1、可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计 在任务执行期间，当系统故障而不能执行任务时允在任务执行期间，当系统故障而不能执行任务时允许修理，修复后继续执行任务。许修理，修复后继续执行任务。 其任务可靠性不仅受各单元可靠性的影响，而且其任务可靠性不仅受各单元可靠性的影响，而且受到各单元维修特性的影响。受到各单元维修特性的影响。 研究系统开始工作后，在任意时刻系统处于工作研究系统开始工作后，在任意时刻系统处于工作状态的概率。状态的概率。o方法方法n马尔可夫过程法马尔可夫过程法可修复系统可修复系统:对于象汽车、飞机、通信系统等大多数复杂系统而言,一旦发生故障常常是修理而不是置换。 可可
2、 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计第一节第一节 马尔柯夫过程马尔柯夫过程一、基本概念一、基本概念SF故障故障修复修复也可能不转移也可能不转移（无故障）（无故障）未修复未修复随机事件的变化过程，它无法用确定性的形式来描述。在使用期间可以修复的复杂系统，由系统部件的可靠性和维修性决定了系统在任务期间的某一时刻，系统可能随机地处于某种状态正常状态正常状态故障状态或修理状态故障状态或修理状态可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计可用一组随机变量可用一组随机变量X(t)来描述。来描述。状态转移：状态转移：描述系统的变量从一个状态的特定值变描述系统的变量从一个状态的特定
3、值变化到另一个状态的特定值，则说系统实化到另一个状态的特定值，则说系统实现了状态的转移。现了状态的转移。转移概率：转移概率：由一种状态向另一种状态转移是随机的，由一种状态向另一种状态转移是随机的， 是以一定的概率来实现的，此概率称为是以一定的概率来实现的，此概率称为转移概率转移概率。假如系统完全由定义为假如系统完全由定义为“状态状态”的变量的取值来描述，则：的变量的取值来描述，则：n状态转移是个随机过程，要用系统在各种状态下的概率来描述，是一个典型的时间连续和状态离散的随机过程。1( )2tX tt表示时刻 系统正常表示时刻 系统故障0可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计马
4、尔柯夫过程：马尔柯夫过程： 转移概率只需考虑转移概率只需考虑过去有限次之内状态过去有限次之内状态情况，而与情况，而与这有限次以前的状态无关，这样的随机过程称为马尔柯这有限次以前的状态无关，这样的随机过程称为马尔柯夫过程。夫过程。如果由一个状态转移到另一个状态的转移概率只与如果由一个状态转移到另一个状态的转移概率只与现现在所处状态在所处状态有关，而与这一状态以前各状态完全无关，有关，而与这一状态以前各状态完全无关，这样的马尔柯夫过程称为一步马尔柯夫过程。这样的马尔柯夫过程称为一步马尔柯夫过程。一步马尔柯夫过程：一步马尔柯夫过程： 如果已知时间如果已知时间1231, , ,.,nt t tt对应所
5、处状态为对应所处状态为 121( ),( ),.,()nX tX tX t只要前一个状态只要前一个状态 n可用于在任务期间部件的寿命和修复时间均服从指数分布的系统可靠度的描述。只要已知系统开始工作时的状态，就可以确定以后任意时刻，系统处于可工作状态的概率，而与以前的状态无关。可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计1()nX t( )nX t一经决定，转移到时刻一经决定，转移到时刻 t tn n的状态的状态的条件概率为：的条件概率为：1121( )/()( )/( ),( ),.,()nnnnP X tX tP X tX tX tX t二、转移矩阵二、转移矩阵 有一台机器，运行
6、到某一时刻有一台机器，运行到某一时刻t时，可能有的状态时，可能有的状态有有e1（正常运行）及正常运行）及e2（发生故障）。发生故障）。假设处于假设处于e1状态的概率为状态的概率为4/5，维修度为，维修度为3/5。则：。则：处于处于e1状态的概率：状态的概率：114( )5PR t可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计由由e1向向e2转移的概率：转移的概率：1241( )1( )155PF tR t 由由e2向向e1转移的概率：转移的概率：213( )5PM处于处于e2状态的概率：状态的概率：22321( )155PM 两状态转移图为：两状态转移图为：e1e24/51/53/5
7、2/5可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计转移矩阵：转移矩阵：1112212241553255PPPPP 一般形式：一般形式： 设可能发生的状态有设可能发生的状态有e1，e2，e3，en，在事在事件件ei发生后，事件发生后，事件ej发生的条件概率为发生的条件概率为Pij，其转移其转移矩阵为：矩阵为：可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计111212122212.nnnnnnPPPPPPPPPP如果系统的初始状态是如果系统的初始状态是ei，经过经过n次转移后处于次转移后处于ej的概率是此转移期间所有通道的概率是此转移期间所有通道v的概率和，记作：的概率和，记
