1、1数字滤波器：当输入、输出是离散信号数字滤波器：当输入、输出是离散信号, ,滤滤波器的冲激响应是单位抽样响应波器的冲激响应是单位抽样响应 时，这时，这样的滤波器称作样的滤波器称作数字滤波器数字滤波器。)(ny( )x n( )h n( )h n)()()(nhnxny对其进行傅氏变换得对其进行傅氏变换得: :)()()(eHeXeYjjj2如下图示：如下图示：()jH ec c)(jeX0)( jeYc c)(jeH00为矩形窗时的情形为矩形窗时的情形图3-1 数字滤波器频响示意图3数字滤波器的实现方法：数字滤波器的实现方法：利用通用计算机编程，即软件实现利用通用计算机编程，即软件实现数字信号
2、处理器（数字信号处理器（DSPDSP）即专用硬件实现）即专用硬件实现 1 1、系统函数、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：为有理函数形式：NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(4该式为该式为IIRIIR滤波器形式，若滤波器形式，若 都为都为0 0时就是一时就是一个个FIRFIR滤波器。滤波器。2 2、差分方程、差分方程 对于该系统，也可用差分方程来表示：对于该系统，也可用差分方程来表示： kaH(z)X(z)Y(z)NkMkkkknxbknyany10)()()(5 描述常系数差分方程的三种基本运算：描述常系数差分方程
3、的三种基本运算：加加法、单位延迟、乘常数。法、单位延迟、乘常数。三、数字滤波器结构的表示法三、数字滤波器结构的表示法 单位延时单位延时: : (n)x z-1) 1( nx乘常数乘常数: :a( )y n( )ay n)() 1(nxny) 1( ny)(nx相加相加: :6例如：例如：)()2() 1()(021nxbnyanyanyx(n)b0 y(n)1Z1Z1a) 1(1nya2a)2(2nya) 1( ny)2( ny0( )b x n图3-2 一阶数字滤波器的结构方框图72 2、信号流图法、信号流图法 信号流图是由连接节点的有向支路构成的一信号流图是由连接节点的有向支路构成的一种网
4、络，和每个节点相联系的是一个变量或节种网络，和每个节点相联系的是一个变量或节点值。箭头的方向代表信号流动的方向。包括点值。箭头的方向代表信号流动的方向。包括三种基本的运算：三种基本的运算：单位延时：单位延时：乘常数：乘常数：相加：相加：1Za8例如：例如：)()2() 1()(021nxbnyanyany1)(nx)2() 1(21nyanya0b2( )y n3541Z1Z) 1( ny)2( ny1a2a)2(2nya67a1y(n-1)图5-3 数字滤波器的信号流图表示93-2 3-2 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构一、一、IIRIIR滤波器的特点滤波器的特点1 1、单位冲激响应
5、、单位冲激响应 是无限长的。是无限长的。2 2、系统函数、系统函数 在有限在有限Z平面（平面（ ） 上有极点存在。上有极点存在。3 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。的反馈。 ( )h n( )H z0z 101 1、直接、直接I I型型 直接由直接由IIRIIR滤波器的差分方程所得的网络结滤波器的差分方程所得的网络结构。由构。由IIRIIR数字滤波器的时域方程数字滤波器的时域方程MkkNkkknxbknyany01)()()(其系统函数为其系统函数为01( )( )( ) ( )( )1MkkkNkkkb zY zH zB z A zX
6、za z11 0MkkkB zb z 111MkkkA za z( )B z( )A z12第一个网络实现第一个网络实现零点零点，即实现，即实现x(n)x(n)加权延时加权延时: :)(ny) 1( nx)(nxz1z1z1)2( nx) 1(Mnx)(Mnxb0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN) 1( ny) 1(Nny)(Nny)2( nyz1z1z1直直接接I I型型( )B z( )A z图3-4 IIR数字滤波器的直接I型结构13第二个网络实现第二个网络实现极点极点，即实现，即实现y(n)y(n)加权延时加权延时: :2 2、直接、直接IIII型（正准型）型（正准型） 对于对
