1、数学方法之化归思想图形的折叠与圆1.掌握掌握“折叠折叠”重要性质，能准确找出折重要性质，能准确找出折叠前后的对应线段和对应角；叠前后的对应线段和对应角； 2.在折叠中能熟练运用圆的性质解决问题在折叠中能熟练运用圆的性质解决问题.A 如图，将如图，将 沿直线沿直线 折叠，得到折叠，得到 .CABABCBll折叠的性质：折叠的性质：.1.折叠前后两个图形的全等折叠前后两个图形的全等,对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等.2.对应点所连的线段被对对应点所连的线段被对称轴垂直平分称轴垂直平分. 圆的定义圆的定义：平面上到定点的距离等于定长：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（的
2、所有点组成的图形叫做圆（circle)。其中，定点。其中，定点称为圆心称为圆心(center of a circle)，定长称为半径，定长称为半径(radius)的长（通常也称为半径），以点的长（通常也称为半径），以点O为圆心为圆心的圆记作的圆记作 O，读作，读作“圆圆O”.or分析分析：1.在折叠的过程中那些是不变的？在折叠的过程中那些是不变的？2.什么时候什么时候AC的值最小？的值最小？2,3,ABCDABADEABFADAEFEFAEFAC如图，在矩形纸片中，点 是的中点，点 是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得到则的长的最小值是多少？AEAEACEA C以 点为 圆 心 ，长 为
3、半 径 作 圆 ， 连 接 CE,当 点在 线 段上 时 ，的 长 取 最 小 值 ，如 图 所 示 ：02211211,3,90210,=CE10 1AEAEABRt BCEABBCBCEBEBCACE 根据折叠可知：在中，BE=的最小值-AA1.找出图形中折叠前后不变的量；找出图形中折叠前后不变的量；3.按照题目要求确定对应点的位置；按照题目要求确定对应点的位置；2.确定折叠图形中的定点作为圆的圆心，长度确定折叠图形中的定点作为圆的圆心，长度不变的线段（定长）作为圆的半径，画出对应不变的线段（定长）作为圆的半径，画出对应点的运动轨迹；点的运动轨迹；1F2F3F4F1,2,ABCDGADGD
4、ABAGEBCEBCGB GEGBEGEGEFEFBE如图，在矩形中，点 在上，且点 是线段上的一个动点（点 不与点 和点 重合），连接将关于直线对称的三角形记作当点 运动到使点 落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段的长为多少？5F6F?2222222,1,5,5.1,2,1.,5(3)1,3AGABBGBGGFGDDFCFRt ECFECCFEFxxx 设BE=EF=x又在中解得：1 解：（ ）如图，当点F落在DC的延长线上时，E 解：（2） 如图，当点F落在BC的延长线上时:2,1,5,5.2AGABBGBGGFBGFGEGEBCABEGAGBE为等腰三角形，又平分 BGF
5、,四边形为矩形，E(3)FAD如图，当点落在延长线上时，2,1,5,/ /,5AGABBGAFBCBEGFGEBGEFGEBEGBGEBEBG 又E(4)FD如图，当点 落在C 延长线上时，0,5,90 ,1,()GGMBCBGGFBAGFDGABGDABGDGF SASBGMDGFGDCNCGBGF 过点 做易证四边形为正方形，在的角平分线上，F点与C点重合.MN( )E(5)F如图，当点 落在DA延长线上时，525 .3综 上 所 述 : B E 的 长 为， 或E求长求长找点找点审题审题画圆画圆1,2,ABCDABADEADBAEBEAAAAE如图，矩形中，点 是上的一个动点，把沿折叠，
6、点 落在 处，如果点 恰在矩形的对称轴上，则的长为多少？1,2,ABCDABADEADBAEBEAAAAE如图，矩形中，点 是上的一个动点，把沿折叠，点 落在 处，如果点 恰在矩形的对称轴上，则的长为多少？2ABAEAEAB分析：易证四边形为正方形，EAA1,2,ABCDABADEADBAEBEAAAAE如图，矩形中，点 是上的一个动点，把沿折叠，点 落在 处，如果点 恰在矩形的对称轴上，则的长为多少？000030 ,60 ,3033tan30133PABPBAABAABEAEAB 如图：PQ为矩形ABCD的对称轴，PQAB,AP=PB,AEDE如图，矩形ABCD中，AD=4,AB=7,点E为
7、DC上一动点，ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D处，若 BCD为等腰三角形，则的长为多少？DE如图，矩形ABCD中，AD=4,AB=7,点E为DC上一动点，ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D处，若 BCD为等腰三角形，则的长为多少？DE(1)DCD B当时：DE如图，矩形ABCD中，AD=4,AB=7,点E为DC上一动点，ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D处，若 BCD为等腰三角形，则的长为多少？CDCB（2）当时：DE如图，矩形ABCD中，AD=4,AB=7,点E为DC上一动点，ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D处，若 BCD为等腰三角形，则的
8、长为多少？DE(3)BDBC当时：30ABCM如图，在等边中，边长为 ，点为线段AB上一动点，将等边 ABC沿过M的直线折叠，折痕与AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且BD:DC=1:4,设折痕为MN，则AN的值为多少？30ABCM如图，在等边中，边长为，点为线段AB上一动点，将等边 ABC沿过M的直线折叠，折痕与AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且BD:DC=1:4,设折痕为MN，则AN的值为多少？ 对于多种可能结果的折叠问题，对于多种可能结果的折叠问题，我们可以利用圆的有关性质将问题我们可以利用圆的有关性质将问题简化，达到事半功倍的效果！简化，达到事半功倍的效果！ 以不变应万变！以不变应万变！
