1、3.1 塑性位势理论流动法则模型三要素屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小本节内容屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值3.1.1 加载与卸载准则 1 加载曲面(后继屈服面) 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其应力保持常值(屈服应力)，卸载后再重新加载时其屈服应力的大小也不改变(没有强化现象)。对于强化材料则不同，在开始屈服之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加载至开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的应力，材料才再次屈服，因此重新加载时的屈服应力要高于原
2、始加载时的屈服应力，这就是强化现象。 与简单应力状态相同，当材料在复杂应力状态下进入塑性后卸载，然后再次加载时，屈服函数也会随着发生过的塑性变形历史而有所改变。当应力分量满足某种关系时，材料将重新进入塑性状态而产生新的塑性变形。这种现象称为强化。材料在初始屈服后再次进入塑性状态时，应力分量间所必须满足的函数关系称为后继屈服条件或加载条件。该条件在应力空间中的图形称为后继屈服曲面或加载曲面。 Oij0dij后继屈服曲面(加载曲面)初始屈服曲面2 简单加载和复杂加载000000zxzxyzyzxyxyzzyyxxt,t,t,t,t,t 其中 分别为某一定值，t为由零开始的单调增函数。此时显然Lod
3、e应力参数 保持不变，从而使应力张量（应力偏张量）的主方向保持不变，这种加载方式称为简单加载或比例加载。在简单加载过程中，一点的应力状态在应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。 在复杂加载时，一点的应力张量各分量不按比例增加， 在改变，应力张量和应力偏张量的主方向也随之改变。一点应力状态在应力空间中的运动轨迹就不再是从原点开始的射线，如图所示。00000,zxyzxyzyox(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则 理想弹塑性材料在应力空间中的屈服面位置和形状是不变的，当应力点保持在屈服面上时称之为加载，这时塑性变形可任意增长(后面将证明，各塑性应变分量之间的比例不是任意的，需要满足一定的关系)；
4、当应力点从屈服面上改变屈服面之内时称之为卸载。如果以F(ij)=0表示屈服面，则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示如下：()0,00()0,00()0ijijijijijijijFFdFddnFFdFddnF 卸载：加载：=弹性状态：(2) 加工硬化材料的加载和卸载准则 加工硬化材料的屈服面随着塑性变形的发展而不断地变化，加工硬化材料的加载和卸载准则与理想弹塑性材料不同，对加工硬化材料，当d指向屈服面之外时才算加载，而当d正好沿着屈服面变化时，屈服面不会发生变化，这种变化过程叫做中性变载。它对应于应力状态从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，但不会引起新的塑性变形。对单向应力状态或理想弹塑性
5、材料没有这个过程，当d向着屈服面内部变化时，称之为卸载过程，如果用 (ij,H)=0表示后继屈服条件，则：应力空间0000000000ijijijijijijdddndHdddndHddn 卸载：中性变载：加载：其余情况(3) 加工软化材料的加载和卸载准则 软化材料，应力变化矢量指向屈服面内部，须在应变空间中判断加卸载000ijijijijijijddd卸载： 中性变载：加载： (,)0ijH 加载条件应变空间ddd3.1.2 德鲁克塑性公设 稳定材料与非稳定材料 德鲁克塑性公设的表述 德鲁克公设的重要推论 德鲁克塑性公设的评述 依留申塑性公设的表述附加应力对附加应变负做功，即附加应力对附加应
6、变做功为非负，即有(1) 稳定材料与非稳定材料稳定材料0非稳定材料0（应变硬化和理想塑性材料）（应变软化材料）德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料，而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。(2) 德鲁克塑性公设的表述 德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后，在应力ij0下处于平衡，即开始应力ij0在加载面内，然后在单元体上缓慢地施加一
7、个附加力，使ij0达到ij，刚好在屈服面上，再继续加载到ij+dij，在这一阶段，将产生塑性应变dijp，最后应力又卸回到ij0。若整个应力循环过程中，附加应力dij所作的塑性功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。在应力循环中，外载所作的功为：00()0ijijeijijd 00()0ijijppDDijijWWd 0d0ijijijW 不论材料是不是稳定，上述总功不可能是负的，不然，我们可通过应力循环不断从材料中吸取能量，这是不可能的。要判断材料稳定必须依据德鲁克公设，即附加应力所作的塑性功不小零得出00d0ijijijijW 由于弹性应变ije在