8、作： 1nnijivvjvPP P设以设以 nijP为元素组成的矩阵为为元素组成的矩阵为 nP以以 1ijP为元素组成的矩阵为为元素组成的矩阵为P可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计则：则： nnPP例例31已知已知e1，e2，e3三个状态，其状态转移图三个状态，其状态转移图如图所示。初始状态为如图所示。初始状态为E(0)=(1,0,0),求由求由e1出发至第二步转移后各状态的概率。出发至第二步转移后各状态的概率。e1e2e312121212121414可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计解：方法一解：方法一该状态转移图的转移矩阵：该状态转移图的转移矩阵
9、：1102211142411022P 2234111110088822221111112424244248881111143002222888PP则：则：341888可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计方法二方法二 1nnijivvjvPP P该题目中，该题目中，v=1，2，3；n=2。 21111111 1112211331111130 022248PP PP PP P 21111211 12122213321111140222228PP PP PP P 21111311 1312231333111110022428PP PP PP P 可可 靠靠 性性 设设 计计可可
10、靠靠 性性 设设 计计三、极限概率及各态历经性三、极限概率及各态历经性( )(0)nE nEP例例32某设备状态转移图如图所示，如初始状态向量某设备状态转移图如图所示，如初始状态向量 010E，求各次转移后设备所处的状态。，求各次转移后设备所处的状态。e1e21/21/22/53/5解：解：其转移矩阵为：其转移矩阵为：11222355P 可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计当当n=1时时 1111221010232255EEP当当n=2时时 21111911222012322202055EEPEP以此类推，可得：以此类推，可得：可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性
11、设设 计计n次转移概率次转移概率转移步数转移步数 0 1 2 3 4 5 e1（正常状态）正常状态）1 0.5 0.45 0.445 0.4445 0.44445 e2（故障状态）故障状态）0 0.5 0.55 0.555 0.5555 0.55555 结论：结论： （1）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。稳定状态的概率称为极限概率。稳定状态的概率称为极限概率。（2）当）当n趋于无穷大时，趋于无穷大时，n步转移矩阵步转移矩阵Pn将将收敛于一个概率矩阵。收敛于一个概率矩阵。可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计45994599nP （3）稳定
12、状态极限概率于初始状态无关。）稳定状态极限概率于初始状态无关。如果初始状态为如果初始状态为 001E，n次转移的概率为：次转移的概率为：转移步数转移步数 0 1 2 3 4 5 e1（正常状态）正常状态）0 0.4 0.44 0.444 0.4444 0.44444 e2（故障状态）故障状态）1 0.6 0.56 0.556 0.5556 0.55556 可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计各态历经性：各态历经性：任何马尔柯夫转移矩阵，它的极限概率任何马尔柯夫转移矩阵，它的极限概率与初始状态无关，称之为与初始状态无关，称之为各态历经性各态历经性，这样的状态转移矩阵称为这样的
13、状态转移矩阵称为遍历矩阵遍历矩阵。 遍历矩阵经遍历矩阵经n次转移后达到稳定状态，在这种情次转移后达到稳定状态，在这种情况下，其整体状态变量可用行向量况下，其整体状态变量可用行向量X X表示。在经过转表示。在经过转移后，转移矩阵已经稳定（收敛），因此，即使再转移后，转移矩阵已经稳定（收敛），因此，即使再转移下去，它的状态概率也不会变了。所以可以写出：移下去，它的状态概率也不会变了。所以可以写出：XPX可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计吸收状态：吸收状态：当转移过程达到某一状态，再也不能向其当转移过程达到某一状态，再也不能向其他状态转移时，称此状态为他状态转移时，称此状态为吸
14、收状态吸收状态。 要求在吸收状态时由要求在吸收状态时由ei转移到转移到ej所需的平均转移所需的平均转移次数，须先求出次数，须先求出M矩阵。矩阵。1112112122212.kkllmmmmmmMIQmmmlkI单位矩阵；单位矩阵；Q由转移矩阵由转移矩阵P中去掉吸收状态的行和列后的子矩阵。中去掉吸收状态的行和列后的子矩阵。四、吸收状态的平均转移次数（或平均时间）四、吸收状态的平均转移次数（或平均时间）可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计从状态从状态ei出发到达吸收状态的平均转移次数为：出发到达吸收状态的平均转移次数为：1kijjm用矩阵表示为：用矩阵表示为：111112122
15、12221121.1.1.1kjjkkjkjllkljjmmmmmmmmMCmmmlkm 可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计例例35 三个状态的状态转移图如图所示，其中三个状态的状态转移图如图所示，其中e1为为正常状态，正常状态，e2为故障状态（可修复），为故障状态（可修复），e3为吸收为吸收状态，失效后不再修理了。求达到吸收状态时平状态，失效后不再修理了。求达到吸收状态时平均转移次数及各状态的停留次数。均转移次数及各状态的停留次数。e1e2e312121211414解：解：（1）其转移概率矩阵）其转移概率矩阵P：可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计1
