1、一、层次分析法概述问题的提出问题的提出: :日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时,需要依据一定的标准选择某一种方案。例例1 1 购物购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例例2 2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例例3 3 择业择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 面临各种各样的方案，要
2、进行比较、判断、评价、最后作出决策。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。一、层次分析法概述T.L.saatyT.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理上述这类问题的实用方法层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简称AHP)层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法机理分析法和和统计分析法统计分析法两种方法，前者用经典的数学经典的数学工具分析现象的
3、因果关系，后者以随机数学随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次层次分析法分析法是系统分析的数学工具之一。1.什么是层次分析法？2.层次分析法适用范围3.层次分析法的优点层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二、层次分析法建模的基本步骤二、层次分析法建模的基本步骤运用层次分析建模，大体上可按下面四个步骤进行： 1. 分析系统中各因素间的关系，建
4、立系统的递阶层 次结构； 2. 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的 相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验； 4. 计算各元素对于系统目标的总排序权重， 并进行排序。三、层次分析法各步骤的实现过程由目标层、准则层（指标层）、方案层等组成的多层次树状或网 状图，称为层次结构图。不论多指标决策是复杂或简单，都可以 画出层次结构图。根据自上而下的支配关系的不同，层次结构图又分为树状图和网 状图。 示例如图 1.对于一般的决策层次分析模型可分为三层：最高层（目标层）、中间层（准 则层）、最底层（方案层），各
5、层可以根据问题的需要细分为若干子层。最 高层只有一个元素 ，用于分析预定目标或结果，中间层可由若干准则、子准 则层组成。最底层则由为实现目标而提供选择的各种措施与决策方案组成， 也称方案层。 2.每一层次中各元素所支配的元素一般不超过9个。续层次结构图1.元素按从上到下的顺序进行支配，同一层次元素之间不存在支 配关系； 2.目标层只有一个元素，每个元素所支配的元素不超过9个，否 则需要进一步分组。（图例说明） 1.择校问题 2.合理使用企业利润问题（二）判断矩阵n判断矩阵是指层次结构图上某一层面各个元素之间关于上一层次中某一准则的相互重要性给以量化判断所构成的方阵。构造判断矩阵是进行层次分析的
6、关键。我们用图我们用图1 1所示的层次结构图分析说明所示的层次结构图分析说明n包括面向紧上层面的目标（准则），与之相关联元素组成的方阵，即A=（bij)nn。如图1，第二层面有三个元素，即B1、B2、B3，针对上一层面A目标的Bj之间重要性判断矩阵的框架结构如表一。n第三层面有六个元素，针对第二层面Bj目标，可以写出Cj之间的重要性判断矩阵有三个，见表24。n依此类推，可以写出第四面Sj之间的重要性判断矩阵六个。续判断矩阵n根据心理学家的研究认为，人们区分信息等级的极限能力为72的大致幅度。因此Saaty提出判断矩阵标度应取19之间的数值，详见表五。n显然判断矩阵A=（bij)nn是正互反阵，
7、因为bii=1, bij=1/ bji 另外，nn阶判断矩阵只需给出n(n-1)/2个判断数。续判断矩阵n判断矩阵的判断数不应该由个别人主观估计，而应该请有责任感且是内行的多位专家参与估计。一般来讲，方案（措施）层的判断矩阵估计关系到决策质量，因此人员结构与专家数目应特别慎重。所谓，就是给定一个nn阶方阵，按表五要求，估计出n(n-1)/2个判断数。此法简单扼要，应用较广。但要让专家直接在判断矩阵上标出19数值一般不太容易，所以常用一种称为的方法，即不去比较同一层面各元素之间谁轻谁重，孰优孰劣，而是进行单个元素与上个层面的目标（准则）对比。示例见表六。显然专家填列此表不会感到困难。续判断矩阵如