8、应力循环中是可逆的，因而于是有：(3) 德鲁克塑性公设的重要推论00 ()0ijijpijijijd当时,略去无穷小量0 0pijijijijdd，时当屈服面的外凸性塑性应变增量方向与加载曲面正交00()0ijijppDDijijWWd 1 12a0()0ijpDijijijWadd1 屈服曲面的外凸性0cos|)( 00ppijijijdAAd0ijij此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向与塑性应变向量之间所成的夹角不应该大于90稳定材料的屈服面必须是凸的.(a)满足稳定材料的屈服面(b) 不满足稳定材料的屈服面2/2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行加载面切平面必与加载
9、面的外法线重合，否则总可以找到A0使A0Adp0不成立(如右图)。pdijpijdd标量d，称为塑性因子表明，塑性应变分量ij之间的比例可由在加载面上的位置确定。00 ndddpijij加载准则意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。3德鲁克塑性公设的评述德鲁克公设的适用条件：（1）应力循环中外载所作的真实功与ij0起点无关；0pijijijd 应力循环中外载所作真实功与附加应力功(2)附加应力功不符合功的定义，并非真实功000ijijijdij（4）德鲁克公设的适用条件： ij0在塑性势面与屈服面之内时，德鲁克公设成立； ij0在塑性势面与屈服面之间时，德鲁克公设不成立；附加
10、应力功为非负的条件（3）非真实物理功不能引用热力学定律；势面线屈服面（5）金属材料的塑性势面与屈服面基本一致。3.1.3 依留申塑性公设的表述 依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功为零，只有弹性变形发生。 设材料单元体经历任意应力历史后，在应力ij0下处于平衡，即初始的应变ij0在加载面内，然后在单元体上缓慢地施加荷载，使ij达到屈服面，再继续加载达到应变点ij+dij，此时产生塑性应变dijp 。然后卸载使应变又回到原先的应变状态ij0，并产生了与塑性变量所对应的残余应力增量dijp。00ijIijijWd ppddij
11、ijD残余应力增量与塑性应变增量存在关系：式中，D为弹性矩阵。根据依留申公设，在完成上述应变循环中，外部功不为负，即只有在弹性应变时，上述WI=0。根据Druker塑性公设00 ()0pijijijijijd当时可将Druker塑性公设改写成：0()0pDijijijWd由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差一个正的附加项：pp1dd2011()022ijijppIDijijijijWWdddd因此可将应变循环所作的外部功，写成上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD0，则依留申塑性公设也一定成立，反之，依留申塑性公设成
12、立，并不要求WD0，也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而不是必要条件。d0d0d0d0ABCD当应力点由A到B时，d0,塑性变形dp0，总变形d0pdd0pd d001212 () 0ijijpIijijijpDijDWddWddW0)( 000pijijijijijd，时应变空间加载面外凸0 0pijijijijdd，时加载准则(取大于号表示有新的塑性变形发生)塑性势面与屈服面相同pijijdd根据 关于 的正交法则，可得： pijd0ppddijijD由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：ijijD结合可得：ijpijdddd3.1.4 塑性位势理论与流动
13、法则 与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函数，记为：123,0g I JJH或,0ijgH式中，H为硬化参数。塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达式来表示，即：pijijgdd 上式就称为塑性位势理论。它表明一点的塑性应变增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确定了应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分量的比值。 流动规则也称为正交定律，是确定塑性应变增量各分量的比值，也即塑性增量方向的一条规定。上式是流动规则的一种表示形式，另外还有另一种表示形式：pijijgdd
14、pijijdd 它表明塑性应变增量与通过该点的屈服曲面成正交关系。 与德鲁克公设表达式比较，可以看出，服从于德鲁克公设的材料，塑性势函数g就是屈服函数。即g=，由此得到的塑性应力应变关系通常称为与加载条件相关联的流动法则。如果g ，即屈服面与塑性应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称为非关联流动法则。 在应变空间，流动规则可用下式表示：pijijddd和d都为非负的比例系数。3.2 硬化规律塑性模型三要素屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小本节内容 硬化规律：加载面在应力空间中的位置、大小和形状的变化规
