1、二、利用对称性的目的二、利用对称性的目的 取半结构，降低超静定次数，即，降低力法方程的阶数。取半结构，降低超静定次数，即，降低力法方程的阶数。一、对称的概念一、对称的概念1. 结构的对称结构的对称(几何、质量、刚度几何、质量、刚度)2. 荷载的对称荷载的对称对称结构对称结构正对称荷载正对称荷载反对称荷载反对称荷载三、取半结构的方法三、取半结构的方法1. 选成对的多余未知力使力法方程自然分组选成对的多余未知力使力法方程自然分组 多余未知力选为对称力（正对称或反对称）就可以多余未知力选为对称力（正对称或反对称）就可以把对称未知力分为两个方程组。其中，正对称未知力一把对称未知力分为两个方程组。其中，
2、正对称未知力一组，反对称未知力一组，方程组得到降阶。组，反对称未知力一组，方程组得到降阶。3次超静定结构次超静定结构X1X2X3选用成对未知力选用成对未知力-广义力广义力作为力法多余未知力作为力法多余未知力X1=11MX2=12MX3=13M观察3个图形，容易得出：021120322303113000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX力法方程力法方程可见，可见，X2可由方程可由方程2 独立求出；独立求出； X1，X3由方程由方程1、3 联立求出联立求出结果：原结果：原3元一次方程化为两个低阶方程元一次方程化为两个低阶方程02222PX00333
3、31311313111PPXXXX2. 对称荷载作用下的半结构对称荷载作用下的半结构 1 1） 正对称荷载，选用成对未知力正对称荷载，选用成对未知力X3=1X1=11MX2=12M3MMP观察4个图形，容易得出：02P01P03P02222PX0033331311313111PPXXXX这样，X2=0，X1、X3不等于零选用成对未知力作为力法多余未知力时选用成对未知力作为力法多余未知力时即，即，在对称截面上，有轴向和弯矩两个约束力，剪切方向在对称截面上，有轴向和弯矩两个约束力，剪切方向约束力为零约束力为零。若多余约束力用支座约束代替，则可把原结构等效为下列结构。若多余约束力用支座约束代替，则可
4、把原结构等效为下列结构。正对称荷在作用在对称结构上正对称荷在作用在对称结构上半结构图半结构图2） 反对称荷载，选用成对未知力反对称荷载，选用成对未知力X1=11MX2=12M3MX3=1MP观察观察4个图形，容易得出：个图形，容易得出：02P01P03P02222PX0033331311313111PPXXXX这样，这样，X2不等于零不等于零，X1=0、X3=0选用成对未知力作为力法多余未知力时选用成对未知力作为力法多余未知力时观察观察4个图形，容易得出：个图形，容易得出：02P01P03P即，即，在对称截面上，轴向和弯矩两个约束力为零，剪切方向约束在对称截面上，轴向和弯矩两个约束力为零，剪切
5、方向约束力不等于零力不等于零。如果多余约束力用支座约束代替，可把原结构等效为下列结构。如果多余约束力用支座约束代替，可把原结构等效为下列结构。反对称荷在作用在对称结构上反对称荷在作用在对称结构上半结构图半结构图结论：对称结构在选用对称的未知力作为力法的多余未知力时，1正对称荷载作用下，只须计算正对称未知力，反对称未知力为零。2反对称荷载作用下，只须计算反对称未知力，正对称未知力为零。3取半结构时，以支座约束等效非零未知力。 （约束要符合约束力）四、四、构造对称荷载构造对称荷载 当给出的对称结构的荷载不对称时，可构造对称当给出的对称结构的荷载不对称时，可构造对称荷载，再取半结构。例如荷载，再取半
6、结构。例如P非对称荷载=+P/2P/2反对称荷载P/2P/2正对称荷载五、构造成对未知力按力法，为两次超静定结构，按力法，为两次超静定结构，取取X X1 1 ，X X2 2 为多余未知力。显为多余未知力。显然，然，X X1 1 ，X X2 2不是对称未知力不是对称未知力（正对称或反对称）。可如下（正对称或反对称）。可如下构造：构造：X1/2X2/2- X2/2- X1/2X1/2X2/2X2/2X1/2Y1Y2Y1Y2式子中，Y1=（X1+X2）/2Y2=（X1 - X2）/2PX1X2Y1Y11MY2Y22M即，图如下作出图、21MM例题1PP+=2P2EIEIEI半结构：正对称荷载半结构P
7、P反对称荷载半结构EIEIEI2EIEI例题2PPP例题3PPP例题4PPEI=常数P例题5PP2EIEI2EIEI2EIPEIEI2EI你能继续吗？你能继续吗？例题6qqPPP例题7例题8P=+P/2P/2正对称荷载P/2P/2反对称荷载P/2P/2反对称荷载P/2P/2P/4P/2正对称荷载P/2PP例题9=P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2+P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2例题9P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2正对称轴P/2P/2P/2P/2例题9P/2P/2P/2P/2P/2P/2反对称轴P/2P/2例题13m3m3m3m56 kN28 kN28 kN28 kN28 kN例题128 kN28 kN28 kN66 kNm半结构弯矩图28 kN28 kN例题128 kN63/2 kNm半结构弯矩图例题1661866/297.534.2518例题24P2a2a4a2EI2EI其余为EI例题26次超静定结构，先取1/2结构4P等价于2P此杆等价无限刚性PP例题22PP再取半结构再取半结构P/2P/2例题2Pa/2Pa/2Pa/2PaPa/2Pa/2PaPa/2
