1、第三章第三章 投影基础投影基础 3-1 投影法概述投影法概述 3-2 三视图的形成及其投影关系三视图的形成及其投影关系 3-3 点的投影点的投影 3-4 直线的投影直线的投影 3-5 平面的投影平面的投影 3-6 直线与平面、平面与平面直线与平面、平面与平面 的相对位置的相对位置3-7 变换投影面法变换投影面法 结束放映结束放映3-1 投影法概述投影法概述 一、投影法基本知识一、投影法基本知识 投影面投射线物体投射中心投影三要素：三要素： a=SAP1. 分类分类中心投影法中心投影法 正投影法正投影法 斜投影法斜投影法 平行投影法平行投影法二、投影法分类及应用二、投影法分类及应用 投射方向投射
2、方向投影法投影法 中心投影法：中心投影法：所有的投射线都交于一个点所有的投射线都交于一个点 平行投影法平行投影法 ：所有的投射线都互相平行所有的投射线都互相平行 90投射方向（1）斜投影法斜投影法：投射线倾斜于投影面：投射线倾斜于投影面所有的投射线都互相平行所有的投射线都互相平行 90投射方向（2）正投影法正投影法：投射线垂直于投影面的投影法：投射线垂直于投影面的投影法 平行投影法平行投影法 ： 投投射中心、物体、投影面三者之间的相射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。对距离对投影的大小有影响。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变
3、。中心投影法中心投影法2. 特性特性 度量性较差。度量性较差。 用于建筑图样中的透视图绘制。用于建筑图样中的透视图绘制。平行投影法平行投影法 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。 度量性较好。度量性较好。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小不改变。小不改变。三、正投影的基本性质三、正投影的基本性质 1. 实形性实形性 2积聚性积聚性 三、正投影的基本性质三、正投影的基本性质 3.类似性类似性 4平行性平行性三、正投影的基本性质三、正投影的基本性质 5定比性定比性6从
4、属性从属性 3-2 三视图的形成及其投影关系三视图的形成及其投影关系 一、一、 三视图的形成三视图的形成 1. 三投影面体系的建立三投影面体系的建立 物体的一个投影不能确定空间物体的形状。物体的一个投影不能确定空间物体的形状。 怎吗办？怎吗办？ 建立三面投影体系建立三面投影体系 2三视图的形成三视图的形成 主视图俯视图左视图3三视图之间的关系三视图之间的关系 （1）三视图的位置关系）三视图的位置关系 （2）三视图之间的投影关系）三视图之间的投影关系 主、俯视图长对正。主、俯视图长对正。 主、左视图高平齐。主、左视图高平齐。 俯、左视图宽相等。俯、左视图宽相等。（3） 视图与物体的方位关系视图与
5、物体的方位关系以主视图为准，以主视图为准，俯视图在主视图的正俯视图在主视图的正下方，左视图在主视下方，左视图在主视图的正右方。图的正右方。主视图：反映上、下和左、主视图：反映上、下和左、右位置关系；右位置关系；俯视图：反映前、后和左、俯视图：反映前、后和左、右位置关系；右位置关系；左视图：反映上、下和前、左视图：反映上、下和前、后位置关系。后位置关系。二、三视图的画法二、三视图的画法例例3-1 画图画图3-15所示立体的三视图。所示立体的三视图。构成分析构成分析 作图：作图： (a) 画底板的三视图画底板的三视图 (b) 画切槽的三视图画切槽的三视图(c) 画立板的三视图画立板的三视图 (d)
6、 加深后的三视图加深后的三视图 3-3 点的投影点的投影一、点的投影规律一、点的投影规律点的正面投影与水平投影的连线垂直于点的正面投影与水平投影的连线垂直于OXOX轴，即轴，即 OX；aa点的正面投影与侧面投影的连线垂直于点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZOZ轴，即轴，即 OZ；aa 水平投影到水平投影到X X轴的距离等于侧面投影到轴的距离等于侧面投影到Z Z轴的距离，即轴的距离，即axazaa = =例例3-3 根据点根据点A和和B的两个投影求第三个投影。的两个投影求第三个投影。 （二求三）（二求三） 求法：求法：长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐宽相等宽相等a :二、点的投影与空间直
7、角坐标的关系二、点的投影与空间直角坐标的关系空间点空间点A到到V面的距离，等于点面的距离，等于点A的的y坐标；即：坐标；即： 空间点空间点A到到H面的距离，等于点面的距离，等于点A的的z坐标；即：坐标；即： 空间点空间点A到到W面的距离，等于点面的距离，等于点A的的x坐标；即：坐标；即： 例例3-4 已知点已知点A(15,10,12)，求作点，求作点A的三面投影图。的三面投影图。 作图步骤如下：作图步骤如下： 3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。 1.自原点自原点O沿沿OX轴向左量取轴向左量取x=15,得点得点 ax2.过过a
8、x作作OX轴的垂线，在垂线上自轴的垂线，在垂线上自ax向下量取向下量取y=10,得点得点A的水平投影的水平投影a向上量取向上量取z=12,得点得点A的正面投影的正面投影a 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前上下、前后、左右后、左右位置关系。位置关系。例例3-5 已知点已知点A的三面投影，又知另一点的三面投影，又知另一点B对点对点A的相对坐标的相对坐标X=-10，Y=5，Z=5，求点，求点B的的三面投影。三面投影。 无轴投影无轴投影AB四、重影点的投影四、重影点的投影 如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时如果空间两点处于
9、某一投影面的同一条投射线上时,就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点重影点。 3-4 直线的投影直线的投影 直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。 求作直线的投影，实际上就是求作直线两端求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影即可。点的投影，然后连接同面投影即可。 一、直线的表示法一、直线的表示法 AB二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性 投影面平
10、行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面1 1投影面平行线投影面平行线 正平线水平线侧平线立体及其三视图投影轴测图直线投影图投影特投影特性：性：在在与线段与线段平行的平行的投影
