1、这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中 叫做二项式系数), 2 , 1 , 0(nrCrnNnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn,1110一般地，对于任意正整数n一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。.,10nnnnCCC 2.通项公式 式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示。即 rrnrnbaC1rTrrnrnrbaCT1注意： （1）表示第r+1项； （2）通项公
2、式中的a与b的位置不能换. （3）要得到 即在(a+b)n中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a。 3.二项式系数与某项系数的区别： 二项式系数是 ，某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数展出部分。rnCrrnrnbaC第第 项项1r 4.二项式系数的性质 （1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数相等，即 （2）增减性即最大值 （3）二项式系数和为 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1,即 rnnrnCC上是减函数。在上是增函数在,;, 0)(22nCrfnnrn2)()(2maxnnnCfrfn为偶数时，当2121)()()(2121maxnnnnnnCC
3、ffrfn为奇数时，当nnnnnnCCCC221015314202nnnnnnnCCCCCC1若若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则则a0a2a4的值为的值为()A9 B8 C7 D6B2.2.计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn （1）055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x(2)(2)原式原式3若若( )n的展开式中各项系数之和为的展开
4、式中各项系数之和为64，则则 展开式的常数项为展开式的常数项为()A540 B162 C162 D540A4(2010上海春上海春)在在 的二项展开式中，常数的二项展开式中，常数项是项是_答案：答案：60二、题型与方法通项公式中含有通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知个元素，只要知道了其中的道了其中的4个元素，就可以求出第个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程解方程(或方程组或方程组)这里必须注意隐含条件这里必须注意隐含条件n，r均为非负均为非负整数且整
5、数且rn.考点一考点一通项公式的应用通项公式的应用 已知在已知在 的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项为常数项。项。nxx)21(33(1)求求n；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项变式变式 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项93xx【规律小结规律小结】(1)对求指定项、常数项问题，常用对求指定项、常数项问题，常用待定系数法，即设第待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通项是指定项（常数项），利用通项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给出的条件出的条件(特
6、定项特定项)，列出关于，列出关于r的方程的方程(求解时要注意二项求解时要注意二项式系数中式系数中n和和r的隐含条件，即的隐含条件，即n，r均为非负整数，且均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来数，根据具体要
7、求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致致(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项已知已知 的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比 的展开式的二项式系数和大的展开式的二项式系数和大992，求，求 的展开的展开式中：式中：nxx223)（nx) 13 （nxx2)12 （变式变式: :已已知知( )n(nN*)的展开式中第五项的系数与第的展开式
8、中第五项的系数与第三项的系数的比是三项的系数的比是10 1，(1)证明：展开式中没有常数项；证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中含求展开式中含 的项；的项；(3)求展开式中所有的有理项；求展开式中所有的有理项；(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项课堂互动讲练课堂互动讲练1根据二项式系数的性质，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二为奇数时中间两项的二项式系数最大，项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大为偶数时中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同
9、，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r1项系项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得求解此不等式组求得【规律小结规律小结】课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二二项式定理展开式的应用二项式定理展开式的应用 利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题数性质的证明等问题 已知已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：求
10、：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.变式变式: 若若(2x )4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是的值是()A1 B1 C0 D2A【规律小结规律小结】对二项式展开式中系数、系数和问题，常用对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法，赋值法，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0得常数项，令得常数项，令x1可得所有项系数和，令可得所有项系数和，令x1可得奇数可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式次项系数之
11、和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令中含负值项时，令x1则可得各项系数绝对值之和则可得各项系数绝对值之和考点三考点三二项式定理的灵活应用二项式定理的灵活应用 求 的展开式的常数项。10121xx 变式：（变式：（1）求（）求（x2+x+1)13展开式中展开式中x5的系数；的系数； （2）求（）求（2x-1)6(3+x)5展开式中展开式中x3的系数的系数.考点四考点四整除或余数问题整除或余数问题的余数除以求1009192求证：求证： 能被能被7整除。整除。 15151求求 的近似值，使误差小于的近似值，使误差小于 6998. 0001. 0规律方法小结规律方法小结（1）整除性
12、问题，余数问题，主要根据二项式定理的）整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数类问题的最常用技巧。余数要为正整数（2）由）由 ，当，当 的绝对值与的绝对值与1相比相比很小且很小且 很大时，很大时， 等项的绝对值都很小，因此等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：似计算公式： ，在使用这个公
13、式时，要注意按，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：nnnnnnxxxxCCC.1)1 (221xnnxxx,.,32nxxn1)1 (22) 1(1)1 (xnnnxxn这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中 叫做二项式系数), 2 , 1 , 0(nrCrnNnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn,1110一般地，对于任意正整数n一、知识梳理 1.二项式定理二项式定
14、理特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。.,10nnnnCCC这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中 叫做二项式系数), 2 , 1 , 0(nrCrnNnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn,1110一般地，对于任意正整数n一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。.,10nnnnCCC这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，其中 叫做二项式系数), 2 , 1 , 0(nrCrnNnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn,1110一般地，对于任意正整数n一、知识梳理 1.二项式定理二项式定理特点： （1）共n+1有项； （2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2， 3，n个元素的组合数，即 （3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。.,10nnnnCCC
