1、4.1 样品（变量）相近性度量样品（变量）相近性度量4.2 谱系聚类法及谱系聚类法及MATLAB实现实现4.3 快速聚类法快速聚类法统计方法（聚类分析）:聚类分析所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类系统聚类分析将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）统计方法（系统聚类分析步骤）:系统聚类方法步骤：1. 计算n个样本两两之间的距离2. 构成n个类，每类只包含一个样品3.
2、 合并距离最近的两类为一个新类4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转35. 画聚类图6. 决定类的个数和类。系统聚类分析:主要介绍系统聚类分析方法。系统聚类法是聚类分析中应用最为广泛的一种方法，它的基本原理是：首先将一定数量的样品或指标各自看成一类，然后根据样品（或指标）的亲疏程度，将亲疏程度最高的两类进行合并。然后考虑合并后的类与其他类之间的亲疏程度，再进行合并。重复这一过程，直至将所有的样品（或指标）合并为一类。 系统聚类分析用到的函数:函 数功 能pdist计算观测量两两之间的距离 squareform
3、 将距离矩阵从上三角形式转换为方形形式，或从方形形式转换为上三角形式 linkage 创建系统聚类树 dendrogram 输出冰柱图 cophenet 计算Cophenetic相关系数 cluster 根据linkage函数的输出创建分类 clusterdata 根据数据创建分类 inconsistent 计算聚类树的不连续系数 聚类分析 研究对研究对样品或指标样品或指标进行分类的一种多元统计方法进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。 聚类分析把分类对象按一定规则分成若干类，这聚类分析把分类对象按一定规则分成若干类，这
4、些类些类非事先给定非事先给定的，而是根据数据特征确定的。的，而是根据数据特征确定的。在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。似，而在不同类中趋向于不相似。 职能是建立一种能按照样品或变量的相似程度进职能是建立一种能按照样品或变量的相似程度进行分类的方法。行分类的方法。 聚类分析有两种聚类分析有两种：一种是对样品的分类，称为：一种是对样品的分类，称为Q型，另一种是对变量（指标）的分类，称为型，另一种是对变量（指标）的分类，称为R型。型。R型聚类分析的主要作用：型聚类分析的主要作用： 不但可以了解个别变量之间的亲疏程度，而且
5、可以了解不但可以了解个别变量之间的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。各个变量组合之间的亲疏程度。 根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主要变量进行要变量进行Q型聚类分析或回归分析。（型聚类分析或回归分析。（R2为选择标准）为选择标准）Q型聚类分析的主要作用：型聚类分析的主要作用： 可以综合利用多个变量的信息对样本进行分析。可以综合利用多个变量的信息对样本进行分析。 分类结果直观，聚类谱系图清楚地表现数值分类结果。分类结果直观，聚类谱系图清楚地表现数值分类结果。 聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、聚类分析所得
6、到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。合理。在课堂上主要讨论在课堂上主要讨论Q型聚类分析型聚类分析, Q型聚类常用的统计量是距型聚类常用的统计量是距离离.4.1 样品（变量）间相近性度量样品（变量）间相近性度量4.1.1 聚类分析的基本思想聚类分析的基本思想在生产实际中经常遇到给产品等级进行分类的问题，在生产实际中经常遇到给产品等级进行分类的问题，如一等品、二等品等，在生物学中，要根据生物的如一等品、二等品等，在生物学中，要根据生物的特征进行分类；在考古时要对古生物化石进行科学特征进行分类；在考古时要对古生物化石进行科学分类；在球类比赛中经常要对各球队进行分组如何分类；在球类比赛中经常要对
