1、 理论力学理论力学东北大学理学院力学系东北大学理学院力学系 张英杰张英杰Northeastern University第七章第七章 点的合成运动点的合成运动 本章所分析的点的合成运动,包括运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。 研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。Northeastern University123第七章第七章 点的合成运动点的合成运动相对运动 牵连运动 绝对运动点的速度合成定理点的加速度合成定理Northeastern UniversityM点的运动对于不同的参考系是不同的对地面上的观察者: M点的轨迹是旋轮
2、线对汽车上的观察者: M点的轨迹是一个圆Oxy7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动 沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点 的运动MOxyNortheastern UniversityMO 车床在工作时，车刀刀尖 的运动相对于旋转的工件:相对于地面:7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动刀尖M作直线运动刀尖M在圆柱面螺旋运动xyzxyzNortheastern UniversityM 桥式吊车，卷扬小车A 边垂直起吊重物边行走 重物作曲线运动随小车一起运动的观察者:重物在垂直方向作直线运动地面上的观察者:7-17-1 相对运动相对运动 牵连运
3、动牵连运动 绝对运动绝对运动MAxyNortheastern University观察发现:点在一个参考体中的运动可由几个运动组合而成7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动以地面为参考体:M点沿旋轮线运动;以车厢为参考体:M点作简单的圆周运动;车厢相对于地面作简单平移。 点的运动可以看成两个简单运动的合成:点相对于车厢作圆周运动;同时车厢相对于地面作平移。OxyOxyM合成运动:相对某一参考体的运动可由相对于其它参考体的 几个运动组合而成的运动。Northeastern University一个点、两个坐标系、三种运动7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动
4、 绝对运动绝对运动动点:所研究的点;定系 Oxyz :固定在地球上的坐标系;动系 Oxyz:固定在相对于地球运动的参考体上的坐标系;动点、动系不能选在同一物体上绝对运动:动点相对于定系的运动相对运动:动点相对于动系的运动牵连运动:动系相对于定系的运动点的运动 刚体的运动Northeastern University一个动点;两个坐标系;三种运动。绝对运动:动点相对于定系的运动相对运动:动点相对于动系的运动牵连运动:动系相对于定系的运动点的运动 刚体的运动点的运动圆周运动直线运动曲线运动刚体的运动平行移动定轴转动平面运动自由运动旋轮线螺旋线圆周运动 + 平移直线运动 + 转动7-17-1 相对运
5、动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动Northeastern UniversityM车轮上的M点在地球上在车厢上7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动OxyOxyM动点：定系：动系：旋轮线运动圆周运动平移绝对运动：相对运动：牵连运动：OxyOxy动点：转盘上的M点螺旋线运动直线运动定轴转动绝对运动：相对运动：牵连运动：定系：在地面上；动系：在转盘上Northeastern University圆周运动直线运动平移7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动动点：绝对运动：相对运动：牵连运动：OABDC动系：OA杆上的A点在BCD上O1
6、ABO2动点：动系：绝对运动：相对运动：牵连运动：OA杆上的A点在O2B上直线运动定轴转动A1B1A2B2圆周运动Northeastern University直线运动曲线运动转动7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动动点：绝对运动：相对运动：牵连运动：动系：AB杆上的A点在凸轮上动点：动系：绝对运动：相对运动：牵连运动：圆盘上的C点在ABD上直线运动平移圆周运动OABORDABCNortheastern University绝对速度(加速度)一个点：动点两个坐标系：定系、动系三种运动：绝对运动、相对运动、牵连运动三种速度（加速度）：动点相对于定系的运动速度(加速度
7、)相对速度(加速度)动点相对于动系的运动速度(加速度)牵连速度(加速度)某瞬时,动系上与动点重合的点(牵连点)的速度(加速度)7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动)(aaav)(rrav)(eeavNortheastern UniversityB绝对速度方向：相对速度方向：牵连速度方向：竖直方向轨迹的切线方向水平方向AO,avrvevnea7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动动点：AB杆上的A点动系：在凸轮上绝对运动：直线运动相对运动：曲线运动牵连运动：转动ea OAveOAae2OAaneNortheastern Universit