16、1022111424001P其中其中P331表示吸收状态，故表示吸收状态，故11221142Q （2）基本矩阵）基本矩阵M：111111110442222()011111244242MIQ可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计（3）平均转移次数：）平均转移次数：44182416MC 可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计第二节第二节 单部件可修复系统的有效度单部件可修复系统的有效度假设：假设：1.系统由一个单元和一组维修人员组成；系统由一个单元和一组维修人员组成；2.组成系统单元的寿命和维修时间均服从指数分布；组成系统单元的寿命和维修时间均服从指数分布；方法
17、步骤：方法步骤：1 1、明确空间状态（弄清维修系统的所有状态）、明确空间状态（弄清维修系统的所有状态）简单系统，任一时刻只可能有两种状态简单系统，任一时刻只可能有两种状态 。可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计e1e21t ttt1t其马尔柯夫链的微系数矩阵为：其马尔柯夫链的微系数矩阵为： 连续型马尔柯夫过程，状态转移是在连续型马尔柯夫过程，状态转移是在tt+t的一的一个极小区间个极小区间t内完成的。内完成的。2、写出状态转移概率、写出状态转移概率11tttt P（t）=可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计 11P tP X t表示系统处表示系统处于正常
18、状态于正常状态 20P tP X t表示系统表示系统处于故障处于故障状态状态t t时间内各转移概率为：时间内各转移概率为： 111110PtP X ttX ttt 12010PtP X ttX ttt 21100PtP X ttX ttt 220010PtP X ttX ttt 发生一个以上故发生一个以上故障的概率，高阶障的概率，高阶无穷小，表示基无穷小，表示基本不会发生一个本不会发生一个以上的故障以上的故障可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计3、写出每一状态在时刻、写出每一状态在时刻t+t时的概率时的概率利用全概率公式得：利用全概率公式得：4、将以上公式列出微分方程组、将
19、以上公式列出微分方程组 112PtP tP t 212PtP tP t 121-P tP t解微分方程组，得：解微分方程组，得： 1111221121P ttP t PtP t Ptt P tt P t t 2112222121P ttP t PtP t PttP ttP t t)()()(CdxexQeydxxPdxxP ).()(xQyxPdxdy 可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计 1tP te 由于由于P1(t)是系统处于工作状态的概率，也就是是系统处于工作状态的概率，也就是系统的瞬时有效度系统的瞬时有效度A(t)。 当当t时，即可得系统的稳态有效度。时，即可得系
20、统的稳态有效度。 tA teA 当故障状态为吸收状态时，系统的可靠度？当故障状态为吸收状态时，系统的可靠度？可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计第三节第三节 串联可修复系统的有效度串联可修复系统的有效度一、一、n n个相同单元、一组维修工情况个相同单元、一组维修工情况 1212.nn系统状态转移图：系统状态转移图：e1e21nt tntt1t可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计系统只有两状态：系统只有两状态：X(t)=1 全部单元正常，系统正常全部单元正常，系统正常X(t)=2 任一单元故障，系统故障任一单元故障，系统故障瞬时有效度瞬时有效度: ntnA
21、 tenn稳态有效度稳态有效度:An 故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：tnsetR)(ns1可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计每个单元的故障率分别为：每个单元的故障率分别为：(1,2,3,., )iin每个单元修复率分别为：每个单元修复率分别为：(1,2,., )iin2、n个不同单元，一组维修工情况个不同单元，一组维修工情况n个不同单元串联状态转移图个不同单元串联状态转移图可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计工程上关心的是稳态有效度工程上关心的是稳态有效度A().A().在在tt+t时间内的微系数转移矩阵为：时间内的微系数转移矩阵为：nnA.11)(11可可 靠靠 性性 设设 计计可可 靠靠 性性 设设 计计故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：故障为吸收状态时，系统可靠度及平均无故障工作时间：nitttsiniiseeetR11)(ss1系统的失效率为：系统的失效率为：nii1s