7、各球队进行分组如何确定种子队，这些问题就是聚类分析问题。随着科确定种子队，这些问题就是聚类分析问题。随着科学技术的发展，我们利用已知数据首先提取数据特学技术的发展，我们利用已知数据首先提取数据特征，然后借助计算机依据这些特征进行分类，聚类征，然后借助计算机依据这些特征进行分类，聚类的依据在于各类别之间的接近程度如何计量，通常的依据在于各类别之间的接近程度如何计量，通常采取距离与相似系数进行衡量。采取距离与相似系数进行衡量。设有设有n个样品的个样品的p元观测数据组成一个数据矩阵元观测数据组成一个数据矩阵npn2n12p22211p1211xxxxxxxxxX其中每一行表示一个样品，每一列表示一个
8、指标，其中每一行表示一个样品，每一列表示一个指标，xij表示第表示第i个样品关于第个样品关于第j项指标的观测值，聚类分析的项指标的观测值，聚类分析的基本思想就是在样品之间定义距离，在指标之间定义基本思想就是在样品之间定义距离，在指标之间定义相似系数，样品之间距离表明样品之间的相似度，指相似系数，样品之间距离表明样品之间的相似度，指标之间的相似系数刻画指标之间的相似度。将样品标之间的相似系数刻画指标之间的相似度。将样品（或变量）按相似度的大小逐一归类，关系密切的聚（或变量）按相似度的大小逐一归类，关系密切的聚集到较小的一类，关系疏远的聚集到较大的一类，聚集到较小的一类，关系疏远的聚集到较大的一类
9、，聚类分析通常有：类分析通常有：谱系聚类、快速聚类，我们主要介绍谱系聚类、快速聚类，我们主要介绍谱系聚类的方法与谱系聚类的方法与MATLAB实现实现4.1.2 样品间的相似度量样品间的相似度量距离距离一一.常用距离的定义常用距离的定义设有设有n个样品的个样品的p元观测数据：元观测数据： n21ixxxxTipi2i1i,),(这时，每个样品可看成这时，每个样品可看成p p元空间的一个点，每两个点之元空间的一个点，每两个点之间的距离记为间的距离记为 满足条件：满足条件：),(jixxdjijijixx0 xxd0 xxd当且仅当且),(,),(),(),(ijjixxdxxd),(),(),(j
10、kkijixxdxxdxxd1.欧氏距离欧氏距离21p1k2jkikjixxxxd/)(),( pdist(x) 2.绝对距离绝对距离p1kjkikjixxxxd|),(pdist(x,cityblock)3.明氏距离明氏距离m1p1kmjkikjixxxxd/|),( pdist(x,minkowski,r)4.切氏距离切氏距离|),(jkikpk1jixxmaxxxdmax(abs(xi-xj)5.方差加权距离方差加权距离21p1k2k2jkikjisxxxxd/)(),(将原数据标准化以后的欧氏距离将原数据标准化以后的欧氏距离6.马氏距离马氏距离T1ijijijd(x ,x )(xx )
11、(xx )pdist(x,mahal)7.兰氏距离兰氏距离p1kjkikjkikjixxxxp1xxd|),(8.杰氏距离（杰氏距离（Jffreys & Matusita）21p1k2jkikjixxxxd/)(),(例例1.为了研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海为了研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省省1991年城镇居民生活消费规律，需要利用调查资料对年城镇居民生活消费规律，需要利用调查资料对五个省进行分类，指标变量共五个省进行分类，指标变量共8个，意义如下：个，意义如下：x1:人人均粮食支出，均粮食支出，x2:人均副食支出人均副食支出;x3:人均烟酒茶支出，人均烟酒茶支出，x4:人均其他副食
12、支出人均其他副食支出,x5:人均衣着商品支出人均衣着商品支出,x6:人均人均日用品支出，日用品支出，x7:人均燃料支出，人均燃料支出，x8人均非商品支出人均非商品支出X X1 1X X2 2X X3 3X X4 4X X5 5X X6 6X X7 7X X8 8辽宁辽宁7.97.939.7739.778.498.4912.9412.9419.2719.2711.0511.052.042.0413.2913.29浙江浙江7.687.6850.3750.3711.3511.3513.313.319.2519.2514.5914.592.752.7514.8714.87河南河南9.429.4227.