7、于直接直接I I型：型：即交换子系统即交换子系统 和和 顺序可得直接顺序可得直接IIII型型结构，如图结构，如图3-53-5示。示。Nkkknya1)( )( ) ( )( ) ( )H zB z A zA z B z( )A z( )B z)(0knxbNkk14 将图将图(a)(a)中间两部分的延迟单元合并得到图中间两部分的延迟单元合并得到图(b)(b)。( )B z图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构)(nxz1a1a21Naz1Naz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)( nxz1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)(nxaN 1Naz1a1a2z1z1图（a）图（b）
8、直直接接II型型( )A z( )B z( )A z15对上两式进行对上两式进行Z Z变换变换Mkkknxbny0)( )(Nkknxknxanx1)()( )( 10( )( )( )( )( )NkkkMkkkXzXza zX zY zXzb z161( )( )1NkkkX zXza z01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z17系数系数a ak k、b bk k对滤波器性能的控制不直接，对对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难，一个极、零点的控制难，一个a ak k、b bk k的改变会影的改变会影系系统的零点或极点分布。统的零点或极点分布。对字长变
9、化敏感（对对字长变化敏感（对a ak k、b bk k的准确度要求严的准确度要求严格）。格）。不稳定，阶数高时，上述影响更大。不稳定，阶数高时，上述影响更大。 183 3、级联型（串联）、级联型（串联） 先将一个先将一个N N阶系统函数的分子、分母都表达阶系统函数的分子、分母都表达为因子形式：为因子形式：1212011111111111( )1(1)(1)(1)(1)(1)(1)kkkkkkkMkkNkkkMMkkNNkkb zH Za zp zq zq zAc zd zd z19其中，其中，p pk k为实零点，为实零点，c ck k为实极点；为实极点；q qk k，q qk k* *表表示
10、复共轭零点，示复共轭零点，d dk k ，d dk k* *表示复共轭极点，表示复共轭极点，M=MM=M1 1+2M+2M2 2，N=NN=N1 1+2N+2N2 2 再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则得则得121112111121211212(1)(1)( )(1)(1)MMkkNNkkkkkkkkp zzzH zAc zzz20进一步完全分解成实系数的二阶因子：进一步完全分解成实系数的二阶因子：121212121( )( )1LLkkkkkkkzzH zAAHzzz 用若
11、干一阶、二阶子网络用若干一阶、二阶子网络 级联构成级级联构成级联结构滤波器，二阶子网络称为二阶基本节（联结构滤波器，二阶子网络称为二阶基本节（可用直接可用直接II型实现）。型实现）。其中，其中，L表示二阶节数表示二阶节数( (若若M=N) )。N N为偶数为偶数时，时，L=N/2；N N为奇数时为奇数时L=( )kHz12N21当（当（M=N=2M=N=2）时）时22111122111111)(zzzzAzH( )LHz1( )H zAB11 21 11 21 1Z1Z)(nx1L2L1L2L1Z1Z)(ny图3-6 级联结构滤波器22AB11 21 11 21 1Z1Z)(nx)(ny当（当
12、（M=N=4M=N=4）时）时2221122221122211112211111111)(ZZZZZZZZAZH图3-7 级联结构的二阶基本节23当当（M=N=6）时，则有三个时，则有三个22311322311322211222211222111122111111.11.11)(ZZZZZZZZZZZZAZHA11 21 1Z1Z1Z1Z1112 22 122213 23 13 23 nx)(ny21Z-11Z图3-8 六阶IIR滤波器的级联结构2425 将系统函数展开成部分分式之和，可用并将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器：联方式构成滤波器：4 4、并联型、并联型12110