8、y7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动ORDABCrvevav动点：圆盘上的C点动系：在ABD上绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平移绝对速度方向：相对速度方向：牵连速度方向：垂直于OC连线方向水平方向竖直方向 OCva2OCananaaNortheastern UniversityO,AB曲线运动直线运动转动7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动动点：绝对运动：相对运动：牵连运动：动系：圆环A在杆OB上eaevneararv OAveOAae2OAane绝对速度方向：相对速度方向：牵连速度方向：轨迹的切线方向沿着OB杆垂直
9、于OANortheastern University7-17-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动例例7-1 如如图所示图所示, ,用车刀切削工件的直径端用车刀切削工件的直径端面面, ,刀尖刀尖M沿水平沿水平x轴往复运轴往复运动动, ,设设Oxy为定系为定系, ,刀刀尖运动方程为尖运动方程为x=bsint。工件以。工件以等角速度等角速度逆时针转逆时针转动动, ,求求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。车刀在工件圆端面上切出的痕迹。解解: : 确定确定动点：动点： 动系：动系：刀尖刀尖M工件工件Oxy 列列M点的相对运动方程点的相对运动方程 相对运动轨迹相对运动轨迹xyyxOyxt
10、xxcostMCttbcossintb2sin21txysintb2sin)2cos1 (21tb4)2(222bbyxNortheastern University曲线AB上与动点M重合点(牵连点） t时刻,动点在曲线AB的M点处,经t后,动系AB到达新位置AB动点沿曲线MM到MM 沿曲线AB运动,从M1到点在动系上观察动点M:动点:圆环;动系:固定在金属线上弧M1M 是动点的相对轨迹7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理,MM为动点的绝对轨迹沿弧MM1运动到点M1 ABABMM1M曲线AB为动点M在相对运动中的相对轨迹 将曲线AB看作一根金属线,动点M看作一个套在金属线上的圆环No
11、rtheastern UniversityABABMMM1MM动点的绝对位移1MM动点的牵连位移两端除以t,并取极限得7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理MMMMMM11tMMtMMtMMttt10100limlimlim绝对速度avtMMvta0lim方向沿绝对轨迹MM切线 相对速度tMMvtr10lim方向沿相对轨迹M1M的切线rv方向沿曲线MM1的切线牵连速度tMMvte10limevMM1动点的相对位移Northeastern University7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 注意牵连速度是曲线AB上与动点M重合的点在t时刻的速度，即动系上与动点相重合点(牵
12、连点)的速度。reavvv 动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边的对角线来确定，这个平行四边形称为速度平行四边形。 点的速度合成定理: 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。ABABMMM1avrvevNortheastern UniversityxyzOxyzOM1MrOrrM1：动系上与M重合的一点（牵连点）固定坐标系Oxyz，动坐标系Oxyz7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 M点的绝对矢径Mr M点的相对矢径r 动系原点O 的矢径OrrrrOMMMrr1kzjyixrMjkiNortheastern University（牵连点
13、M1相对于动系不动， 为常量）,zyx（ 相对于动系为常矢量）,kji7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理1;MOMrrrrkzjyixrdtrdvr kzjyixdtrdvMe1 dtrddtrdO kzjyixrOdtrdvMa dtrddtrdO )()(kzjyixkzjyixrOrevvxyzOxyzOM1MrOrrMjkiNortheastern University7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理reavvv点的速度合成定理: 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。大小 ？ ？ ？方向 ？ ？ ？必须要知道六个量中的四个Nort
14、heastern University4、计算速度。7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理点的速度合成分析计算步骤：1、选动点、动坐标系；2、分析三种运动(绝对运动、相对运动、牵连运动)，速度分析；3、速度合成定理：建立动点速度的关系；Northeastern UniversityORDABCe例例7-2 半径为半径为R的圆轮以匀角速度的圆轮以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动转动, , 偏心距偏心距OC = e, , ABD可在滑槽内上下滑动。求图示位置可在滑槽内上下滑动。求图示位置D点的速度。点的速度。动点：动点：轮心轮心C动系：动系：在在ABD上上绝对运动：绝对运动：以点以点O为圆心
