1、Sichuan Normal University物理与电子工程学院目录窄带随机过程的一般概念与预备知识希尔伯特变换窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 2 一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限带过程。 在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同，分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功率谱密度 具有以下特点则称X(t)为低通过程。X
2、S ,0,XcXcSSSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 3 00,0,XccXSS其它 XS0cc若X(t)的功率谱密度满足则称X(t)为带通过程。Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 4 若在上式中， 则称X(t)为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程。0c XS0000000cccc Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 5一、正弦型信号的复数表示方法简单的正弦型信号可以表示
3、为0( )cos()cos ( )s tatat00( ),tta其中、 、都是实常数。很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。 Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 6 对于式 的正弦信号来说，一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数函数 为或式中 称之为复包络。比较以上两式可得，0( )cos()cos ( )s tatat 0jtjtjs taeaee s t 0jts taejaae Res ts tSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备
4、知识Page 7 将复指数函数 展开，可得 式中，s(t)是原来的实信号， 是另一个实信号。 0jts tae s ts tjs t s t00( )cos ( )cos()( )sin ( )sin()s tatats tatatSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 8 设s(t)是任意实信号，具有频谱 ，根据前面的讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分析，我们想寻找一种复信号 ，它同时满足式中， 是该复信号 的频谱。1. ( )R e( )2,02.()0,0s ts tXX( )X( )s t( )s t X
5、 二、任意信号的复数表示方法Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 900( )12jtjtjts tXedXedXed 利用令则XX 001( )2j tj ts tXedXed012jtAXed012jtAXedSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 10 ( )2ReRe 2s tAAAA 现在假定我们已经找到一个复信号 ，它的频谱 满足又从而( )s t( )X()2XXU( )()s tX( )Re( )s ts tSichuan Normal
6、University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 11解析信号进一步得出上式给出了解析信号 的虚部 和它的实部（即原来的实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert）变换，记作( )( )s tH s t( )s t( )s t1( )ss tdt ( )( )( )s ts tjs tSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 12归纳以上的讨论，可以得出几点结论：（1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时两个条件的复信号 。（2）可将此复信号表示成解析表达式其虚部 是s
7、(t)的希尔伯特变换，即（3）式 给出的是一种非常重要的复信号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包络。1. ( )Re( )2,02.()0,0s ts tXX( )s t( )( )( )s ts tjs t( )( )( )s ts tjs t( )s t( )H( )s ts tSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 13三、高频窄带信号的复数表示方法 所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱限制在载波频率 附近的一个频率范围内，而且此频带范围远小于载波频率。 常将窄带信号表示为 展开可以
8、得到其中由于 、 都是低频限带信号。可见， 和 也都是低频限带信号，且 与 彼此正交。0 0( )( )coss tA ttt 00( )cossincss tsttstt ( ) coscstA tt ( ) sinsstA tt( )A t t cst cst sst sstSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 141. 窄带信号的复解析表示 若s(t)为窄带信号，其振幅频谱 如下图所示，定义窄带信号的解析信号 为式中， 。从而 的振幅频谱 如下页图所示。 X Hs t ( )( )Hsts tjs t( )( )s
9、tH s tHs t HX窄带信号频谱举例000000111102222 XSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 15解析信号 的振幅频谱00011022 HXHs tSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 162. 窄带信号的复指数表示 定义s(t)的复指数函数为 式中 通常，将 称为的复包络；将 称为复载频。 可见，复包络 也是低频限带信号。 即，复指数函数的实部就是窄 带信号s(t)。 000( )( )( )jttejtjtjtstA t eA
10、t eeA t e ( )( )jtA tA t e( )A t0jte ( )( )cos( )sincsA tA ttjA ttstjst( )A t Re( )ests tSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 17 下面再来求 的频谱 。 对下式两端作傅里叶变换，并利用傅里叶变换的相乘性质及可得可见， 具有单边带频谱。( )es t eX ( )A tA( )( )A tA00jte 0( )( )jtA tA t e000()()()eXAAdA eXSichuan Normal University物理与电子工程