15、律。（确定加载面依据哪些具体的硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律） 硬化模型：实际土体硬化规律+简化假设（如采用等值面硬化理论，主应力方向不旋转，加载面形状不变等）金属材料：采用等向强化和随动强化；岩土材料：静力问题采用等向强化；循环荷载 和动力问题采用随动强化或混合强化常用模型3.2.1 等向强化模型这种模型无论在哪个方向加载拉伸和压缩强化总是相等地产生和开展；在复杂加载条件下，即表示应力空间中作形状相似的扩大，如图中OABDDE代表等向强化，图中B与D点所对应的应力值均为s(指绝对值)，在这种情况下，压缩屈服应力和弹性区间都随着材料强化而增大。123(,)( ,)0ijHF I JJK
16、初始屈服面 硬化系数()()ppKHdWHd或23pppppijijijijdWddde devon misesMCtresca、 、max:()()0:()()0ppsppsmises qHdWHdtrescaHdWHd或或 在应力空间中，这种后继屈服面的大小 只与最大的应力状态有关，而与中间的加载路径无关。在右图中，路径1与路径2的最终应力 状态都刚好对应于加载过程中最大应力状态，因此两者的最终后继屈服是一样的；而路径3的最终后继屈服面由加载路径中最大应力状态来定。3.2.2 随动强化模型 图中OABCDE代表随动强化模型，弹性卸载区间是衬始屈服应力s的两倍。根据这种模型，材料的弹性区间保
17、持不变，但是由于拉伸时的强化而使压缩屈服应力幅值减小。 与等向强化模型不同，随动强化模型是考虑包辛格效应的。在单向拉压情况下，随动强化模型可以用下式表示：2sss包辛格逆效应（Bauschinger）分直接包辛格效应及包辛格逆效应。直接包辛格效应指拉伸后钢材纵向压缩屈服强度小于纵向拉伸屈服强度，如图1所示；包辛格逆效应在相反的方向产生相反的结果，如图2所示。 (,)()0()0ijijijijHFF 为初始屈服面 移动张量pijijc常用线形随动强化von misesMCtresca、 、3:()()()2ppijijijijsmisesScScc 可据简单拉伸试验确定普拉格将随动强化模型推广
18、到复杂应力状态中，他假定在塑性变形过程中，屈服面形状和大小都不改变，只是在应力空间内作刚体平移。3.2.3 混合强化模型混合强化模型(,)()0pijijijHFcK 运动硬化和等向硬化的组合，可以构成更一般的硬化模型，称为混合强化模型这时，后继屈服面既有位置的改变，也产生均匀的膨胀。等向强化混合强化随动强化(运动强化)初始屈服面3.2.4 加工硬化规律 加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量的一条规则，在流动规律中，d这个因素可以假定为：式中，A为硬化参数H的函数。1ddijijA 不同的学者曾建议不同的硬化规律来计算A的数值，常用的硬化规律有下列几种：塑性功Wp硬化定律：(
19、)dpppijijHHWW1ddijijijpijgAW 矩阵形式：矩阵形式： TpgAW 1ddijijAdd0pijijijijijijijijpijpijgdddHddHWW由由得：得：塑性应变ijp硬化定律：()pijHHddddpijijppijijijijHHgAHH 进一步有：进一步有：1ddijijAd0pijijijpijijijHdddHdHH由由得：得：dpijpijijHgAH 塑性体应变vp 硬化定律 QApvT()ppvvHH设设广义塑性力学中，如果取广义塑性力学中，如果取pQpv,于是：于是：矩阵形式：矩阵形式：pvHA0pijvpijvddd由由则有：则有：1d
20、dijijAdddpijvppijvvgAdp pvgAp 3.3 弹塑性本构关系屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小本节内容塑性本构关系弹性本构关系弹塑性本构关系 塑性增量理论又称为塑性流动理论，它把塑性变形看成非线性流动。塑性增量理论把应变增量分为弹性应变增量和塑性应变增量两部分，即式中，弹性应变增量应用广义虎克定律 计算，塑性应变增量根据塑性增量理论计算。塑性增量理论主包括三个部分：关于屈服面理论，关于流动规则理论，关于加工硬化(或软化)理论。应用弹塑性增量理论计算塑性应变：首先，要确定材料的屈服条件，
21、对加工硬化材料，需要确定材料是否服从 相关联流动规则。若材料服从不相联流动规则，沿需确定材料的塑性势函数。然后，还需要确定材料的硬化或软化规律。最后可运用流动规则理论确定塑性应变增量的方向，根据硬化规律计算塑性应变增量的大小。dddepijijij3.3.1 塑性增量理论3.3.2 一个普遍的弹塑性模量张量表达式 加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量的一条规则，在流动规律中，d这个因素可以假定为：广义虎克定律用增量形式表示：1ddijijAddddddepijijklklijklklklijklklijklklgDDDD根据塑性势函数：dddepijijijpijijgdd以
