1、一、知识提要 1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系：SinCsc=1 CosSec=1 tgCtg=1 商数关系：Sin =tg CosCos =Ctg Sin1、同角三角比八个基本关系式 平方关系：Sin2 2+ Cos2 2=1tg2 2+1 =Sec2 2Ctg2 2+1 =Csc2 21、同角三角比八个基本关系式 附：图示分析 平方关系： 三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方 倒数关系： 对角线两顶点之积为1 1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： 相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。 1、同角三角比八个基本关系式 一般的，如果已知角三角比，并已知终边所在象限，角可唯一确
2、定。若未知范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。 证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。 证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。 2、两角和与差的余弦、正弦 本节从证明两角差的余弦公式出发，通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。 由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2k及(2k1)的三角比；诱导公
3、式中三角比保持不变，对2k(/2)及2k(3/2)的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“”或“”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看奇变偶不变，符号看象限象限”。 2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinbCos这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。 2、两角和与差的余弦、正弦 即aSinbCos= a2 2+b2 2 Sin(+)。其中由 a bCos= Sin= a2 2+b2 2 a2 2+b2 2 02来确定。3、两角和与差的正切、余切 两角和的正切公式： 两角差的正切公式： 这两式成
4、立的条件是：正切符号“tg”后面的角、+、 都不等于 tg+ tg tg(+)= 1 tgtg tg tg tg( )= 1+tgtg k+ ( kZ ) 2 4、二倍角公式 正弦公式：Sin2=2SinCos 余弦公式： Cos 2=Cos2 2 Sin2 2 =2Cos2 2 1 =1 2Sin2 2 正切公式： 2tgtg2= 1- tg2 2 1 (K+ 且 K+ , KZ ) 2 2 4运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。4、二倍角公式 例如：tg+tg=tg(+). .(1 tgtg)tg tg=tg( ).
5、.(1 + tgtg) Sin2 Sin= 2Cos Sin2 Cos= 2SinCos2 2 Sin2 2=1 1+Cos2 Cos2= 2 1 Cos2 Sin2= 24、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2是的二倍，是/2的二倍， 4是2的二倍，等等。 有的特殊关系式也要记住： 1 tg =tg 1+tg 41+tg =tg + 1 tg 45、半角公式 1 Cos Sin = 2 2 1+Cos Cos = 2 2 1 Cos tg = 2 1+Cos5、半角公式 变形公式： Sin 1 Cos tg = = 2 1+Cos Sin 二、例题分析 例1：已知大于零度小于180
6、度，且 1Sin+Cos= ，求Sin和 5Cos的值。例1：已知大于零度小于180度，且 1Sin+Cos= ，求Sin和 5Cos的值。分析：若求出sin cos值， 1Sin+Cos= 联立， 5可以求出Sin和Cos的值。将之与例1：已知大于零度小于180度，且 1Sin+Cos= ，求Sin和 5Cos的值。解： 1Sin+Cos= 代入 5把( Sin+Cos)2 2=1+2SinCos得 12SinCos= 25 0 180，且 12SinCos= 0 25900，Cos0而( Sin Cos)2 2=1 2SinCos 12 25 49 25=1Sin Cos= 7 5联立：S
7、in Cos= 7 5Sin+ Cos= 1 3得：Cos= 3 5Sin= 4 52 2=注意：对于任意角，总有 ( Sin+ Cos)2 2=1+2SinCos( Sin Cos)2 2=1 2SinCos这两个等式联系着 Sin和Cos， Sin+ Cos， Sin Cos， SinCos关系。 本例解法多种：可以利用 Sin2 2+ Cos2 2=1Sin+ Cos= 1 5求Sin由于00时， 不在第三象限。例2：已知tg=3， 求Sin2 2+ SinCos+ 2Cos2 2的值。 例2：已知tg=3， 求Sin2 2+ SinCos+ 2Cos2 2的值。 分析：由已知条件tg=
8、3， 如果将已知式子变为只含式子， 就可以求得所需值。 例2：已知tg=3， 求Sin2 2+ SinCos+ 2Cos2 2的值。 解：Sin2 2 + 2Cos2 2 + SinCos Sin2 2 + 2Cos2 2 + SinCos = Sin2 2 + Cos2 2 tg2 2 + 2 + tg = tg2 2 + 1 32 2 + 3 + 2 = 32 2 + 1 7 5=注：此题注意了 Sin2 2 + Cos2 2=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。如：Sin4 4 + Cos4 4 =(Sin2 2 + Cos2 2)2 2 2Sin2 2Cos2 2 例3：
9、求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2 例3：求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2 证:原式= Cos 1 Sin 11+ 1+ + Sin Sin Cos Cos Sin + Cos 1 Cos+Sin+1 = . . Sin Cos 2SinCos = =2 CosSin例3：求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2 解：证 Cos 1 Sin 11+ 1+ + Sin Sin Cos Cos Sin + Cos 1 Cos+Sin+1 = . . Sin Cos 2SinCos = =2 CosSin注：此例题体现了化弦。 例4