15、的圆周运动为圆心的圆周运动相对运动：相对运动：平行于平行于AB的直线运动的直线运动牵连运动：牵连运动：平移平移绝对速度：绝对速度：相对速度：相对速度：牵连速度：牵连速度：垂直于垂直于OC方向线已知方向线已知方向线己知方向线己知rvevav7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理Northeastern University大小大小方向方向？ 由速度合成定理由速度合成定理 ， 作速度平行四边形作速度平行四边形reavvv解解: : 取轮心取轮心C为动点为动点, ,动系在动系在ABD上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：圆周运动圆周运动相对运动：相对运动：直线运动直线运动牵连运动
16、：牵连运动：平移平移7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理ORDABCervevavreavvvcosaevv cose例例7-2 半径为半径为R的圆轮以匀角速度的圆轮以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动转动, , 偏心距偏心距OC = e, , ABD可在滑槽内上下滑动。求图示位置可在滑槽内上下滑动。求图示位置D点的速度。点的速度。Northeastern University例例7-3 无风下雨天，车以速度无风下雨天，车以速度 前进，雨点在车窗上的痕迹与前进，雨点在车窗上的痕迹与竖直方向成竖直方向成角角。求雨点相对于地面的速度。求雨点相对于地面的速度。vvavrvevreavvv大小大
17、小方向方向？ 由速度合成定理由速度合成定理 ，作速度平行四边形，作速度平行四边形reavvv解解: : 取雨点为动点取雨点为动点, ,动系在车上动系在车上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动：直线运动直线运动直线运动直线运动平移平移7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理taneavv tanvNortheastern Universityyx例例7-4 急回机构的曲柄急回机构的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动转动, 滑块滑块在摇杆在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。摆动。OA=r, O
18、O1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1 。OABO11动点：动点：动系：动系：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动：曲柄端点曲柄端点A在摇杆在摇杆O1B上上沿沿O1B 的直线运动的直线运动摇杆绕摇杆绕O1 轴的转动轴的转动以点以点O为圆心的圆周运动为圆心的圆周运动绝对速度：绝对速度：相对速度：相对速度：牵连速度：牵连速度：竖直方向竖直方向方向线已知方向线已知方向线己知方向线己知av7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理Northeastern Universityreavvv大小大小方向方向？ 由速度合成定理作速度平行四边形
19、由速度合成定理作速度平行四边形解解: : 取曲柄取曲柄OA上的上的A点为动点点为动点, ,动系在动系在O1B上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：圆周运动圆周运动相对运动：相对运动：直线运动直线运动牵连运动：牵连运动：定轴转动定轴转动7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理yxOABO11avrvevsinaevv 22lrrrAOve11222lrr例例7-4 急回机构的曲柄急回机构的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动转动, 滑块滑块在摇杆在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。摆动。OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位
20、置时摇杆的角速度求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1 。Northeastern University例例7-5 A船由北向南，以速度船由北向南，以速度 前进，前进，B船由西北向东南，船由西北向东南，以速度以速度 前进。前进。求在求在A船上看船上看B船的速度。船的速度。vvA2vvBABAvBv大小大小方向方向？解解: : 取取B船为动点船为动点, ,动系在动系在A船上船上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动： 由速度合成定理由速度合成定理 ， 作速度平行四边形作速度平行四边形reavvvavevrvBv由西南向东北由西南向东北45直线运动直线运动