8、何将专家静态法产生的判断数，转化为nn阶判断矩 阵元素bij，是静态法是否有使用价值的关键 1.静态法与动态法数值转化对应表（见表七） 2.应用举例 试将表六中静态判断值转化为动态判断值（见表八十）（三）层次单排序与一致性检验层次单排序：层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n个小块，各块的重量nwww,21分别记为：则可得成对比较矩阵 11121212121wwwwwwwwwwwwAnnnn可以看出jkkijiwwwwww 即nji, 2 , 1
9、,ijkjikaaa 在正互反矩阵A中，若 , 则称A为一致阵。ijkjikaaa （三）层次单排序与一致性检验 在构造判断矩阵之后，解出判断矩阵的最大特征值 ，再利用它对应的特征方程 ，解出对应的特征向量W， W经过标准化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的排序权值，这一过程即求层次单排序。（相关理解见注解） 由于判断矩阵中的元素 的给出是比较粗糙的，当n很大时，计算 和W很麻烦，因此，在计算判断矩阵的最大特征值和特征向量时可以采取近似计算。常用的方法有：方根法、和法、特征根法。由于MATLAB软件的广泛使用，因此现在一般用特征根法来解决此类问题。详见应用举例。ma
10、xWAWmaxaijmax续层次单排序与一致性检验在判断矩阵的构造中，由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，因此并不要求一致性定义中的等式aijajk=aik成立，但要求判断有大体上的一致是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策失误，而且上述各种计算排序权重的方法当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠性也就值得怀疑。因此，需要对判断矩阵的一致性进行检验。检验判断矩阵是否有一致性，用两种指标进行检验：CI与CR（Saaty首先提出），步骤为：续层次单排序与一致性检验1maxnnCInmaxRICICR 矩阵
11、阶数123456789RI000.580.961.121.241.321.411.45使用条件只准用标度为1 续层次单排序与一致性检验 当CR=0时，判断矩阵有完全随机一致性；当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的（满意），否则应对判断矩阵作适当调整。应用MATLAB计算判断矩阵排序权重向量、最大特征值，并进行一致性检验。此例前面我们已算得最大特征值 ，于是有： 可见此判断矩阵具有较好的一致性。 171517121521A1190. 3max0595.01331190.31maxnnCI1026.058.00595.0RICICR（四）层次总排序与一致性检验 层次单排序后，还需要进
12、行层次总排序，即计算同一层次所有元素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是由最高层到最底层逐层进行的。设准则层C包含m个元素C1、C2、Cm，它的层次总排序权值为a1、a2、am;方案层P包含n个元素P1、P2、Pn，它们对于Cj的层次单排序权值分别记为b1j、b2j、bnj(j=1,2, ,m)，则P层次总排序权值如表十二所示。检验是从最高层到最底层逐层进行的。设P层中的元素对Cj的单排序的一致性指标为（CI）j，随机一致性指标是(RI)j，则P层总排序随机一致性指标为： 当CR ahpno1judementmatrix=1 2 5;1/2 1 7;1/5 1/
13、7 1A = 1.0000 2.0000 5.0000 0.5000 1.0000 7.0000 0.2000 0.1429 1.0000r = 3.1190w = 0.5415 0.3816 0.0768于是有：最大特征根为 排序权重向量为：W=（0.5415， 0.3816， 0.0768)T1190. 3maxMATLAB6返回第2次返回续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量注：对任意给定方阵A，可通过v,d=eig(A)算出特征值矩阵d与特征向量 矩阵v。 对判断矩阵，其中d的第一行第一列元素即为最大特征值，v 的第一列为与之对应的特征向量。如：输入：A=1 3 7 5；1