11、面投影面上，该上，该线段的线段的投影为投影为倾斜的倾斜的线段，线段，且反映且反映实长，实长，其余两其余两个投影个投影分别平分别平行于相行于相应的投应的投影轴，影轴，且都小且都小于实长。于实长。 2 投影面垂直线投影面垂直线 正垂线铅垂线侧垂线立体及其三视图投影轴测图直线投影图投影特投影特性：性：直直线在与线在与其所垂其所垂直的投直的投影面上影面上的投影的投影积聚成积聚成一点，一点，在另两在另两个投影个投影面上的面上的投影分投影分别垂直别垂直于相应于相应的投影的投影轴，且轴，且反映该反映该线段的线段的实长。实长。3一般位置直线一般位置直线 三、直线上的点三、直线上的点 从属性从属性 点在直线上，
12、则点的各个投影必定在该直线的同面投点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。一定在直线上。 已知直线已知直线AB的点的点C的水平投影的水平投影c ，求另两投影，求另两投影 。例例36 已知侧平线已知侧平线AB的两投影和直线上点的两投影和直线上点S 的正面投的正面投影，求水平投影影，求水平投影 。方法一 方法二 定比性定比性 点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。比等于其线段之比。 四、两直线的相对位置四、两直线
13、的相对位置 平行两直线平行两直线 相交两直线相交两直线 交叉两直线交叉两直线 1.两直线平行两直线平行 若空间两直线相互平行，它们的若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行各同面投影也一定互相平行。反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行 。2.两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点交点符合符合点的投影规律点的投影规律；反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影
14、规律，则该两直线在空间也一定相交则该两直线在空间也一定相交 。3两直线交叉两直线交叉交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合不符合点的投影规律点的投影规律。反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。 重影点重影点4两直线两直线垂直垂直一
15、般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断： ABBCABBC(垂直相交)o ox xa aa ab bc cb bc c ABCDABCD(垂直交叉)o ox xaabcdbcd 直角投影定理：直角投影定理：o ox xa aa ab bc cb bc cd dd d证明证明:ABabCDdcQABCD如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行线时，两直线在该投影面上的投影垂直。线时，两直线在该投影面上
16、的投影垂直。3-5 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点abca b c 直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形ACB二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投
17、影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面1投影面垂直面投影面垂直面 正垂面铅垂面侧垂面轴测投影图平面投影图应用举例2 投影面平行面投影面平行面 正平面水平面侧平面轴测投影图平面投影图应用举例3一般位置平面一般位置平面 主视图投射方向例例3-8 分析图所示立体各平面的位置。分析图所示立体各平面的位置。 主视图投射方向(a)立体图立体图 (b)三视图三视图 (1) ABC是是水平面水平面。(2) DEF是是侧垂面侧垂面。(3) 侧面侧面ACDE是是一般位置平面
18、一般位置平面。三、平面上的点和直线的投影三、平面上的点和直线的投影 1. 平面上的点平面上的点 点在平面内的条件是：点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。点在该平面内的一条线上。 2平面上的直线平面上的直线直线在平面内的条件是：直线在平面内的条件是：通过平面内的两点通过平面内的两点或或通过平通过平面内一点并平行于平面内的面内一点并平行于平面内的另一直线。另一直线。 (a) 通过平面内的两点通过平面内的两点 (b) 过平面内一点且平行过平面内一点且平行于平面内的一直线于平面内的一直线例3-9 如图3-39a所示，已知平面ABC上点M的正面投影m ，求点M的水平投影m。 分析：分析： 作图：
19、作图：利用点、线从属关系求出利用点、线从属关系求出M的水平投影的水平投影m。例3-10 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。分析：分析： 作图作图 利用在利用在上取点的方法完成水平投影上取点的方法完成水平投影。BAECI3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直三种情况三种情况:一、平行问题一、平行问题 直线直线与与平面平面平行平行 平面平面与与平面平面平行平行 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平直线与平面平行的几何条件是：行的几何条件是：直线平行于平面直线
20、平行于平面内的一条直线内的一条直线。包包 括括 线面平行问题就归结线面平行问题就归结为为: 面上取线面上取线和和线线线线平行平行的两问题的两问题. .2. 平面与平面平行平面与平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交两相交直线直线对应平行于另一平对应平行于另一平面上的面上的两相交直线两相交直线，则，则这两平面相互平行。这两平面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相互平行，则它们互平行，则它们具有积具有积聚性聚性的那组投影必相互的那组投影必相互平行。平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交问题二、相交问题 直线直线与与平面平面相交相交