13、9327.938.28.28.148.1416.1716.179.429.421.551.559.769.76甘肃甘肃9.169.1627.9827.989.019.019.329.3215.9915.999.19.11.821.8211.3511.35青海青海10.0610.0628.6428.6410.5210.5210.0510.0516.1816.188.398.391.961.9610.8110.81表表1 1991年五省城镇居民生活月均消费（元年五省城镇居民生活月均消费（元/人）人）计算各省之间的欧氏、绝对、明氏距离计算各省之间的欧氏、绝对、明氏距离解：解：a=7.939.778.
14、4912.9419.2711.052.0413.297.6850.3711.3513.319.2514.592.7514.879.4227.938.28.1416.179.421.559.769.1627.989.019.3215.999.11.8211.3510.0628.6410.5210.0516.188.391.9610.81;d1=pdist(a);% 此时计算出各行之间的欧氏距离，此时计算出各行之间的欧氏距离， 为了得到书中的距离矩阵，我们键入命令：为了得到书中的距离矩阵，我们键入命令：D= squareform(d1), % 注意此时注意此时d1必须是一个行向量，必须是一个行向量
15、，结果是实对称矩阵结果是实对称矩阵若想得到书中的三角阵，则有命令：若想得到书中的三角阵，则有命令：S = tril(squareform(d1)S = 0 0 0 0 0 11.6726 0 0 0 0 13.8054 24.6353 0 0 0 13.1278 24.0591 2.2033 0 0 12.7983 23.5389 3.5037 2.2159 0d2=pdist(a,cityblock); S2 = tril(squareform(d2)S2 = 0 0 0 0 0 19.89 0 0 0 0 27.2 47.05 0 0 0 24.58 43.39 4.66 0 0 26.5
16、2 42.31 8.08 5.38 0d3=pdist(a,minkowski,3); S3 = tril(squareform(d3)序号序号国家国家1990199520001澳大利亚澳大利亚1249.391273.611282.682巴西巴西821.6859.85919.733加拿大加拿大1641.011591.541608.324中国中国1330.451382.681462.085法国法国1546.551501.771525.956德国德国1656.521630.521570.697印度印度861.30862.51945.118意大利意大利1321.771232.31243.519日本日
17、本1873.681949.891851.2010俄罗斯俄罗斯1475.161315.87129711南非南非794.25787.48782.3812英国英国1486.751441.711465.1213美国美国2824.292659.642740.12例例2. 13个国家个国家1990，1995，2000可持续发展可持续发展能力如下：分成能力如下：分成4类类采用不同的距离，得到结果如下采用不同的距离，得到结果如下类别类别欧氏距离（最短距离）欧氏距离（最短距离）1日本日本2澳大利亚、加拿大、英、德、意、中、俄、法澳大利亚、加拿大、英、德、意、中、俄、法3巴西、印度、南非巴西、印度、南非4美国美国
18、类别类别欧氏距离（欧氏距离（ward距离）距离）1澳大利亚、中、意、俄澳大利亚、中、意、俄2加拿大、英、德、法、日本加拿大、英、德、法、日本3巴西、印度、南非巴西、印度、南非4美国美国类别类别马氏距离（马氏距离（ward距离）距离）1日本日本2澳大利亚、加拿大、英、德、意、南非、俄、法澳大利亚、加拿大、英、德、意、南非、俄、法3巴西、印度、中巴西、印度、中4美国美国4.1.3 变量间的相似度量变量间的相似度量相似系数相似系数 当对当对p个指标变量进行聚类时，用相似系数来个指标变量进行聚类时，用相似系数来衡量变量之间的相似程度（关联度），若用衡量变量之间的相似程度（关联度），若用 表表示变量之间