11、学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 18 下面我们再来求复指数函数 的频谱 与原来实信号s(t)的频谱 之间的关系: 或上式说明，用复指数信号 表示实窄带信号s(t)时，虽然它的实部仍为原来的实信号s(t)，但是，它的频谱 不满足 即 。这是复指数信号与解析信号的差别。( )es t eX X 02()eXXA 00() 2()AXA 2,0( )0,0XX eX( )es t 2eXXUSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机过程的一般概念与预备知识Page 19下图画出了窄带信号条件下， 、 和 之间的关系。 eX X()AX()A0000 e
12、X00Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 20 定义定义：在区间 内给定实值函数x(t)，它的希尔伯特变换记作 （或者记作 ） 用 代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形式为 t ( )H x t( )x t 1xH x tx tdtt 11x tx tx tdd Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 21 下面给出希尔伯特变换的两个重要性质： （1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。1( )( )x tx tt 希尔伯特变换等效为90移相的线性滤波器1h(t)=t( )sgn( )H
13、j ( )x t( )x tSichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 22( )f t00( )cosH f tt 推广：推广：若是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零若是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频率限制在频率限制在 以下），则有：以下），则有：0( )sinH f tt并且有：并且有：H奇函数奇函数=偶函数偶函数 ，H偶函数偶函数=奇函数奇函数0( )sinf tt0( )cosf tt Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 23 111x tx tHx tdx td （2）希尔伯
14、特逆变换为 Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换希尔伯特变换的性质 ( )( )H x tx t （1 1）两次变换等于反相两次变换等于反相(2)( )( ) *( )( )( ) *( )( ) *( )11 ( )( ) *( ) *( ) *( )( ) *( )y th tx ty th tx th tx ty th tx th tx ttth tx t若Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换22-22-2-*(3) ( )( )( )( )11lim( )lim( )221( )=( )( )21(
15、 )( )21( )( )21( )( )(2TTTTTTj tj tx tx tx t dtx t dtx t dtx t dtTTx t dtx tXed dtXx t edtdXXdXHH与的能量及平均功率相等证明：*2-)( )( )Xdx t dtSichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 26( )X t( )( ),XXXRR ( )( ),XXRR （4）对于平稳随机信号）对于平稳随机信号 ，它的希尔伯特变换也是平稳，它的希尔伯特变换也是平稳的，并且有：的，并且有：( )( )XXXRR( )( )()()()11()()()()1
16、( )XXXXRE X t X tX tX tEddE X tX td dRRd ddR 证明：证明：Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换1( )( )XXXRRt( )XH R( )XR1( )( )XXXRRt ( )XH R ( )XR Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 28(0)(0),XXRR(0)( )( )0XXRE X t X t( )X t （5）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：这表明这表明 ： 与与 功率相等且
17、彼此正交。功率相等且彼此正交。( )X t证明：证明：由性质（由性质（3）可得：）可得：因为因为 是偶函数，所以是偶函数，所以 是奇函数，是奇函数，(0)(0),XXRR即希尔伯特变换前、后信号的功率相等。即希尔伯特变换前、后信号的功率相等。( )( )XXXRR( )XR于是可得：于是可得：(0)( )( )(0)0XXXRE X t X tR( )X t因此，在同一时刻上因此，在同一时刻上 与与 彼此正交。彼此正交。( )X tSichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 29(6)( )( )( )( )( )=( )(7.2.14)( )(
18、)(7.2.15)XXXXXXXXXXX tX tRRRRRR平稳随机信号与其希尔伯特变换的统计互相关函数和时间互相关，分别等于X(t)统计自相关函数的希尔伯特变换和时间自相关函数的希尔伯特变换Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 30( )( )()()( )( )()()( )XXXXRE X t X tX tE X tdE X t X tdRdR证明：Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 31(7)( )a t00000设具有有限带宽的信号的傅里叶变换为A( )，假设/2，则有Ha(t
19、)cost=a(t)sintHa(t)sint=-a(t)costSichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 32000000( )( )( )()()( )sgn( )( )(),02(),02jtjta t ea t eXAAXjXjAjA 011证明：x(t)=a(t)cost=221122Sichuan Normal University物理与电子工程学院希尔伯特变换Page 3300000000/2/200/2/200/2/2/2/20( )()()22,( )( )( )22( )( )( )sin22j tj tjtjtj tj tj
20、tjtjjx tAedAedjjx teAedeAedjjea tea ta tt 令Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机信号的性质Page 34l分析条件X(t) 是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于0都是慢变化过程，则很明显Ac(t),As(t)相对于0为慢变部分。Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机信号的性质Page 35性质1：X(t)是均值为0的平稳过程，则Ac(t), As(t)也是均值为0的平稳过程，且联合平稳性质2：p自相关函数相同：p平均功率相同：p方差相同