10、：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12 7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12 7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=22例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12 7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=22 7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9(2)原式= 7 2 1 =Sin =S
11、in = 18 9 6 2例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12 7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=22 7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9(2)原式= 7 2 1 =Sin =Sin = 18 9 6 2说明 本题旨在加深学生对公式的正，逆用。 例5：已知 3 ， 2 4Cos( )= ，1213Sin(+ )= ， 3 5求Sin2。例5：已知 3 ， 2 4Cos( )= ，1213Sin(+ )= ， 3 5求Sin2。解： 3 ， 2 4 0 ， 4 3+
12、 2又 Cos( )=1213 Sin( )= 513Sin(+ )= 3 5Cos(+ )= 4 5Sin2=Sin (+ )+ ( )=Sin(+) Cos( )+Cos(+) Sin( ) 3 5= . . + . . = 1213 4 5 513 56 65Sin2=Sin (+ )+ ( )说明 使学生树立相对观点，不但知道+， 分别是与两角的和、差。而 且会把2看作两角()与() 的和，把2看()与()的差。 =Sin(+) Cos( )+Cos(+) Sin( ) 3 5= . . + . . = 1213 4 5 513 56 65例6：已知ABC中，SinASinBCosAC
13、osB， 试判断ABC的形状，并说明理由。 例6：已知ABC中，SinASinB0 Cos(A+B)0 ABC ABC ，而Cos(A+B)0 CosC0 CosC0 又0C C0时，f(x)的最小值是 2a+2a+b= 5，即 b= 5，f(x)最大值是 1 2 2a +2a+b=1即 a=2 。(2)当a0tg=1 Cos2 1+Cos21+119169119169=1= 12 5例14：已知SinCos= ， 60169且( , )求tg的值。 4 2解法三：由已知1+2SinCos= 289169又SinCos0， (Sin+cos)2 2= 289169Sin+Cos= 1713(1
14、)，同样 (Sin cos)2 2= ， 49169，Sin Cos= 713(2)由(1)、(2)式得 Sin= 1213Cos= 513 tg= 12 5说明：的符号，故用半角公式 tg= 1 Cos2 Sin2；采用解法二须注意cos2本身是负值，而tg是正值，采用解法三要注意由于的取值范围可确定sin+cos、sin-cos的符号。解法一是根据题设可确定sin2、cos2例15：已知tgA= b a，求证：acos2A+bsin2A=a 例15：已知tgA= ，求证：acos2A+bsin2A=a 解：证法一 利用万能置换公式有： 左边= aCos2A+bSin2A=a . . 11+
15、 b . . 2 . .1+=a . .a2 2 b2 2a2 2 + b2 2+ b . . 2aba2 2 + b2 2=a3 3 ab2 2+2ab2 2 a2 2 + b2 2a(a2 2+b2 2) a2 2 + b2 2=a=右边。 b a b a2 b a2 b a2 b a例16：已知tgA= ，求证：acos2A+bsin2A=a 解：证法二 tgA= =SinACosA aSinA=bCosA2aSin2 2A=2bCosASinA2aSin2 2A=bSin2Aa(1 Cos2A)=bSin2A acos2A+bsin2A=a b a b a分析：题设中隐含了条件Ak+
16、。看到题例15：已知tgA= ，求证：acos2A+bsin2A=a 设中的tgA和求证式中的cos2A，sin2A自然想到用万能置换公式。 2 b a例16：已知tg+Sin=m ， tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2= 4 mn例17：已知tg+Sin=m ， tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2= 4 mn证明: m2 2 n2 2(tg+Sin)2 2 (tg Sin)2 2=4tgSin4 mn =4 tg2 2 Sin2 2 =4 (Sec2 2 1)Sin2 2=4 tg2 2Sin2 2 =4tgSin左右两边都等于4tgsin故相等。 例17：已知tg+Sin=
17、m ， tg Sin=n 求证：m2 2 n2 2= 4 mn解：证明 m2 2 n2 2(tg+Sin)2 2 (tg Sin)2 2=4tgSin4 mn =4 tg2 2 Sin2 2 =4 (Sec2 2 1)Sin2 2=4 tg2 2Sin2 2 =4tgSin左右两边都等于4tgsin故相等。 注：此题体现了知识提要中左右归一的证题思路 三、小结本节重点、难点：1、掌握同角八个三角恒等关系式。2、在两角和与差的公式中，以Cos(+)CosCosSinSin最为基本，应当掌握这一公式的推导过程，其它的一系列公式都可以通过诱导公式，同角关系式或式的变形运算得到，建议同学们在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上去认识，记忆公式，而不要死记硬背。3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在 以下两个方面。 (1) 即要熟练地顺着用公式，也要善于 逆着用公式。 (2) 能够创造条件应用公式。如角的变 换：可表示为(+)， “2”可表示为(+)( )等。4、掌握和熟练运用两角的和与差的正 切公式、二倍角的正弦、余弦和正 切公式。5、灵活地选择各有关公式及其变形， 进行三角式的化简、求值和证明。