21、平移平移7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理reavvvAv45cos222eaearvvvvvvNortheastern University例例7-6 直角曲杆直角曲杆OAB以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，通过套筒轴转动，通过套筒C推推动与套筒光滑铰接的动与套筒光滑铰接的CD杆沿铅直方向运动。杆沿铅直方向运动。OA=l，求图示位，求图示位置置D点的速度和加速度。点的速度和加速度。大小大小方向方向？解解: : 取取CD杆上杆上C点为动点点为动点, ,动系在动系在OAB上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动： 由速度合成定理由速度合
22、成定理, ,作速度平行四边形作速度平行四边形reavvvOAB30CDev直线运动直线运动直线运动直线运动转动转动eaaara7-27-2 点的速度合成定理点的速度合成定理avrv30taneavv lve2l32Northeastern UniversityxyzOxyzOe动系Oxyz以角速度e绕z轴转动7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理ArOrijkA一、泊松公式dtrdvAA AerdtrdvOO OerkrrOAdtkddtrddtrdOA kreOekekkjjiieee 同同理理得得dtkdrOe Northeastern University7-37-3 点的加
23、速度合成定理点的加速度合成定理二、加速度合成定理 ; 1kzjyixrrrrrOMM22 dtrdarkzjyix 221 dtrdaMekzjyixrO (牵连点M1相对于动系不动， 为常数),zyx22 dtrdaMa)(kzjyixkzjyixdtdrO )( 2kzjyixkzjyixkzjyixrO xyzOxyzOM1MrOrrijkM( 相对于动系为常矢量),kjieNortheastern University点的加速度合成定理: 动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理)( 2kzj
24、yixaaarea)()()( 2kzjyixaaeeere)(2kzjyixaaerervrerevaa2ca 科氏加速度creaaaaakkjjiieee Northeastern University大小按右手法则确定方向指向垂直于 和rev 工程常见平面机构， 和 垂直rev 把 按 的转向转 就是 的方向rveca90ervcarv当牵连运动为平移时7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理recva2sin2recva recva20ereaaaa科氏加速度carv0caNortheastern University科氏加速度存在实例7-37-3 点的加速度合成定理点的加速
25、度合成定理北北西西rvca向西,即指向左侧 有向西的加速度,河水受到东岸对水的向西的作用力。 根据作用与反作用定律,河水对东岸有作用力,北半球的江河,其东岸都受有较明显的冲刷。 北半球的江河, 当河水向北流动时,其东岸比西岸受的冲刷更明显。河水的科氏加速度方向:Northeastern Universityyx例例7-6 直角曲杆直角曲杆OAB以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，通过套筒轴转动，通过套筒C推推动与套筒光滑铰接的动与套筒光滑铰接的CD杆沿铅直方向运动。杆沿铅直方向运动。OA=l，求图示位，求图示位置置D点的速度和加速度。点的速度和加速度。大小大小方向方向？解解: : 取取CD杆上杆
26、上C点为动点点为动点, ,动系在动系在OAB上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动： 由速度合成定理由速度合成定理, ,作速度平行四边形作速度平行四边形reavvvOAB30CDev直线运动直线运动直线运动直线运动转动转动eaaaraavrv30taneavv lve2l327-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理Northeastern Universityyx大小大小方向方向? ?？ 牵连运动为转动牵连运动为转动, ,由加速度合成定理得由加速度合成定理得向向x轴投影得轴投影得7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理cre
27、aaaaa2OCae22l30sinervv l4recva228l30sinea214laa例例7-6 直角曲杆直角曲杆OAB以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，通过套筒轴转动，通过套筒C推推动与套筒光滑铰接的动与套筒光滑铰接的CD杆沿铅直方向运动。杆沿铅直方向运动。OA=l，求图示位，求图示位置置D点的速度和加速度。点的速度和加速度。OAB30CDeveaaaraavrvcal42 30sinaacaNortheastern UniversityODABC例例7-7 半径为半径为R的圆轮以匀角速度的圆轮以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动转动, , 偏心距偏心距OC=e, , ABD可在滑槽内上