21、：00sin)(cos)()()(XXXAARRRRsc(0)(0)(0)csAAXRRR2X2A2Asc性质3：功率谱密度相同00()()2( )( )0csXXAAGGGG其它 Sichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机信号的性质Page 360000202( )XG0000202000020200sgn()()XG 00sgn()()XG 0()XG0()XG )(CAGSichuan Normal University物理与电子工程学院窄带随机信号的性质Page 37性质4：p互相关函数：p互相关函数为奇函数 ：p在同一时刻两者正交 ：性质5：互功率谱
22、密度 00( )( )sin( )coscsA AXXXRRR )(R)(R)(RcsscscAAAAAA(0)(0)0csscA AA ARR00()()2()()0csscXXA AA Aj GGGG 其它00( )( )sin( )cosscA AXXXRRR Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 38窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布假定窄带高斯过程X(t)X(t)的均值为零, ,方差为2 2)(t宽带噪声宽带噪声N(t)高频窄带系统高频窄带系统包络检波包络检波相位检波相位检波窄带高斯过程窄带高斯过程X(t)(tA0( )( )cos( )X
23、 tA ttt平方律检波平方律检波2( )A tSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 39窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l若X(t)X(t)为高斯过程，则A Ac c(t),A(t),As s(t)(t)也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2 2 l由于A Ac c(t),A(t),As s(t)(t)在同一时刻是互不相关的，且二者都是高斯过程，所以，它们在同一时刻也是互相独立的。tcos) t (Xtsin) t (X) t (Atsin) t (Xtcos) t (X) t (A00s00c2aaexp21)a (f)a (f)a ,a (
24、f22st2ct2stActAstctAAscsc (0)0csA AR000( )( )cos( )( )cos( )sincsX tA tttA ttA ttSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 40窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l又又 ( )( )cos( )( )( )sin( )csA tA ttA tA tt(,)(,)csAttA ActstfaJ faal由于由于cos0sin02cttttsttttAAAAA cossinsincostttttttaJaalA(t)A(t)和和(t)(t)的联合概率密度的联合概率密度为为222(
25、 ,)(,)(,)exp0,0222cscsAttA ActsttA ActstttttfaJ faaa faaaaal即即l可得可得Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 41窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布n包络的一维概率密度为包络的一维概率密度为瑞利分布瑞利分布22220()(,)exp()02ttAtAttttaafafadan相位的一维概率密度为相位的一维概率密度为均匀分布均匀分布01()(,)022tAttttffadan在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独互相独立的立的随机变量随机变量222(,
26、)()()exp22ttAttAttaafafaf0,02ttaSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 42窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布包络和相位的二维概率分布l求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：l先求出四维概率密度先求出四维概率密度 l然后转换为然后转换为 l最后再推导出最后再推导出 , , ),(2211scscAAaaaafsc1122(,)Afaa),(21aafA12(,)f Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 43窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布
27、l两过程独立两过程独立0)(SCAAR11221212(,)(,)(,)cscsA AcscsAccAssfaaaafaafaal四维的联合分布可以用二维分布来表示：四维的联合分布可以用二维分布来表示： l（1）求）求1122(,)csA Acscsfaaaa1222221122221( , )21( )()2( )()() ()exp2(1( )XXXf x xxmxm xmxm 222211 221242422( )1( , )exp2( )2( )XXXxCxxxf x xCC Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 44窄带高斯随机过程的包络和相位
28、的概率分布222211221242422( )1(,)exp2( )2( )sssssAsssAssAAaRa aafaaRR ( )( )scAARR11221212(,)(,)(,)cscsA AcscsAccAssfaaaafaafaa222221212121224242() 2( )()1exp(2 ) ( )2( )cccccssAccssAAaaaaRa aa aRR222211221242422( )1(,)exp2( )2( )cccccAcccAccAAaRa aafaaRR Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 45窄带高斯随机过程的
29、包络和相位的概率分布111111111211222322222422cos(,)sin(,)cos(,)sin(,)cscsAAhAAAhAAAhAAAhA 1112124412.:.:0.hhAJA AhhAl（2）求）求1122(,)faaSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 46窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布11221122121122( ,) |(,)(,)cscscscsf aaJf aaaaa af aaaa1211112222(cos,sin,cos,sin)a a f aaaa1212,00,2a a 22212122112242