14、/3 1 5 3；1/7 1/5 1 3；1/5 1/3 1/3 1； v,d=eig(A) 回车结果为v = 0.8827 0.8849 0.8003 0.8003 0.4270 -0.4577 0.2247 + 0.4835i 0.2247 - 0.4835i 0.1618 0.0750 -0.2318 + 0.0355i -0.2318 - 0.0355i 0.1109 -0.0414 0.0161 - 0.1410i 0.0161 + 0.1410id = 4.3626 0 0 0 0 -0.1924 0 0 0 0 -0.0851 + 1.2417i 0 0 0 0 -0.0851
15、- 1.2417iMATLAB6返回续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量再看一例：设A=1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1输入：ahpno1 运行结果为judementmatrix=1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1A = 1.0000 0.2000 0.3333 5.0000 1.0000 3.0000 3.0000 0.3333 1.0000r = 3.0385w = 0.1047 0.6370 0.2583一致性检验结果为可见此判断矩阵具有满意的一致性0385. 3max0193.01330385.31maxnnCI0333.058.00193.0R
16、ICICRMATLAB6返回续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量再看一例：输入：ahpno1 运行结果为judementmatrix=1 1/6 1/6 1/4 1/3 1/9;6 1 3 5 3 1/7;6 1/3 1 6 4 1/6;4 1/5 1/6 1 3 1/9;3 1/3 1/4 1/3 1 1/9;9 7 6 9 9 1A = 1.0000 0.1667 0.1667 0.2500 0.3333 0.1111 6.0000 1.0000 3.0000 5.0000 3.0000 0.1429 6.0000 0.3333 1.0000 6.0000 4.0000 0.
17、1667 4.0000 0.2000 0.1667 1.0000 3.0000 0.1111 3.0000 0.3333 0.2500 0.3333 1.0000 0.1111 9.0000 7.0000 6.0000 9.0000 9.0000 1.0000r =6.8786 w = 0.0245 0.1817 0.1401 0.0590 0.0425 0.5522MATLAB6返回表十二 P层次的总排序权值层次P层次CP层次的总排序权值C1、C2、Cma1、a2、amP1b11、b12、b1mP2b21、b22、b2mPnbn1、bn2、bnmmjjjba11mjjjba12mjnjjba
18、1返回表十三 层次分析法使用的步骤与主要内容表序号1234567步骤明确问题分层结构图判断矩阵层次单排序层次总排序方案优选输出结果内容总目标目标层判断表特征向量权重计算特征向量方案排序分目标分目标层判断规则最大特征值CI检验层次总排序满意方案多指标准则层标度方法CI检验RI计算最佳方案评价准则指标层请专家打分CR检验CR计算有关说明约束条件方案层表格汇总信息反馈信息反馈措施层返回AHP决策方法一示例n给定方案S1、 S2、 S3针对C1、 C2、 C3、 C4、 C5、 C6的重要性判断矩阵（见表14.1-6），试用方案层总排序法进行决策。0.104711/51/3S30.6370513S20
19、.258331/31S1S1kS3S2S1表14.1 C1SK矩阵0.222511/53S30.6507513S20.12681/31/31S1S2kS3S2S1表14.2 C2S2k矩阵0.6370153S30.10471/511/3S20.25831/331S1S3kS3S2S1表14.3 C3S3k矩阵0.2583131/3S30.10471/311/5S20.6370351S1S4kS3S2S1表14.4 C4S4k矩阵0.211/31S30.6313S20.211/31S1S5kS3S2S1表14.5 C5S5k矩阵0.4286131S30.14281/311/3S20.428613
