1、2022年湖南省益阳市高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z，则z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）设xR，则“1x3”是“|2x1|3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3（5分）已知a20.5，blog36，clog48，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCbacDcab4（5分）若，则sin2sincos3cos2（）ABCD5（5分）为迎接新年到来，某中学2020年“唱响时代强音，放飞青春梦想”
2、元旦文艺晚会如期举行校文娱组委会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，则不同排法的种数为（）A36B45C72D906（5分）如图，已知等腰ABC中，ABAC3，点P是边BC上的动点，则（）A为定值10B为定值6C最大值为18D与P的位置有关7（5分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，获胜的人是冠军已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛（）ABCD8（5分）若双曲线C：1，F1，F2分别为左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为PF1F2的内心，A
3、（0，4），则下列说法正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为0B点I的运动轨迹为双曲线的一部分C若|PF1|2|PF2|，x+y，则yxD不存在点P，使得PA+PF1取得最小值二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，行政村通光纤和4G的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络如图是某科研机构对我国20212029年5G用户规模和年增长率发展的
4、预测图，则下列结论正确的是（）A20212029年，我国5G用户规模逐年增加B20222029年，我国5G用户规模后4年的方差小于前4年的方差C20222026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降D20212029年，我国5G用户规模年增长最多的是2022年（多选）10（5分）关于函数f（x）3sin（2x+），下列说法正确的是（）A若f（x1）f（x2）0，则x1x2是的整数倍B函数的递减区间是k+，k+（kZ）C函数图象关于x对称D函数图象关于点（，0）对称（多选）11（5分）函数y+的取值可以为（）ABCD（多选）12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是
5、棱AB，A1B1的中点，点P在四边形ABCD内（包含边界）运动（）A若P是线段BC的中点，则平面AB1P平面DEFB若P在线段AC上，则异面直线D1P与A1C1所成角的范围是，C若PD1平面A1C1E，则点P的轨迹长度为D若PF平面B1CD1，则PF长度的取值范围是，2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13（5分）二项式（）5展开式中含x2项的系数为 14（5分）已知直线l：xy+10，若P为l上的动点过点P作C：（x5）2+y29的切线PA、PB，切点为A、B，当|PC|AB|最小时 15（5分）已知函数f（x），若f（x1）f（x2），且x1x2，则
6、x22x1的最小值为 16（5分）已知数列an中，a11，an+1，若bn，则数列bn的前n项和Sn 四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17（10分）在，（a+2b）cosC+ccosA0，asin，补充在下面的横线上，并解答在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）求角C的大小；（2）若c4，求AB的中线CD长度的最小值18（12分）记Sn为数列an的前n项和，已知4Snan2+2an3，且an0（1）求通项公式an；（2）数列bn的项依次为：a1，2，a2，22，23，a3，24，25，26，a4，27，28，29，210，规律是
7、在ak和ak+1中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列n的前50项的和19（12分）如图，四棱锥PABCD中，ADAB，BD2，PBPD，PA平面BDE，平面PDB平面ABCD（1）求；（2）若三棱锥PBDE体积为，求二面角EBCD的余弦值20（12分）自2019年的11月份开始，新冠肺炎疫情逐渐在全球开始蔓延，目前（1）为有效控制疫情传播，需对特殊人群进行核酸检测，为提高检测效率，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则每人的检测结果均为阴性；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，得到每人的检测结果，检测结束现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，
8、并假设每次检测结果准确，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测试求两名感染者不在同一组的概率（2）2021年12月来，西安市爆发了新冠局部疫情，受疫情影响面”在2022年1月7至11日的网络售量y（单位：百件），得到以下数据：日期x7891011销售量y（百件）1012111220根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以；若不可以，请说明理由（参考数据：3.162参考公式：相关系数r回归直线的方程：x+，其中，21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x1）2+y216，点B（1，0），过B的直线l与圆A交于点C，D（1）求点E的轨迹t
9、的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且222（12分）已知函数f（x）ex（x+1）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1t1lnt2t1t2，若不等lnt1+lnt20恒成立，求实数的取值范围2022年湖南省益阳市高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z，则z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：因为复数zi，则z在复平面内对应的点（，）在第四象限故选：D2（5分