13、1*111)1)(1 ()1 (1)(NkNkNMkkkkkkkkkZGZdZdZgBZcAZHkkkkkGcgBA,共轭；共轭；当当MNMN时，不包含时，不包含 项；项；M=NM=N时，时，*kdkdNMkkkZG0其中，其中， 均为实数，均为实数， 和和 复复该项该项为为G G0 0，则，则 表示为表示为( )H z261210101121112( )(1)1NNkkkkkkkkAzH zGC zzz上式表明，可用上式表明，可用 个一阶网络、个一阶网络、 个二阶网络以个二阶网络以及一个常数及一个常数 并联组成滤波器并联组成滤波器 。1N2N0G( )H z( )x n1( )H z2( )
14、Hz12( )NHz( )y nM图3-9 并联结构（M=N）271(1)/201012112(1)/201( )1( )NkkkkkNkkZH ZGZZGHZ012kk当当N N为奇数时，必定包含一个一阶节，即为奇数时，必定包含一个一阶节，即当当M=NM=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数二阶多项式，二阶多项式，H(Z)H(Z)可表为可表为28例：例：M=N=3M=N=3时，为奇数，故时，为奇数，故10102120112111222123( )11( )( )( )ZH zGZZZH zHzHz所以所以123( ) ( )()( )HY ZH ZH Z
15、ZX Z29其结构图如下：其结构图如下：1( )H ZX(Z)0G0111 1Z12 22 1Z12Y(z)(nx)(ny021Z2( )HZ2( )HZ图3-10 三阶IIR滤波器并联结构3031转置结构转置结构如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换，其系统函数仍不改变。输入和输出交换，其系统函数仍不改变。（原网络）（原网络）0b1a2a1NaNa1Z1b2b1MbMb)(nx)(ny1Z1Z1Z321a2a1b2b1NaNa1Mb1Z1Z)(ny)(nx0bMb1Z1Z33342320.440.3620.02( )0.40.180.2
16、zzH zzzz1231230.440.3620.02( )1 0.40.180.2zzzH zzzz画出直接画出直接II型，级联型和并联型结构流图。型，级联型和并联型结构流图。解：将原式写成解：将原式写成z z-1-1的有理分式，可得的有理分式，可得35与滤波器的系统函数标准形式比较可得与滤波器的系统函数标准形式比较可得1230.40.180.2aaa ； 012300.440.3620.02bbbb； ；36则得到级联结构的流图1211210.440.3620.02( )1 0.80.51 0.4zzzH zzzz将上式写成级联的形式得将上式写成级联的形式得37则得到并联结构的流图则得到并
17、联结构的流图11120.60.50.2( )0.11 0.41 0.80.5zH zzzz 再将再将H(z)H(z)部分分式分解得部分分式分解得385-3 5-3 FIRFIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构一、一、FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点1 1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)h(n)在有限个在有限个n n值处不为零。值处不为零。2 2、3 3、非递归结构。非递归结构。 FIRFIR滤波器的输出响应可由卷积公式求得滤波器的输出响应可由卷积公式求得 ( )0H zz 在处收敛，极点全部在处收敛，极点全部在Z=0Z=0处。处。10)()()(Nkknxkhny39对应的传输函数为对
18、应的传输函数为10( )( )NnnH zh n zh(n)h(n)为一个为一个N N点序列，点序列，Z=0Z=0处为（处为（N-N-1 1）阶极点，）阶极点，z，有（有（N-1N-1）阶零点。）阶零点。401Z1Z1Zh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)(nx)(ny用转置定理可得另一种结构用转置定理可得另一种结构 10)()()(Nmmnxmhny二、基本结构二、基本结构1 1、横截型（卷积型、直接型）、横截型（卷积型、直接型）图3-11 FIR 滤波器的横截型结构41（串联型）（串联型） N/2N/2 表示取表示取N/2N/2的整数部分，如的整数部分，如N=3N=3，N/21