20、1S1S6kS3S2S1表14.6 C6S6k矩阵AHP决策方法一示例（续）解：1.计算方案层的层次单排序Pik（见上表14.1-6） 2.计算方案层的层次总排序(见表14.7，假定CJ层总排序已知）指标代号CiC1C2C3C4C5C6合计方案层总排序层次总排序i0.01550.07740.07060.49450.2850.0571.0000k= Pik i方案层单排序PikS10.25830.12680.25830.63700.20.42860.4285S20.63700.65070.10470.10470.60.14280.2985S30.10470.22250.63700.25830.2
21、0.42860.2731.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000表14.7 层次总排序k与决策表3.决策。决策的原则是从方案总排序k（k=1,2,3）中取最大值，于是得：最 优方案为S1 ，其层次总排序数为1 =0.4285;较次的方案为S2，2=0.2985; 最次的是S3， 3=0.273.返回AHP决策方法二示例指标代号CiC1C2C3C4C5C6合计期望值层次总排序i0.01550.07740.07060.49450.2850.0571.0000= Pik i方案Sk 量化值PikS15357355.264S27533533.787S33575
22、555.11从期望值 （i=1,2,3）中取最大值 Sk=max |（i=1,2,3）=5.264=选择S1为最优方案，平均得分为5.264分；其次为方案S3，平均得分为5.11分。iqiqiq1q返回1层次分析法概述讲授要点 (1) 什么是层次分析法？（2）层次分析法适用范围（3）层次分析法的优点返回2.层次分析法建模的基本步骤讲授要点返回3.层次分析法各步骤的实现过程讲授要点返回4.残缺判断处理讲授要点返回群组决策为使决策科学化、民主化，一个复杂系统总是有多个决策者（专家）或决策部门参与决策的，由于决策者的地位、立场、知识水平及个人偏好的差异，对同一个问题会有不同的判断，这些个体判断是否合
23、理，如何把它们综合成一个较合理的判断，就是所谓的群组决策问题。对群组决策问题，首先应重视并做好专家咨询工作，其次要选择好群组决策综合方法。分两类：一是将各专家的判断矩阵进行综合，然后求综合判断矩阵的排序向量； 二是先求各个专家判断矩阵的排序向量，然后再综合成群组排序向量。从互反性、一致性、计算机模拟分析角度考虑，一般选用第二类方法，具体做法是：1.加权几何平均综合排序向量法；2.加权算术平均综合向量法。返回AHP中的逆序现象、保序性问题逆序是指由于新方案的引入引起原有方案总排序权重的改变逆序是指由于新方案的引入引起原有方案总排序权重的改变进而引起的逆转现象。引起逆序的原因是多方面的，逆序是进而
24、引起的逆转现象。引起逆序的原因是多方面的，逆序是否合理，否合理， 已成为当前已成为当前AHPAHP中最受关注的问题。中最受关注的问题。分配型分配型AHPAHP应采用通常的归一化方式排序应采用通常的归一化方式排序, ,允许逆序现象存在，允许逆序现象存在，准则型准则型AHPAHP应以重要元素权重为应以重要元素权重为1 1进行归一化，否则由此引起进行归一化，否则由此引起的逆序显然是不合理的。准则型的逆序显然是不合理的。准则型AHPAHP归一化归一化M M文件如下文件如下: :AHP中的逆序现象、保序性问题(续)n%AHP.nA=input(judementmatrix=)nv,d=eig(A);na
25、=v(:,1);nn=length(a);ns=0;nfor i=1:nn s=s+a(i);nendnfor i=1:nn w(i)=a(i)/s;nendnr=d(1,1)nwnw1=w/w(n)返回评分标度的应用 所谓评分标度法,就是在某一准则下每个元素的重要程度直接与某种确定的标准比较,然后直接赋于绝对“分”. 由于此时元素的重要性是各自独立确定的,排序向量不必归一化,因而不会因新元素的导入而产生逆序. 1.以前介绍的标度准则称为相对标度法,此处介绍的为评分标度又称为绝 对标度. 2.两种标度方法,可以同时在一个AHP模型中应用,要注意在同一准则下 应采用同一种标度法,否则排序权值将难以合成. 3.一般情形下,评分标度应用于最下一层元素.返回当CR0.1时，判断矩阵的调整方法n令 其中 对 计算特征向量 ，再求 ，再检验一般地讲， 能达到满意的一致性。返回nnijnnnnbwwB1 nnnnnwwwwwwwwww222111 nnnwwww10101,211nnijbBiw maxCRCI和CRCI和