19、的相似系数，则应满足：示变量之间的相似系数，则应满足：,C 1C1C 且,|0kk1C, 当且仅当 CC相似系数中最常用的是相似系数中最常用的是相关系数与夹角余弦相关系数与夹角余弦。 夹角余弦夹角余弦 两变量的夹角余弦定义为：两变量的夹角余弦定义为： 相关系数相关系数 两变量的相关系数定义为：两变量的相关系数定义为： 例例3.计算例计算例1中各指标之间的相关系数与夹角余弦中各指标之间的相关系数与夹角余弦解：解：a=7.939.77 8.4912.94 19.27 11.052.04 13.297.6850.37 11.3513.319.25 14.59 2.75 14.879.4227.93
20、8.28.1416.17 9.421.55 9.769.1627.98 9.019.3215.99 9.11.82 11.3510.06 28.64 10.52 10.05 16.18 8.391.96 10.81;R=corrcoef(a);% 指标之间的相关系数指标之间的相关系数a1=normc(a); % 将将a的各列化为单位向量的各列化为单位向量J=a1*a1 % 计算计算a中各列之间的夹角余弦中各列之间的夹角余弦J = 1.0000 0.9410 0.9847 0.9613 0.9824 0.9546 0.9620 0.9695 0.9410 1.0000 0.9782 0.9939
21、 0.9853 0.9977 0.9947 0.9935 0.9847 0.9782 1.0000 0.9859 0.9911 0.9840 0.9931 0.9909 0.9613 0.9939 0.9859 1.0000 0.9944 0.9919 0.9947 0.9981 0.9824 0.9853 0.9911 0.9944 1.0000 0.9901 0.9901 0.9968 0.9546 0.9977 0.9840 0.9919 0.9901 1.0000 0.9952 0.9953 0.9620 0.9947 0.9931 0.9947 0.9901 0.9952 1.000
22、0 0.9968 0.9695 0.9935 0.9909 0.9981 0.9968 0.9953 0.9968 1.00004.2 谱系聚类法谱系聚类法 谱系聚类法是目前应用较为广泛的一种聚类法。谱谱系聚类法是目前应用较为广泛的一种聚类法。谱系聚类是根据生物分类学的思想对研究对象进行分类的系聚类是根据生物分类学的思想对研究对象进行分类的方法。在生物分类学中，分类的单位是：门、纲、目、方法。在生物分类学中，分类的单位是：门、纲、目、科、属、种。其中种是分类的基本单位，分类单位越小，科、属、种。其中种是分类的基本单位，分类单位越小，它所包含的生物就越少，生物之间的共同特征就越多。它所包含的生物
23、就越少，生物之间的共同特征就越多。利用这种思想，谱系聚类首先将各样品自成一类，然后利用这种思想，谱系聚类首先将各样品自成一类，然后把最相似（距离最近或相似系数最大）的样品聚为小类，把最相似（距离最近或相似系数最大）的样品聚为小类，再将已聚合的小类按各类之间的相似性（用类间距离度再将已聚合的小类按各类之间的相似性（用类间距离度量）进行再聚合，随着相似性的减弱，最后将一切子类量）进行再聚合，随着相似性的减弱，最后将一切子类都聚为一大类，从而得到一个按相似性大小聚结起来的都聚为一大类，从而得到一个按相似性大小聚结起来的一个谱系图。一个谱系图。 聚类分析的聚类分析的基本思想基本思想是认为我们所研究的样
24、是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。于是根据一批样本的多个观测指标，（亲疏关系）。于是根据一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合大的分类
25、单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整个分类系统画成一张谱到大的分类系统。最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称示出来。这种方法是最常用的、最基本的一种，称为为系统聚类分析系统聚类分析。4.2.1 类间距离类间距离前面，我们介绍了两个向量之间的距离，下面我们前面，我们介绍了两个向量之间的距离，下面我们介绍两个类别之间的距离：介绍两个类别之间的距离：设设dij表示两个
