1、3/27/2022 6:49 AM2.7 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限（一）与无穷小量有关的定理（一）与无穷小量有关的定理（二）（二）常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量3/27/2022 6:49 AM( )o定理定理1 与是等价无穷小量 证明证明设，lim10 因此( ),o即( )o设，( )o即证毕。( )lim(1)1o 第二章第二章 极限与连续极限与连续limlim(1) 则( )limlimo 则（一）与无穷小量有关的定理（一）与无穷小量有关的定理3/27/2022 6:49 AM例如例如当时，0 x sinxx211cos2xx 所以，当时，0 x si
2、n( ),xxo x2211cos()2xxo x第二章第二章 极限与连续极限与连续tan xarcsin,xtan( ),xxo xarcsin( ),xxo x3/27/2022 6:49 AM定理定理2（等价无穷小量代换定理）（等价无穷小量代换定理）设，且存在，,lim limlim() 证明证明limlim limlimlim lim 证毕。第二章第二章 极限与连续极限与连续则3/27/2022 6:49 AM当时0 x sinxx1xxe 211cos,2xx 31sin,6xxx （二）（二）常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量第二章第二章 极限与连续极限与连续1ln(0,1)xa
3、xa aa111nxxntan xarcsin xarctan xln(1)x 11xx3/27/2022 6:49 AM例例1计算0tan2limsin5xxx解解1利用重要极限0tan2limsin5xxx25 解解2利用等价无穷小量代换0tan2limsin5xxx25 第二章第二章 极限与连续极限与连续02tan25lim52sin5xxxxx 02lim5xxx 3/27/2022 6:49 AM例例2计算30sinlim3xxxx 解解30sinlim3xxxx 2011lim33xx 例例3计算1230(1)1limcos1xxx 解解1230(1)1limcos1xxx 23
4、第二章第二章 极限与连续极限与连续30lim3xxxx 20213lim12xxx 3/27/2022 6:49 AM说明说明应用等价无穷小量代换定理时（1）分子和分母都是无穷小量；（2）分子和分母都整体整体用等价无穷小量代换，例例4计算30tansinlimsinxxxx 判断是否正确300tansinlimlim0sinxxxxxxxx 第二章第二章 极限与连续极限与连续不能部分代换不能部分代换。3/27/2022 6:49 AM例例4计算30tansinlimsinxxxx 30tansinlimsinxxxx 解解20011coslimlimcossinxxxxx 220112lim2
5、xxx第二章第二章 极限与连续极限与连续30sin (1cos )limcossinxxxxx 3/27/2022 6:49 AM例例5计算20tanln(1)limsinxxxx 20tanln(1)limsinxxxx 解解3201sin1limarctanxxxx例例6计算3201sin1limarctanxxxx解解第二章第二章 极限与连续极限与连续20lim1xx xx201sin3limxxxx 220113lim3xxx3/27/2022 6:49 AM1.若若lim ( )lim( )lim( )lim( )0 xxA xB x且且( )( ),( )( ),xA xxB x则
6、则( )( )limlim( )( )xA xxB x 11( )lim( )( )( )lim1( )lim1( )A xxB xB xxA xe 第二章第二章 极限与连续极限与连续内容小结内容小结重要结论重要结论等价无穷小量等价无穷小量代换定理代换定理3/27/2022 6:49 AM作业作业P94 282.若若lim ( )1, lim ( ),u xv x 则则( )lim ( ) 1 ( )lim ( )v xu xv xu xe 第二章第二章 极限与连续极限与连续3/27/2022 6:49 AM0sinlim(cos)5xxxxbea 1.若，;ab（2004）解解由于分子的极限
7、为，0lim()0 ,xxea0sinlim(cos)1xxxxbe 4b 1a15b14 备用题备用题第二章第二章 极限与连续极限与连续也为。则分母的极限则即0lim(cos)xxxbx3/27/2022 6:49 AM202.lim1ln(1)xxx（2003）解解20lim1ln(1)xxx2e 2e21limln(12 )nnnnana 3.设常数，则12a 21limln(12 )nnnnana 1(12 )a 21lim1(1 2 )lnnnnannae 解解21lim1(12 )nnnanna 1(12 )a （2002）第二章第二章 极限与连续极限与连续结论结论120lim(1
8、)xxx结论结论23/27/2022 6:49 AM30lim()2xxxxab 4.若均为常数，0,0ab（2000）解解033lim(1)20lim()2xxxabxxxxxabe 032lim2xxxabxe 0311lim2xxxabxe 03lnlnlim2xxa xbxe 3ln()2abe 32()ab 32()ab第二章第二章 极限与连续极限与连续则等价无穷等价无穷小量代换小量代换3/27/2022 6:49 AM5.当时，0 x （2007）解解B第二章第二章 极限与连续极限与连续x与等价的无穷小量是（）。1xAe ln(1)Bx 11Cx1cosDx 1(1)xxee ln(1) ,xx 111 2xx2111cos()22xxx选选x