21、 平面平面与与平面平面相交相交 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求直线与平面的求直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。判别可见性。当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性积聚性，交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求
22、出另外的投影。的投影。包包 括括 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。解决问题的方法解决问题的方法:分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 例3-11 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 例3-12 求铅垂线MN与一般位置平面ABC的交点 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共交线是两平面的共有线，有线，同时同时交线上的点都是两平面的共有点。交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求两平面的求两平
23、面的交线交线。 若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共有线，求出另外的投影。有线，求出另外的投影。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性判别可见性。解决问题的方法解决问题的方法:我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。例3-13 求铅垂面和一般位置平面的交线 分析：分析：
24、 作图：作图： 判可见性：判可见性： 例3-14 求两正垂面ABC和DEF的交线 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 交线应在交线应在两三角形的公两三角形的公共部分。共部分。三、直线与平面、平面与平面垂直三、直线与平面、平面与平面垂直 1.直线与平面垂直直线与平面垂直一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。对于垂直于特殊位置平面的直线一定为特殊位置直线。当直线垂直于投影面垂直面时，该直线平行于平面所垂直的投影面。我们只讨论直线或平面中至少有一
25、个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。2.平面与平面垂直平面与平面垂直 如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直于该平面。必垂直于该平面。 当两个互相垂直的平面同垂直于一个投影面时，两平面有积聚性的同面投影垂直，交线是该投影面的垂直线。 我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。当空间几何元素相对投影面处于当空间几何元素相对投影面处于特殊位置特殊位置时，可在时，可在投影图中直接反映出投影图中直接反映出实形实形、距离距离、交点交点、位置位置等关系。等关系。3-7 变换投影面
26、法变换投影面法 一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 如何求一般位置如何求一般位置解决方法：解决方法：更换投影面更换投影面。换面法：换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置有利位置，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。二、新投影面的选择原则二、新
27、投影面的选择原则VHAB a b ab1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的解最有利的解 题位置。题位置。 平行平行于新的投影面于新的投影面 垂直垂直于新的投影面于新的投影面2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1a1 b1 （一）换面法的基本投影规律（一）换面法的基本投影规律1点的一次变换点的一次变换 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系X 1 V1H A点的两个投影：点的两个投影：a，a A点的两个投影：点的两个投影：a，a
28、1 新投影体系的建立新投影体系的建立 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1 ax1 = a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。影轴的距离。一般规律：一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。影轴。 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 XVHaa ax更换H面 VHXV1HX1 确定新的投影轴确定新的投影轴; 由点的不变投影向新投影轴作垂线；由点的不变投影向新投影轴作垂线； 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被在垂线上量取
29、一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。代替的投影到原投影轴的距离。aa X1H1V a1axax1ax1更换V面a1 作图规律：作图规律：.2点的二次变换点的二次变换H先把先把V面换成平面面换成平面V1， V1 H，得到中间新投影体系，得到中间新投影体系:V1X1 再把再把H面换成平面面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系，得到新投影体系: X2 V1 H2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1V1a1 ax1H2X2ax2a2 求新投影的作图方法求新投影的作图方法ax2aXVHa2X1HV1X2V1H2 作图规律：作图规律： 依次
30、序更换依次序更换a1 axax1 . a 二、换面法的四个基本问题二、换面法的四个基本问题1将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线例：求一般位置直线例：求一般位置直线AB 的实长的实长用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，AB/V1。空间分析空间分析：新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴/ ab求求 ，换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图方法：作图方法：2将投影面平行线变换成投影面垂直线将投影面平行线变换成投影面垂直线X1轴轴ab 例：将水平线例：将水平线AB变换为投影面垂直线变换为投影面垂直线 空间分析空间分析：用用V1面代替面代替