26、样品表示两个样品xi,xj之间的距离，之间的距离，Gp,Gq分别表示两分别表示两个类别，各自含有个类别，各自含有np,nq个样品个样品.（1）最短距离）最短距离ijGjGipqdminDqp,即用两类中样品之间的距离最短者作为两类间距离即用两类中样品之间的距离最短者作为两类间距离（2）最长距离）最长距离,pqpqiji Gj GDmax d 即用两类中样品之间的距离最长者作为两类间距离即用两类中样品之间的距离最长者作为两类间距离最短距离（Nearest Neighbor)x21x12x22x1113d最长距离（Furthest Neighbor ）x11x2112d重心距离重心距离11,x y
27、22,xy/9ii=1d9 最长距离最长距离最短距离最短距离ABCDEF中间距离中间距离（3）类平均距离）类平均距离pqGiGjijqppqdnn1D即用两类中所有两两样品之间距离的平均作为两类间即用两类中所有两两样品之间距离的平均作为两类间距离距离（4）重心距离）重心距离)()(),(qpTqpqppqxxxxxxdD其中其中 分别是分别是Gp,Gq的重心，这是用两类的重心的重心，这是用两类的重心之间的欧氏距离作为两类间的距离。之间的欧氏距离作为两类间的距离。qpxx ,（5）离差平方和距离（）离差平方和距离（ward）)()(qpTqpqpqp2pqxxxxnnnnD显然，离差平方和距离与
28、重心距离的平方成正比。显然，离差平方和距离与重心距离的平方成正比。4.2.2 类间距离的递推公式类间距离的递推公式设有两类设有两类Gp,Gq合并成新的一类合并成新的一类Gr，包含了，包含了nr=np+nq个样品，如何计算个样品，如何计算Gr与其他类别与其他类别Gk之间的之间的距离，这就需要建立类间距离的递推公式。距离，这就需要建立类间距离的递推公式。（1）最短距离）最短距离),(qkpkrkDDminD（2）最长距离）最长距离),(qkpkrkDDmaxD（3）类平均距离）类平均距离qkrqpkrprkDnnDnnD（4）重心距离）重心距离2pqrqrp2qkrq2pkrp2rkDnnnnDn
29、nDnnD证明：证明：rTrkTrkTkrkTrk2rkxxxx2xxxxxxD)()(kTkrqkTkrpkTkxxnnxxnnxx()rppqqr1,xn xn xn 将将代入（代入（1）(1)_._.pqpq2TTTT2TT2Trkkkkkkpkqppppqpqqqq2rrrrrnnnn1Dx xx x2x x2x xn x x2n n x xn x xnnnnn . . 将上式中加上再减去将上式中加上再减去 与与 ，合并同类项，合并同类项得得_pTprpxxnnqTqrqxxnnqTqrqpTprpqTq2qqTpqppTp2p2rqTqqTkkTkrqpTppTkkTkrp2rkxx
30、nnxxnnxxnxxn2nxxnn1xxxx2xx ( nnxxxx2xx (nnD)上式第二行合并同类项，得上式第二行合并同类项，得2pqrqrp2qkrq2pkrp2rkDnnnnDnnDnnD（5）离差平方和距离）离差平方和距离2pqkrk2qkkrkq2pkkrkp2rkDnnnDnnnnDnnnnD1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义；选择样本间距离的定义及类间距离的定义；2. 计算计算n n个个样本样本两两之间的距离，得到距离矩阵两两之间的距离，得到距离矩阵 3. 构造个类，每类只含有一个构造个类，每类只含有一个样本样本；4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类；合并
31、符合类间距离定义要求的两类为一个新类；5. 计算新类与当前各类的距离。若类的个数为计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1 1，则转，则转到步骤到步骤6 6，否则回到步骤，否则回到步骤4;4;6.6.画出聚类图；画出聚类图； 7.7.决定类的个数和类。决定类的个数和类。 ijdD 4.2.3 4.2.3 谱系聚类法的步骤谱系聚类法的步骤谱系聚类的步骤如下：谱系聚类的步骤如下：系统聚类分析的方法系统聚类分析的方法 系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以系统聚类法的聚类原则决定于样品间的距离以及类间距离的定义，及类间距离的定义，类间距离类间距离的不同定义就产的不同定义就产生了不同的系统聚类分析方