28、下滑动。求图示位置可在滑槽内上下滑动。求图示位置D点的加速度点的加速度解解: : 取轮心取轮心C为动点，动系在为动点，动系在ABD上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：圆周运动圆周运动相对运动：相对运动：直线运动直线运动牵连运动：牵连运动：平移平移raeaaa大小大小方向方向？ 牵连运动为平移牵连运动为平移, ,由加速度由加速度 合成定理得合成定理得？7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理reaaaa2eaasinaeaa sin2eNortheastern Universityreavvv大小大小方向方向？ 由速度合成定理作速度平行四边形由速度合成定理作速度平行四边形
29、解解: : 取曲柄取曲柄OA上的上的A点为动点点为动点, ,动系在动系在O1B上上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：圆周运动圆周运动相对运动：相对运动：直线运动直线运动牵连运动：牵连运动：定轴转动定轴转动yxOABO11avrvevsinaevv 22lrrrAOve11222lrr7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理例例7-8 急回机构的曲柄急回机构的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动，滑块转动，滑块在摇杆在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速
30、度。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。Northeastern University大小大小方向方向？7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理creneaaaaaa;2raa211AOane232224)(lrr例例7-8 急回机构的曲柄急回机构的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动，滑块转动，滑块在摇杆在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。yxOABO11avrvevcaneaearaaa 牵连运动为转动
31、牵连运动为转动, ,由加速度合成定理得由加速度合成定理得cosarvv 22lrlrrrecvva122232223)(2lrlrNortheastern University大小大小方向方向？7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理creneaaaaaa例例7-8 急回机构的曲柄急回机构的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动，滑块转动，滑块在摇杆在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。yxOABO11avrvevca
32、neaearaaa 牵连运动为转动牵连运动为转动, ,由加速度合成定理得由加速度合成定理得向向y轴投影得轴投影得ceaaaacos2232222)()(rlrlrlaeAOae122222222)()(rlrlrlrlaeNortheastern UniversityDEBCOA例例7-9 曲柄滑块导杆机的曲柄曲柄滑块导杆机的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动转动, ,铰铰接在曲柄接在曲柄A端的滑块在铅直槽端的滑块在铅直槽DE内上下滑动内上下滑动, ,并带动丁字杆沿并带动丁字杆沿水平方向往复平动。水平方向往复平动。OA=r, ,求图示位置求图示位置BC的速度和加速度的速度和加速度.解解
33、: : 取曲柄取曲柄OA上的上的A点为动点，动系在丁字杆上点为动点，动系在丁字杆上 研究三种运动研究三种运动绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动：圆周运动圆周运动直线运动直线运动平移平移evrvavreavvv大小大小方向方向？ 由速度合成定理作速度平行四边形由速度合成定理作速度平行四边形7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理rvasinaevv sinrNortheastern University大小大小方向方向？7-37-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理DEBCOAearaaareaaaaraa2cosaeaa cos2e例例7-9 曲柄滑块导杆
34、机的曲柄曲柄滑块导杆机的曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动转动, ,铰铰接在曲柄接在曲柄A端的滑块在铅直槽端的滑块在铅直槽DE内上下滑动内上下滑动, ,并带动丁字杆沿并带动丁字杆沿水平方向往复平动。水平方向往复平动。OA=r, ,求图示位置求图示位置BC的速度和加速度的速度和加速度. 牵连运动为平移牵连运动为平移, ,由加速度合成定理得由加速度合成定理得Northeastern University1 1、转轴、转轴OO上固定一圆盘上固定一圆盘, ,盘上盘上A、B两点相对于圆盘的两点相对于圆盘的速度如图所示速度如图所示, ,其中其中 。若分别以。若分别以A、B点为点为动点动点, ,动系固定在转轴上动系固定在转轴上, ,哪点有科氏加速度？哪点有科氏加速度？OABO2rv1rveA点：点：B点：点：reCva20Ca22recva21,/OOvOOvrr思考题思考题reCva2