22、及进一步有：dd0ijijA(b)(a)将(b)代入(a)得：dddijklklrsklijrsklijklmnuvijklmnuvDDggADADddddijpqrsklpqrsijijklklijklijklklijmnuvmnuvgDDgDDDgAD再代入(b)得：epijklD弹塑性模量张量的物理意义peepDDDdDdeppepeppppeeppepeeeEEEDddEEDEDdDdDDddDdDd,)()(对于一维压缩情况：弹性状态应力状态弹性应变塑性状态当前应力状态、加卸载状态、加载历史、加载路径、微观结构塑性应变沿加载路径积分应力应变全量关系应力应变增量关系弹塑性本构关系的建立
23、3.3.3 广义虎克定律22222232)(132)(132)(1zxzxzxyzyzyzxyxyxymzxyzzmyzxyymxzyxxGGGEGEEGEEGE)21)(1 (222232323EGGGGGGGGGzxzxzxyzyzyzxyxyxyzmzymyxmx基本方程33()()222131 2()222ijijmmmijijmijmijmijijijmijijijSeGEGGESSSGeGEEEG ijijmmGdedSKdd232323111 21 2, = 3, 393 1 2ijijkkijkkkkkkkkmkkkkkkkkmmGEEEGEKKKK 由22221 213113
24、21 2222131 22223ijijijijkkijijkkijkkijijijmijmijijmijmijijijijmmijmijijGGGGGKGEGGESSSGEEGEGK 增量表达式)21)(1 ()1 (EMMxx0()00()0yyxzyzxzzyxyzx 于是：2211111yxxxz于是221212111xxxEE代入引入侧限变形模量M弹性常数关系表3.3.4 无静水压力影响的理想弹塑性材料本构关系理想塑性材料，适用于金属材料。采用相关联流动法则 pjjjgFFgddd0, 000, 000jjjjdFFdFFFd当或当 由于某屈服单元周围材料仍处于弹性状态，限制了 其塑
25、性应变的发展，其d值不会任意发展，而将依靠问题的整体来定。屈服函数记为：0ijF 塑性应变增量：pijijFdd可改写为：ijpkkijijkkijijijkkijdSdFFFFddddS dS于是有：3ppkkijkkijFFdddedS；在塑性变形阶段，加载时d0dd=3d2d=0eeijkkijmmijkkijkkijFFFFF SKGeSSijijmmGdedSKdd233311 111212111313212122222323313132323333ijijijijijkkijijmijS 根据3ppkkijkkijFFdddedS；于是pp32=0mmmmijijkkijFFKdd
26、GdedeS23292mmijkkijkkijijFFFFFKGedKGSSS23292mmijkkijkkijijFFKGeSdFFFKGSS理想弹塑性材料的本构方程可表示为又可写成：23ijmijijijkkijSFFdGKS23ijmijijSGKijijmijS 22232eeijijmijkkijijppkkkkijijijkkijijijkkijSKG eKGeeFFKG edKGS ijijmmGdedSKdd233pkkkkpijijFddFdedS(1) Prandtl Reuss 模型Prandtl Reuss 模型是最简单的理想弹塑性模型。材料屈服函数采用Mises屈服函
27、数，其表达式为：20ijF Jk23232ijijijmmijijijijkkijSSSFFddGKSGKk2322ppijkkijijijkkijijijkkijFFdKG edKGKG eGSSk 212211222ijijijijijijijijijijijSSSFS SSSS SS S由得2232ijmmnmnijijijSSeSGKk22322ppmnmnijkkijijijkkijijijkkijSeFFKG edKGKG eGSSk 于是：22223221922ijmmijijijkkijijijijijijijijkkijijFFFSKGeeeSSSkdeFFS SkFFFKG
28、SSSSJ222ijijijSSFSkJ若忽略材料的弹性变形 ，采用理想刚塑性假设，由 Prandtl Reuss 模型可以得到Levy-Mises模型：22mnmnijijSeSk由(2) Druker-Prager 模型Druker-Prager模型采用广义的Mises屈服函数，其表达式为：210ijF JIk223232ijijijmmijijijijijkkijSSSFFddGKSGKJ223223ijppijkkijijijkkijijijkkijSFFKG edKGKG edKGSJ kkF 由得22ijijSFSJ塑性体积应变：2222222232332499292ijijmmijmmijmmijkkijijijkkijijSSFFKGeKGeKGeSJJdS SKGFFFKGKGSSJ由kkF 22ijijSFSJ3pkkkkFdd22339ijmmijpkkSKGeJKG 上式表明： Druker-Prager模型中塑性体积变形不等于零