32、法。生了不同的系统聚类分析方法。 以下用以下用dij表示样品表示样品X(i)和和X(j)之间的距离，当样品之间的距离，当样品间的亲疏关系采用相似系数间的亲疏关系采用相似系数Cij时，时，令令 ； 以下用以下用D(p,q)表示类表示类Gp和和Gq之间的距离。之间的距离。221ijijCd（1）n个样品开始作为个样品开始作为n个类，计算两两之间的个类，计算两两之间的距离或相似系数，得到实对称矩阵距离或相似系数，得到实对称矩阵nnn2n12n22211n12110dddddddddD（2）从）从D0的非主对角线上找最小（距离）或最大的非主对角线上找最小（距离）或最大元素（相似系数），设该元素是元素（
33、相似系数），设该元素是Dpq，则将，则将Gp,Gq合合并成一个新类并成一个新类Gr=（Gp,Gq），在），在D0中去掉中去掉Gp,Gq所在的两行、两列，并加上新类与其余各类之间的所在的两行、两列，并加上新类与其余各类之间的距离距离(或相似系数或相似系数)，得到，得到n-1阶矩阵阶矩阵D1。（3）从）从D1出发重复步骤（出发重复步骤（2）的做法得到）的做法得到D2，再，再由由D2出发重复上述步骤，直到所有样品聚为一个出发重复上述步骤，直到所有样品聚为一个大类为止。大类为止。（4）在合并过程中要记下合并样品的编号及两类合）在合并过程中要记下合并样品的编号及两类合并时的水平，并绘制聚类谱系图。并时的
34、水平，并绘制聚类谱系图。例例4. 从例从例1算得的样品间的欧氏距离矩阵出发，用算得的样品间的欧氏距离矩阵出发，用下列方法进行谱系聚类。下列方法进行谱系聚类。（1）最短距离，（）最短距离，（2）最长距离）最长距离解：我们用解：我们用1，2，3，4，5分别表示辽宁、浙江、河分别表示辽宁、浙江、河南、甘肃和青海，将距离矩阵记为南、甘肃和青海，将距离矩阵记为D054321D002125135423801202020624121306324801306711054321.（1）最短距离法：将各省看成一类，即）最短距离法：将各省看成一类，即Gi=i i=1,5,从从D0可以看出各类中距离最短的是可以看出各
35、类中距离最短的是d43=2.20,因此将因此将G3,G4在在2.20水平上合成一个新类水平上合成一个新类G6=3,4,计算计算G6和和G1,G2,G5之间的最短距离之间的最短距离 ，得，得 212ddminD0624ddminD1213ddminD453565423262413161.,.,.,将计算结果作为第一列，从将计算结果作为第一列，从D0中去掉第中去掉第3、4行与行与3、4列，剩余元素作为其余各列得到列，剩余元素作为其余各列得到D11D,52143023.5412.802.21011.6724.06013.12052143,从从D1可以看出可以看出G6与与G5的距离最小，因此在的距离最
36、小，因此在2.21的水的水平上将平上将G6与与G5合成一类合成一类G7，即，即G7=3，4，5计算计算G7与与G1，G2之间的最短距离，得之间的最短距离，得542354230624minDDminD801280121213minDDminD526262516171.,.,.,.,将计算结果作为第一列，从将计算结果作为第一列，从D1中划掉中划掉3，4与与5所在的行与列，剩余元素作为其他列得所在的行与列，剩余元素作为其他列得213,4,5D20671154230812021543.,从从D2可以看出可以看出G1,G2最接近，在最接近，在11.67的水平上合并的水平上合并成一类成一类G8，至此只剩下
37、，至此只剩下G7,G8两类，他们之间的距两类，他们之间的距离为：离为：12.8，故在此水平上将合成一类，包含了全，故在此水平上将合成一类，包含了全部的五个省份。部的五个省份。最后，我们作出谱系聚类图：最后，我们作出谱系聚类图： 图1 最短距离聚类图最长距离聚类方法，同学练习最长距离聚类方法，同学练习例为了研究辽宁等为了研究辽宁等5省省1991年城镇居民生活消费年城镇居民生活消费情况的分布规律，根据调查资料做类型分类，情况的分布规律，根据调查资料做类型分类，用最短距离做类间分类。数据如下：用最短距离做类间分类。数据如下：x1x2x3x4x5x6x7x8辽宁17.9039.778.4912.941