30、42()2( )cos()exp(2 ) ( )2( )0cccAAAaaRa aa aRRl其它其它Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 47窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布l（3）求）求 的二维分布的二维分布)(),(ttA22121122120022212121201242424212(,)(,)( )()exp,0( )( )2( )0,0ccccAAAAAfa af aadda a Ra aa aIa aRRRa a l第一类零阶修正贝塞尔（第一类零阶修正贝塞尔（Bessel）函数）函数2001( )exp cos 2Ixxdl包络的二维
31、分布包络的二维分布Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 48窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布1211221200421/21221/2(,)(,)( )(1)(arccos),0,24(1)0,cAff aada daR 其他l相位的二维分布相位的二维分布212( )cos()cAR12121212(,)(,)(,)AAfa afa af l窄带随机过程的包络窄带随机过程的包络 和相位和相位 的二维分布彼此是不彼此是不独立的独立的)(tA)(tSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 49余弦信号与窄带高斯过程之
32、和的概率分布l随机余弦信号随机余弦信号000( )cos()( cos) cos( sin) sinS tatatat 为已知常数，为已知常数， 在在 上均匀分布。上均匀分布。l均值为零，方差为均值为零，方差为 的平稳随机过程。的平稳随机过程。l 关于关于 偶对称。偶对称。l （ 均为高斯分布）均为高斯分布）00( )( ) cos( ) sincsN tA ttA tt2)(NG)2 , 0(0,a0( ),( )csA tA tl高斯窄带噪声高斯窄带噪声l理解分析过程理解分析过程Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 50余弦信号与窄带高斯过程之和的概
33、率分布00000( )( )( cos( )cos sin( )sin( )cos( )sin(cos( )cScsX tS tN taA ttaA ttA ttA ttA ttt）l合成信号合成信号( )cos( )ccA taA t( )sin( )ssA taA t 22( )( )csA tA tA t）l合成信号的包络合成信号的包络l合成信号的相位合成信号的相位1( )( )( )scA tttgA tSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 51窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布( )cos( ),( )sin( )ccssA taA tA
34、taA tl（1）求）求 在给定在给定 条件下的条件下的( ),( )csA tA t(/ ,/ )csA Actstfaal方差方差/ cosctE Aa/ sinstE Aa2/ ctctD AD A2/ StstD AD A222211(/ ,/ )exp(cos )(sin )22csA Actstctstfaaaaaal二维条件概率密度二维条件概率密度l均值均值l高斯过程高斯过程Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 52余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l（2）求）求 在给定在给定 条件下的条件下的,ttA(/ ,/ )Attfa cosct
35、ttAA sinstttAA 2222(/ ,/ )(/ ,/ )1exp2cos()22AttctstttttfaJ f aaaaaa a l由于：由于：l包络与相位的二维条件概率密度包络与相位的二维条件概率密度0,02ttacossinsincostttttttaJaaSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 53余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布)(tAaf20220222(/ )(/ ,/ )1exp()()2()tttttttAtf af adaa aaaIfa 0ta与 无关l（3）求包络）求包络 的一维概率密度的一维概率密度( )A t)()
36、(21exp)(202222ttttAaaIaaaaf0tal包络的一维概率密度包络的一维概率密度ln=2的莱斯分布的莱斯分布la=0时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 54余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布当当r 1时，（大信噪比时）时，（大信噪比时）l讨论：讨论：）（信噪比因子ra22()1()exp,022ttAttaaafaaaSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 55余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布2)(exp21
37、)(222aaafttA122ttaaaa当在 附近时l(高斯分布高斯分布)ta)(tAaf0r 1r 2r 3r 5r l包络的概率密度函数包络的概率密度函数a0接近瑞利分布小信噪比时，tA接近高斯分布附近在信噪比大时，tAa）（信噪比因子ar Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 56余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布l（4）求相位）求相位 的一维概率密度的一维概率密度()tf222cos()1expcos() exp1 cos ()2222tttrrrr( ) t1(/ )()2ttff当当r 0时，（小信噪比时）时，（小信噪比时）l（均匀分布）
38、（均匀分布）022220(/ )(/ ,/ )1exp2cos()22tttttttttff adaaaaa ada l概率积分函数概率积分函数Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 57余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布.cos()1 sin()()tttt当时，2222211(/ )exp() exp() 122122tttrrfrr l其均值为其均值为 ，方差为，方差为 高斯分布高斯分布21 r当当r时，（无噪声时，（无噪声）(/ )()ttf 22(/ )cos()expsin ()22tttrrf当当r 1时，（大信噪比时）时，（大信噪比时）.