31、V面，在面，在V1/H投影体系中，投影体系中，ABV1。.换换H面行吗？面行吗？不行！不行！新投影轴的位置？新投影轴的位置？作图方法：作图方法：3将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。变换成新投影面的垂直面。空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取一条投取一条投影面平行线影面平行线，经一次，经一次换面后变换成新投影换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂面变成新投影面的垂直面。直面。两平面垂直需满
32、足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？ 一般位置直线变换成投影一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？面垂直线，需经几次变换？两次！两次！作图方法：作图方法： 思考：思考： 若变换若变换H面，需在面，需在面内取什么位置直线？面内取什么位置直线？正平线！正平线！新投影轴的位置？新投影轴的位置？X1轴轴 cd例例:将一般位置面将一般位置面ABC变为投影面垂直面变为投影面垂直面 4将投影面垂直面变换成投影面平行面将投影面垂直面变换成投影面平行面例例:将铅垂面将铅垂面ABC变为投影面平行面变为投影面平行面 换换V面面,使新投影面使新投影面V1 ABC。X1轴轴abc 空间分析：空间分析：作图方法
33、：作图方法：新投影轴的位置？新投影轴的位置？三、换面法的应用举例三、换面法的应用举例例3-15 试求所示立体上的正垂面P的实形。空间分析：空间分析： 作图步骤：作图步骤： （1）建立投影轴。）建立投影轴。 （2）画出新投影。）画出新投影。 pp例3-16 求点C到正平线AB的距离，并作出其垂线的投影。空间分析：空间分析： 作图步骤：作图步骤： d 如何定？如何定？c d X12.2.在新投影面在新投影面H H上直接求作距离的投影上直接求作距离的投影即反映实长。即反映实长。1.1.将直线变换为投影面垂直线。将直线变换为投影面垂直线。 例3-17 已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最
34、短连线的长度。 解题思路：解题思路：2.2.在新投影面在新投影面H H2 2上直接上直接求作距离的投影即反求作距离的投影即反映实长。映实长。1.1.将两直线之一变换将两直线之一变换为投影面垂直线。为投影面垂直线。 空间分析：空间分析： 作图步骤：作图步骤：4.4.将返回原体系。将返回原体系。ST ST 的投影的投影s s2 2t t2 2。2.2.在投影面在投影面H H2 2 中作公垂线中作公垂线1.1.将两已知直线之一将两已知直线之一CD CD 变变换为投影面垂直线换为投影面垂直线, ,直线直线 AB AB 随之变换随之变换。 距离实长ST ST 的投影的投影s s1 1 t t1 1 。3
35、.3.在投影面在投影面V V1 1 中作公垂线中作公垂线( s1 t1 2 )例3-18 求一般位置平面ABC的真实大小。空间分析：空间分析： 作图步骤：作图步骤： 只有当投影面只有当投影面平行于平行于ABC时，时，ABC在其上的投影在其上的投影才反映真形。才反映真形。 两次变换两次变换!abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k 小小 结结点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线特殊位置直线 与平面的投影特性与平面的投影特性。重点掌握：重点掌握：点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投
36、影特性相对位置的判断方法及投影特性。一、直线上的点一、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。 判断方法判断方法: : 二、两直线的相对位置二、两直线的相对位置 平行平行 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。平行，空间两直线就平行。abcdc a b d 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。cb
37、dd b a c a 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。cabb a c d k kdc abdabcd三、点与平面的相对位置三、点与平面的相对位置面上取点的方法面上取点的方法:baca k b c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解abca
38、 b k c 四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于直线平行于平面内平面内的一条直线。的一条直线。 直线与平面相交直线与平面相交 投影面垂直线与一般位置投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，共有性和直线的积聚性， 采取平面上取点的方法求采取平面上取点的方法求 解解。 一般位置直线与特殊位置一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性，共有性和平面的积聚性， 采用直线上取点的方法求采用直线上取点的方法求 解。解。abcmnc n b a m m(
39、n)bm n c b a ac五、两平面的相对位置五、两平面的相对位置 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交两相交 直线直线分别平行于另一分别平行于另一 平面上的平面上的两相交直线两相交直线， 则这两平面相互平行则这两平面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相 互平行，则它们互平行，则它们具有具有 积聚性积聚性的那组投影必的那组投影必 相互平行。相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e 两平面相交两平面相交 两特殊位置平面相交，分两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交面的两个共有点，求出交 线。线。aabd(e)ebdh(f)cfchabcdefc f d b e a