38、9.2711.052.0413.29浙江27.6850.3711.3513.3019.2514.592.7514.87河南39.4227.938.208.1416.179.421.559.76甘肃49.1627.989.019.3215.999.101.8211.35青海510.0628.6410.5210.0516.188.391.9610.81 将每一个省区视为一个样品，先计算将每一个省区视为一个样品，先计算5个省区之间的欧个省区之间的欧式距离，用式距离，用D0表示距离矩阵（对称阵，故给出下三角表示距离矩阵（对称阵，故给出下三角阵）阵）因此将因此将3.4合并为一类，为类合并为一类，为类6，
39、替代了，替代了3、4两类两类 类类6与剩余的与剩余的1、2、5之间的距离分别为：之间的距离分别为： d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21021.251.354.2380.12020.206.2412.13063.2480.13067.11054321543210青海甘肃河南浙江辽宁D 得到新矩阵得到新矩阵合并类合并类6和类和类5，得到新类，得到新类7 类类7与剩余的与剩余的1、
40、2之间的距离分别为：之间的距离分别为： d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54054.2380.1221. 25067.1106.242012.1310652161GGGGGGGGD 得到新矩阵得到新矩阵合并类合并类1和类和类2，得到新类，得到新类8 此时，我们有两个不同的类：类此时，我们有两个不同的类：类7和类和类8。它们的最近距离它们的最近距离d(7,8) =min(d71,d72)=min(12.80,23.54)=12.80067.1154.23208
41、0.121072172GGGGGGD得到矩阵得到矩阵最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离的系统聚类方法。最长距离法类似！离的系统聚类方法。最长距离法类似！080.12807873GGGGD4.2.4 谱系聚类的谱系聚类的MATLAB实现：实现：（1）输入数据矩阵，注意行与列的实际意义；输入数据矩阵，注意行与列的实际意义；（2）计算各样品之间的距离（行？列？）计算各样品之间的距离（行？列？）欧氏距离：欧氏距离：d=pdist(A) % 注意计算注意计算A中各行之中各行之间的距离；间的距离；绝对距离：绝对距离：d= pdist(A,city
42、block);明氏距离：明氏距离：d=pdist(A,minkowski,r); % r要填要填上具体的实数；上具体的实数；方差加权距离：方差加权距离：d= pdist(A,seuclid);马氏距离：马氏距离：d= pdist(A,mahal);注意：以上命令输出的结果是一个注意：以上命令输出的结果是一个行向量行向量，如果要得到距离矩阵，可以用命令：如果要得到距离矩阵，可以用命令： D= squareform(d),若得到三角阵，可以用命令：若得到三角阵，可以用命令： D= tril(squareform(d1)(3) 选择不同的类间距离进行聚类选择不同的类间距离进行聚类最短距离最短距离：z
43、1= linkage(d) % 此处及以下的此处及以下的d都是（都是（2）中算出的距离行向量）中算出的距离行向量最长距离：最长距离：z2= linkage(d,complete)中间距离：中间距离：z3= linkage(d,centroid)重心距离：重心距离：z4= linkage(d,average)离差平方和：离差平方和：z5= linkage(d,ward)注意：此时输出的结果是一个注意：此时输出的结果是一个n-1行行3列的矩阵，列的矩阵， 每一行表示在某水平上合并为一类的序号；每一行表示在某水平上合并为一类的序号；（4）作出谱系聚类图作出谱系聚类图H=dendrogram(z,d)
44、 % 注意若样本少于注意若样本少于30，可以省去，可以省去d,否则必须填写否则必须填写.（5）根据分类数目，输出聚类结果根据分类数目，输出聚类结果T=cluster(z,k) % 注意注意k是分类数目，是分类数目，z是（是（3）中的结果中的结果Find(T=k0) % 找出属于第找出属于第k0类的样品编号类的样品编号例例5. 将例将例1 利用利用MATLAB软件进行聚类软件进行聚类解：解：b=7.939.77 8.4912.94 19.27 11.052.0413.297.6850.37 11.3513.319.25 14.59 2.7514.879.4227.93 8.28.1416.17