39、()ttf当时，取最大值。Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 58余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布(/ )tf 5r 3r 2r 1r 0r )(t02l相位的概率密度函数相位的概率密度函数212()t u信噪比信噪比r极小时，接近极小时，接近均匀分布均匀分布u信噪比信噪比r较大时，在较大时，在附近接近附近接近高斯分布高斯分布u信噪比趋于信噪比趋于r时，趋于在上的一个时，趋于在上的一个冲激冲激l相位的一维概率密度总结相位的一维概率密度总结(/ )tfSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 59窄带高斯过程包络平
40、方的概率分布 若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为0,)()(2AUtAtU窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即0)2exp()(222ttttAaaaafl已知已知 ，则，则U Ut t的概率密度为的概率密度为ttUA 221()()()exp()022tttUtAtAtttdaufuJ fafuudun窄带高斯过程的包络平方为窄带高斯过程的包络平方为指数分布指数分布l窄带高斯噪声包络平方的分布窄带高斯噪声包络平方的分布Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 60窄带高斯过程包络平方的概率分布00( )
41、cos( )( )cos( )X tatN tA ttt 2( )( )U tA t2022211()exp() ,022tUttta ufuIuaul包络平方包络平方2202221()()exp(),.02ttAtttaa afaIaaal因为包络服从莱斯分布因为包络服从莱斯分布l包络平方的概率密度包络平方的概率密度l余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 61窄带高斯过程包络平方的概率分布2 分布分布 定义：若n n个互相独立的高斯变量X X1 1, X, X2 2, X,
42、 Xn n的数学期望都为零，方差为 ，则 的分布是具有n n个自由度的中心 分布niiXY122l（1 1）中心）中心 分布分布 22Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 62窄带高斯过程包络平方的概率分布概率密度为0)2()2(1)(221222yeynyfynnY4222nnmYY 性质性质：两个互相独立的具有：两个互相独立的具有 分布的随机变量之分布的随机变量之和仍为和仍为 分布，若它们的自由度分别为分布，若它们的自由度分别为n n1 1和和n n2 2，其和的自由度为其和的自由度为n= nn= n1 1+n+n2 2。22dtetxtx01)(S
43、ichuan Normal University物理与电子工程学院Page 63窄带高斯过程包络平方的概率分布定义：若n n个互相独立的高斯变量X X1 1, X, X2 2, X, Xn n的数学期望都为 ，方差为 ，则 的分布是具有n n个自由度的非中心 分布niiXY122l（2 2）非）非中心中心 分布分布 2im0)()(21)(21224222yyIeyyfnynY概率密度概率密度为为非中心分布参量非中心分布参量niim122Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 64窄带高斯过程包络平方的概率分布 性质：两个相互独立的非中心 分布的随机变量之
44、和仍为非中心 分布，若它们的自由度为n n1 1和n n2 2，非中心分布参量分别为 和 ，其和的自由度为n= nn= n1 1+n+n2 2，非中心分布参量为221221224224YYmnn 02)1(!)2()(mmnnmnmxxISichuan Normal University物理与电子工程学院Page 65窄带高斯过程包络平方的概率分布 对于两个自由度的中心 分布，即X Xi i(i=1,2)(i=1,2)是数学期望为零，方差为 ，且相互独立的高斯变量，则 为瑞利分布。22221XXY2RY指数分布指数分布0)(2222rerrfrR2221()02yYfyeyl（3 3）瑞利分布
45、）瑞利分布 niiXYR122212(2) 2( )2()2rnRnnrfrenSichuan Normal University物理与电子工程学院Page 66窄带高斯过程包络平方的概率分布 当高斯变量X Xi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)的数学期望为 不为零时， 是非中心 分布，而 则是莱斯分布。im21niiYX2YR0)()(212222222rrIerrfnrnnRl（4 4）莱斯分布）莱斯分布 Sichuan Normal University物理与电子工程学院Page 67窄带高斯过程包络平方的概率分布应用l窄带过程窄带过程N(t)l平方律检波平方律检波2( )Xtl独立采样独立采样m次次l 归一化归一化21/l加法器加法器l开方开方2l中心中心 分布分布l莱斯分布莱斯分布lS(t)+N(t)l非中心非中心l瑞利分布瑞利分布l指数分布（指数分布（2项）项）Thank You物理与电子工程学院
