1、 22.1.4 二次函数二次函数 的图象和性质的图象和性质yax2bxc函数表达式函数表达式开口开口方向方向增减性增减性对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标2axy caxy22hxaya0,a0,开口开口向上向上; ;a0,a0,a0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小, ,在对称轴右在对称轴右侧侧,y,y都随都随 x x的的增大而增大增大而增大.;.;a0,a0,a= 0,开口向上开口向上; ;对称轴对称轴: :直线直线x=6;x=6;顶点坐标顶点坐标:(6,3).:(6,3).直接画函数 的图象 216212 xxy21直接画函数 的图象 216212 xxy
2、描点、连线，画出函数描点、连线，画出函数 图像图像. .（6,3）Ox5510216212 xxy 36212 xy问题：问题：1.看图像说说抛物线的增减性。 2.怎样平移抛物线 可以得到抛物线 ？216212 xxy216212 xxy221xy 你学会了吗？你学会了吗？ 研究二次函数研究二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象，关键是找到的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用对称轴和顶点坐标。通常利用配方法配方法把二次函数把二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c转化为转化为y=a(x-h)y=a(x-h)+k+k的形式，然后确定抛的形式，然后确定抛物线的开
3、口方向、对称轴和顶点。物线的开口方向、对称轴和顶点。1 用配方法求二次函数用配方法求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa函数y=ax2+bx+c的顶点式 配方法：配方法：2 待定系数法：待定系数法：设yax2bxc可化为可化为 ya(xh)2k而而 ya(xh)2k ax22ahxah2k 2ahb ah2kcab2可得可得 habac442k综上得综上得 yax2bxca(x )2 ab2abac442老师提示老师提示:配方后的表达配方后的表达式通
4、常称为式通常称为配配方式方式或或顶点式顶点式抛物线抛物线yax2bxc （a0）a(x )2 ab2abac442因此，抛物线因此，抛物线yax2bxc 的对称轴是的对称轴是xab2abac442顶点坐标是（顶点坐标是（ ， ）ab2识记识记2yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：步骤：1利用配方法或公式法把利用配方法或公式法把化为化为的形式。的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。右对称描点画图。函数y=ax2+bx+c的顶点式 .4422
5、2abacabxay ），（a4b-ac4a2b-2总结：求二次函数最值，有两个方法总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；用配方法；(2)用公式法用公式法w怎样直接作出怎样直接作出函数函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象? ?w例例2 2 我们知道我们知道, ,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象, ,通过平移抛通过平移抛物线物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象. . w1.1.配方配方: :5632xxy35232xx提取二次项系数3511232xx配方:加上再减
6、去一次项系数绝对值一半的平方32132x整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项. 2132x化简:去掉中括号 相相等，则形状相同。等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；开口向上；例例3抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。开口向下。xya的绝对值越大，开口越小的绝对值越大，开口越小(2)a和和b共同决定抛物线对称轴的位置，由共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线于抛物线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是直线2bxa 若若a，b异号异号对称轴在对称轴在y轴右侧。轴右侧。，故，故若若b0对称轴为对称轴
7、为y轴，轴，若若a，b同号同号对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，xyo(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线yax2bxc与与y轴轴交点的位置。交点的位置。当当x0时，时，yc，抛物线抛物线yax2bxc与与y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点抛物线经过原点；c0与与y轴交于正半轴；轴交于正半轴； c0与与y轴交于负半轴。轴交于负半轴。xy（4）二次函数有最大或最小值由）二次函数有最大或最小值由a决定。决定。 当当x= 时时,y有最大有最大(最小最小)值值ab2abac442y .xy .xx能否说出能否说出它们的增它们的增减性呢？减性呢？1.抛物线上关于对
8、称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。xyO2.x如 果 抛 物 线 交轴 于 两 点 ，那 么 这 两 点 一 定 关 于 对 称轴 对 称 。12123 .xxxxx2，若 设 抛 物 线 上 关 于 对 称 轴 对 称的 两 点 横 坐 标 为，则 抛 物 线+的 对 称 轴 是 直 线2yaxbxc抛物线的对称性2byaxbxcx2a抛物线是以直线 =-为对称轴的轴对称图形，有以下性质： （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的
9、性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 课堂小结课堂小结2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性： 与与
10、y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。
11、轴相离。再见二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0时时,向右平移向右平移;当当 0时向上平移时向上平移;当当 0, abc0, 、2a+b0, 2a+b0, 、a+b+c0,a+b+c0,a-b+c0,、4a+2b+c0,4a+2b+c0,、4a-2b+c0. 4a-
12、2b+c0. 二次函数的几种表达式：二次函数的几种表达式：)0(2aaxy)0(2acaxy)0()(2ahxay)0()(2akhxay)0(2acbxaxy)0)()(21axxxxay)0(44)2(22aabacabxay、(顶点式顶点式)(一般式一般式)(交点式交点式)xyo例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)2ab；(5)abc；(6)
13、abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2
14、ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )
15、(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb92221(0)yaxbxc ab、二次函数的图象如图所示，下列结论c04a+2b+c0,(a+c)其中正确的是（填序号，并说明理由）yox1x=1222222()()x1a+b+c0 x1a-b+c0()()00babc abcabc abcbb (a+c)时，时，即(a+c)(a+c)-211.11.二次函数二次函数y=axy=ax2 2
16、+bx+c(a+bx+c(a0)0)的几个的几个特例：特例：1 1）、当）、当x=1 x=1 时，时，2 2）、当）、当x=-1x=-1时，时，3 3）、当）、当x=2x=2时时. .4 4）、当）、当x=-2x=-2时，时，y= y=y=y=6）、2a+b 0. xyo 1-12 02212baabab5）、b-4ac 0. a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c12.函数函数y=ax2+bx+c(a0)的应用的应用例：某服装公司试销一种成本为每件例：某服装公司试销一种成本为每件50元的元的T恤衫，恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件规定试销时的销售单价不低于成本价
17、，又不高于每件70元，试销中销售量元，试销中销售量y（件）与销售单价（件）与销售单价x（元）的关（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）系可以近似的看作一次函数（如图）（1）求）求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额）设公司获得的总利润（总利润总销售额-总成总成本）为本）为P元，求元，求P与与x之间的函数关系式，并写出自变之间的函数关系式，并写出自变量量x的取值范围；根据题意判断：当的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，取何值时，P的的值最大？最大值是多少？值最大？最大值是多少？4003006070y(件)x(元)解：（1）设y与x之间的函数
18、关为 经过（60，400）（70，300） 解得： y与x之间的函数关系式为（2）P（10 x1000）（x50）当x75时，P最大，最大利润为6250元ykx b6040070300kbkb101000kb 10 1000yx210(75)6250 x13、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值的最大值是是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并且图上，并且图象经过点（象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时
19、，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x前进前进14： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这
20、个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）121212前进前进 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C， A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？
21、1232解解: (2)由由x=0，得，得y= - -抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212前进前进 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)
22、连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2前进前进 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD ：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212前进前进
