1、第八节第八节 常见的二次曲面常见的二次曲面一、椭球面一、椭球面 二、单叶双曲面二、单叶双曲面三、双叶双曲面三、双叶双曲面 四、二次锥面四、二次锥面五、椭圆抛物面五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面六、双曲抛物面称二次方程表示的曲面为二次曲面.一、椭球面所确定的曲面称为椭球面.(1) 1222222czbyax方程截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法称为截痕法. 0, 12222zbyax用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截痕为椭圆.,1222222hzchbyax 当h=c时，截痕
2、为 ，即截痕缩为一点.当|h|c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面z=|h|(|h|c)不相交.02222byax因此椭球面介于 的范围内.czc同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆. 0, 12222yczax 用平行于Oxz面的平面y=h截所给曲面，截痕为椭圆.,1222222hybhczax 当h=b时，截痕缩为一点：当|h|b时，无截痕.因此，椭球面介于 .byb用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆. 0, 12222xczby 用平行于Oyz面的平面x=h截所给曲面，截痕为椭圆.,1222222hxahczby 当h=a时，截痕缩为一点：当|h|a时，无截痕.因此，椭球面介于 .axa
3、二、单叶双曲面由方程(2) 1222222czbyax所确定的曲面称为单叶双曲面. 用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截痕为椭圆.,1222222hzchbyax 不论z=h为何值总有截痕曲线存在，且当|h|越大时，截痕椭圆的长、短轴越大.用Oyz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线. 0, 12222xczby 用平行于Oyz坐标面的平面x=h截所给曲面，得截痕为hxahczby,1222222 当|h|a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴.当|h|=a时，截痕为两条直线. 0 , 0czbyczby 用Oxz坐标面截所给曲面的截痕也为双曲线，其方程为. 0, 12222
4、yczax用y=h的平面截所给曲面的截痕为：.,1222222hybhczax 当|h|b时,截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴； 当|h|=b时，截痕为两条直线.三、双叶双曲面由方程(3) 1222222czbyax所确定的曲面称为双叶双曲面.用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线. 0, 12222zbyax.,1222222hzchbyax用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线无图形.用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为. 0, 12222xczby用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为., 1222222hxahczby 当|h|a时，其图形为椭圆，半轴分别为 和 ；22
5、ahab22ahac当|h|0，q0.利用截痕法可作出其图形.方程六、双曲抛物面确定的曲面为双曲抛物面.(6) ),( 2222同号qpzqypx方程设p0，q0.用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线. 0, 022 . 0, 022zqypxzqypx和用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为., 12222hzqhyphx当h0时，是实轴与x轴平行的双曲线；当h0时，是实轴与y轴平行的双曲线.用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为., 12222hzqhyphx用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线. 0,22ypzx它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线. 0,22xqzy用平面x=h截所给曲面，截痕也为抛物线.它是以z轴为对称轴，开口朝下的抛物线.
