以不必把函数f(z)展开为洛朗级数就展开为洛朗级数就可以判断极点的阶可以判断极点的阶,而且还可以算出函数而且还可以算出函数f(z)在极点的留数在极点的留数.求求f(z)=1/(zn-1)在在z0=1的留数的留数解解)(lim1zfzz0=1是函数的极点是函数的极点,) 1.)(1(111)(21+-zzzzzzfnnn由此可得由此可得z0=1是单极点是单极点nzzz zzzzzsfnnznnz1) 1.(1lim) 1.)(1(1) 1(lim) 1 (Re211211+-另解另
11、解nnzznznz11lim) 1(1lim111-12确定函数确定函数f(z)=1/sinz的极点的极点,求出函数在这些极点的留数求出函数在这些极点的留数解解)(, 0sin),(zfz Znnz因此可以确定因此可以确定, 是极点是极点nz 0znzzfnznznzsinlim)(lim-应用罗毕达法则可以确定上式的极限应用罗毕达法则可以确定上式的极限nnznznzzznzzfnz1cos1limsinlim)(lim-(-1)n是非零有限值是非零有限值,因此因此 是是f(z)=1/sinz的单极点的单极点,且且f(z)在在nz 0单极点的留数就是单极点的留数就是(-1)n13确定函数确定函
12、数f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的极点的极点,求出函数在这些求出函数在这些极点的留数极点的留数.解解对分母先进行处理对分母先进行处理,分离出因式分离出因式,并约分并约分)2(1)2)(2(2)4(2)(3323izzizizzizzzizzf-+)(,2z fizz0=2i是极点是极点8811lim)(2lim322iizzfiziziz-z0=2i是单极点是单极点,在此点留数为在此点留数为i/8)(, 0z fzz0=0是极点是极点iizzfzzz2121lim)(lim030-z0=0是三级极点是三级极点由此我们按照计算由此我们按照计算m级极点留数的法则级极点留数的法则,可得可得
13、:14-izdzdzfzdzdsfzz21! 21lim)(! 21lim)0(Re220322088121lim30iiizz-计算沿单位圆计算沿单位圆|z|=1的回路积分的回路积分解解+1|2) 10(2z zzdz令被积函数令被积函数+zzzf21)(2的分母为零的分母为零,可以得到可以得到二次代数方程二次代数方程022+zz其两根为其两根为211-z就是函数就是函数f(z)的两个单极点的两个单极点单极点单极点 的模的模211-z11111122-+-故此单极点在单位圆外故此单极点在单位圆外,也在积分回路外也在积分回路外,计算积分不用考虑计算积分不用考虑15单极点单极点 的模的模211-
14、+-z1)1 (1)1)(1 (1111122-+-+-故此单极点在单位圆内故此单极点在单位圆内,计算积分时必须考虑计算积分时必须考虑,我们可以得到我们可以得到222121221lim21lim11Re00-+-+-zzzsfzzzz然后应用留数定理可得结果如下然后应用留数定理可得结果如下-+1|220211212)(Re22ziizsfi zzdz161ch2)2e2e(2d1e.2e1elim1e) 1(lim) 1(Res2e1elim1e) 1(lim) 1 (Res121121121iizzzzzzzzfzzzzzfCzzzzzzzzz+-+-+-因此17 20Re011limzzesfzz z-0 211limzzezz- - zedzdzzlim1 - - - - - 2211)1(!121limzzezdzdzz Re1sf1, 0 zz奇点：奇点：解解则结果为则结果为 22Re0Re121zCedzisfsfiz z+- .2,) 1(2，正向为计算练习练习2.2.-zCdzzzeCz 2( )(1)zef zz z-