19、1Z1Z1Z1Zh(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)(nx)(ny将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：102/122110)()()(NnNkkkknZZZnhZH图3-12 图3-11的转置型结构42lN N为偶数时，为偶数时，N-1N-1为奇数，这时因为有奇数个为奇数，这时因为有奇数个根，所以根，所以 中有一个为零。中有一个为零。k2当当N N为奇数时的结构如下：为奇数时的结构如下：zzzHN22111101)(,3时zzzXzY22111101)()()2() 1()()(211101nxnxnxny43一般情况：一般情况：
20、01 11 21 1Z1Z1Z1Z1Z1Z02 12 22 2 1N22N)(nx)(ny特点：每节结构可控制一对零点。所需系数多特点：每节结构可控制一对零点。所需系数多，乘法次数，乘法次数 也多。也多。ik图3-13 FIR 滤波器的级联型结构443 3、线性相位型、线性相位型FIRFIR滤波器的对称结构滤波器的对称结构 若若FIRFIR滤波器的单位脉冲响应满足条件滤波器的单位脉冲响应满足条件偶对称条件偶对称条件奇对称条奇对称条件件( )(1)0,1,1( )(1)0,1,1h nh NnnNh nh NnnN 则则FIRFIR数字滤波器具有线性相位特性。数字滤波器具有线性相位特性。45线性
21、相位滤波器的流图结构线性相位滤波器的流图结构 N N为偶数：为偶数：当当 满足满足偶对称偶对称条件时，则条件时，则卷积求和可改写为卷积求和可改写为 10/ 2 110/ 2/ 2 1/ 2 100/ 2 10( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()(1) (1)( ) ()(1)NkNNkk NNNkkNky nh k x nkh k x nkh k x nkh k x nkh Nkx nNkh kx nkx nNkaL Lmk再将 换成1kNm令( )h n4612(1)0( )( )()NnNnnH zh n zz 其中，其中，“”表示偶对称，表示偶对称， “ “”表示奇对表
22、示奇对称；称；n n0 01 12 2 3 34 45 56 67 78 89 9n n0 01 12 2 3 34 45 56 67 78 89 9偶数偶对称偶数奇对称47 当当 满足满足奇对称奇对称条件，卷积求和可改写为条件，卷积求和可改写为 / 2 10( )( ) ()(1)Nky nh kx nkx nNkbL L( )h n由式由式(a)(b)(a)(b)画出下图示结构图画出下图示结构图: :偶对称时取“+1”奇对称时取“-1”1z1z1z1z1z1z1z1z1z1111(0)h(1)h(2)h(2)2Nh(1)2Nh( )x n( )y n1图3-14 N为偶数时FIR线性相位滤
23、波器的结构48当当 满足奇对称条件时，由于满足奇对称条件时，由于则卷积求和可改写为则卷积求和可改写为1()02Nh ， (1)/ 20( )( ) ()(1)Nky nh kx nkx nNkdL L( )h n 若若N N为奇数时为奇数时，当，当 满足满足偶对称偶对称条件时，条件时，则卷积求和可改写为则卷积求和可改写为( )h n (1)/ 2011( )() ()22( ) ()(1)NkNNy nhx nh kx nkx nNkcL L49n n0 01 12 2 3 34 45 5 6 67 78 89 91010n012 345678 910奇数偶对称奇数奇对称50根据式根据式(c)
24、(d)(c)(d)可画出其流图结构如下图可画出其流图结构如下图1()02Nh且且N N为奇数奇对称时，为奇数奇对称时， , , 即即 支路断开。支路断开。1()2Nh1z1z1z1z11z1z1z1z1111(0)h(1)h(2)h3()2Nh1()2Nh( )x n( )y n图3-15 N为奇数时FIR线性相位滤波器的结构51特点：特点：线相相位型结构的乘法次数减为线相相位型结构的乘法次数减为 （N N偶数）偶数） （N N奇数）奇数）( (横截型结构乘法次数横截型结构乘法次数: : N N次次) ) 12N 2N52小小 结结 本章主要讨论了三个方面的问题本章主要讨论了三个方面的问题 数字滤波器的进逼概念及作用、表示方数字滤波器的进逼概念及作用、表示方法法 IIRIIR数字滤波器的基本结构和特点数字滤波器的基本结构和特点 直接直接I I型和直接型和直接IIII型的转换方法型的转换方法 级联型和并联型的特点级联型和并联型的特点 FIRFIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 线性相位滤波器特性，线性相位滤波器特性， 横截型和级联型结构图特点横截型和级联型结构图特点 作业：136页 3.2(b)(d) 3.3 3.5 3.6 3.9 3.14