45、9.421.559.769.1627.98 9.019.3215.99 9.11.8211.3510.06 28.64 10.52 10.05 16.18 8.391.9610.81;欧氏距离：欧氏距离：d1=pdist(b); %b中每行之间距离中每行之间距离% 五种类间距离聚类五种类间距离聚类z1=linkage(d1); z2=linkage(d1,complete);z3=linkage(d1,average);z4=linkage(d1,centroid);z5=linkage(d1,ward);其中其中z1输出结果为：输出结果为：z1 = 3.0000 4.0000 2.2033
46、6.0000 5.0000 2.2159 1.0000 2.0000 11.6726 8.0000 7.0000 12.7983 % 在在2.2033的水平，的水平，G3,G4合成一类为合成一类为G6% 在在2.2159的水平，的水平，G6,G5合成一类为合成一类为G7% 在在11.6726的水平，的水平，G1,G2合成一类为合成一类为G8 % 在在12.7983的水平，的水平，G7,G8合成一类合成一类 作谱系聚类图：作谱系聚类图：H= dendrogram(z1)% 输出分类结果输出分类结果T=cluster(z1,3)T 1 2 3 3 3 图图2.最短距离聚类图最短距离聚类图结果表明：
47、若分为结果表明：若分为三类，则辽宁是一三类，则辽宁是一类，浙江是一类，类，浙江是一类，河南、青海和甘肃河南、青海和甘肃是另一类。是另一类。 以上是样品之间是欧氏距离，类间距离以上是样品之间是欧氏距离，类间距离是最短距离聚类的结果，实际上，对样品之是最短距离聚类的结果，实际上，对样品之间的每一种距离，可以由五种不同的类间距间的每一种距离，可以由五种不同的类间距离进行聚类。那么哪一种最好呢？离进行聚类。那么哪一种最好呢？为此我们为此我们可以计算复合相关系数，若该系数越接近于可以计算复合相关系数，若该系数越接近于1则该聚类越理想。在则该聚类越理想。在MATLAB中计算复合相中计算复合相关系数的命令如
48、下：关系数的命令如下：R=cophenet(z,d)其中其中，z 是用某种类间距离是用某种类间距离linkage后的结果，后的结果，d是样品之间的某种距离，是样品之间的某种距离， 想了解利用欧氏距离聚类，那种类间距离最想了解利用欧氏距离聚类，那种类间距离最好，可以计算五个复合相关系数：好，可以计算五个复合相关系数： R=cophenet(z1,d1),cophenet(z2,d1),cophenet(z3,d1),cophenet(z4,d1),cophenet(z5,d1)结果为：结果为：0.8413 0.8571 0.8623 0.8622 0.8532 由于由于0.8623 最大，故认为
49、若样品之间采用欧最大，故认为若样品之间采用欧氏距离，则类间距离以中间距离最好，如果我氏距离，则类间距离以中间距离最好，如果我们要找到最理想的分类方法，可以对每一种样们要找到最理想的分类方法，可以对每一种样品之间的距离，都计算上述的复合相关系数，品之间的距离，都计算上述的复合相关系数，这样就可以找到最理想的样品距离与对应的类这样就可以找到最理想的样品距离与对应的类间距离。间距离。a=28 ,18,11 , 21 ,26, 20 ,16, 14, 24 ,22 29, 23, 22, 23, 29, 23, 22, 23, 29, 27 28 ,18, 16, 22, 26 ,22,22 ,24,
50、 24,24;对对a的各列进行聚类，如何计算复合相关系的各列进行聚类，如何计算复合相关系数数d=pdist(a);pdist(a,mahal);pdist(a,cityblock);pdist(a,seuclid);pdist(a,minkowski,0.4);for i=1:5d1=linkage(d(i,:); r1(i)=cophenet(d1,d(i,:);endfor i=1:5d2=linkage(d(i,:),complete);r2(i)=cophenet(d2,d(i,:);endfor i=1:5d3=linkage(d(i,:),average) ;r3(i)=cophe