10、）设xR，则“1x3”是“|2x1|3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解答】解：由|2x1|6，解得1x2“3x3”是“|2x8|3”的必要不充分条件故选：B3（5分）已知a20.5，blog36，clog48，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCbacDcab【解答】解：a20.7，b，bca，故选：B4（5分）若，则sin2sincos3cos2（）ABCD【解答】解：由，得，即tan3sin2sincos4cos2故选：C5（5分）为迎接新年到来，某中学2020年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行校文娱组委会要在原定
11、排好的8个学生节目中增加2个教师节目，则不同排法的种数为（）A36B45C72D90【解答】解：不同排法分为两种：2个教师节目相邻与2个教师节目不相邻，所以不同排法的种数为3+90故选：D6（5分）如图，已知等腰ABC中，ABAC3，点P是边BC上的动点，则（）A为定值10B为定值6C最大值为18D与P的位置有关【解答】解：由题意可设，又因为在等腰ABC中，ABAC8，代入式化简得：9x+（4x）9+110故选：A7（5分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，获胜的人是冠军已知甲每场比赛获
12、胜的概率均为，而乙、丙、丁之间相互比赛（）ABCD【解答】解：甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜7胜6胜，故甲获得冠军的概率为故选：D8（5分）若双曲线C：1，F1，F2分别为左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为PF1F2的内心，A（0，4），则下列说法正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为0B点I的运动轨迹为双曲线的一部分C若|PF1|2|PF2|，x+y，则yxD不存在点P，使得PA+PF1取得最小值【解答】解：由题意，双曲线，故A错误；设|PF3|m，|PF2|n，PF1F7的内切圆与PF1，PF2，F4F2分别切于S、K、T1可得|PS|
13、PK|，|FSS|F4T|，|F2T|F2K|，由双曲线的定义可得：mn5a，即|F1S|F2K|F4T|F2T|2a，又|F4T|+|F2T|2c，解得|F5T|ca，则T的横坐标为a，由I与T的横坐标相同，即I的横坐标为a2，故B错误；由|PF1|8|PF2|且|PF1|PF7|2a4，解得：|PF8|8，|PF2|6，|F1F2|6c6，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设PF2F2的内切圆的半径为r，则，解得r，即，由，可得，解得，故，故C正确；若P与P关于y轴对称，则|PA|PA|且|PF8|PF1|，而|PF1|PF4|2a4，|PA|+|PF7|PA|+|PF1|+|PF
14、1|PF7|PA|+|PF1|+4，故要使|PA|+|PF7|的最小，只需A，F1三点共线即可，易知：（|PA|+|PF1|）min5+49，故D错误故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，行政村通光纤和4G的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络如图是某科研机构对我国20212029年5G用户规模和年增长率发展的预测图，则下列结
15、论正确的是（）A20212029年，我国5G用户规模逐年增加B20222029年，我国5G用户规模后4年的方差小于前4年的方差C20222026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降D20212029年，我国5G用户规模年增长最多的是2022年【解答】解：由柱状图知，20212029年，故选项A正确；由柱状图知，20222029年，故后4年的方差小于前4年的方差，故选项B正确；由折线图知，20222026年，故选项C正确；由柱状图知，2022年增长27583.47085.420498.1（万人），而2023年增长65083.327583.537499.9（万人），故选项D错误；故选：ABC（多
16、选）10（5分）关于函数f（x）3sin（2x+），下列说法正确的是（）A若f（x1）f（x2）0，则x1x2是的整数倍B函数的递减区间是k+，k+（kZ）C函数图象关于x对称D函数图象关于点（，0）对称【解答】解：关于函数f（x）3sin（2x+），它的最小正周期为，相邻的6个零点相差半个周期；令2k+4x+，kZxk+，可得函数的递减区间是k+，k+，故B正确；令x，求得f（x）5，可得函数图象关于x，故C正确；令x，求得f（x）3，可得函数图象关于x，故D错误，故选：BC（多选）11（5分）函数y+的取值可以为（）ABCD【解答】解：因为53sinx（106sinx）2x+cos7x）（
17、sinx2）2+cos2x，3cosx（52cosx）2x2cosx+7+sin2x）（cosx1）2+sin8x，所以y+（+），因为sin3x+cos2x1，所以点P（sinx，cosx）在半径为5，0），设定点A（0，7），0）（|PA|+|PB|），当A，P，B三点共线时，即ymin，当P在y轴的最下端时|PA|+|PB|5+，这时y），P在最左边时，y（+，故选：CD（多选）12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别是棱AB，A1B1的中点，点P在四边形ABCD内（包含边界）运动（）A若P是线段BC的中点，则平面AB1P平面DEFB若P在线段AC上，则异面
18、直线D1P与A1C1所成角的范围是，C若PD1平面A1C1E，则点P的轨迹长度为D若PF平面B1CD1，则PF长度的取值范围是，2【解答】解：对于A：因为P、E分别是线段BC，所以ABPDAE，则PABADE，则，所以APDE，又由EF平面ABCD，所以EFAP，所以AP平面DEF，又因为AP平面AB1P，所以平面AB4P平面DEF，即选项A正确；对于B：在正方体ABCDA1B1C4D1中，A1C2AC，所以D1P与A1C3所成的角为D1P与AC所成的角，连接D1A、D8C，则D1AC为正三角形，所以D1P与A7C1所成角的取值范围为，即选项B错误；对于C：设平面A1C1E与直线BC交于点G，
19、连接C7G、EG，分别取AD、DC的中点M，N，连接D1M、MN、D1N，由D8MC1G，所以D1M平面A7C1E，同理可得D1N平面A6C1E，又因为D1MD5ND1，所以平面D1MN平面A8C1E，又由PD1平面A2C1E，所以直线PD1平面D3MN，故点P的轨迹是线段MN，易得，即选项C正确；对于D：取CD的中点N，BB的中点R，连接FN，因为FB1NC，FB8NC，所以四边形FB1CN为平行四边形，所以FNB1C，所以FN平面B7CD1，连接BD、NG，又因为BDB1D8，所以NGB1D1，所以NG平面B8CD1，连接FR、GR1C，且B5CFN，得RGFN，故F、N、G，所以平面FN
20、GR平面B1CD1，因为PF/平面B6CD1，所以PF平面FNGR，所以点P的轨迹为线段NG，由AB2知，连接FB，在RtFBG中，所以，所以FN2NG5+FG2，则，故线段PF长度的最小值为，线段PF长度的最大值为，所以PF长度的取值范围是，即选项D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13（5分）二项式（）5展开式中含x2项的系数为 10【解答】解：二项式的展开式的通项公式为TC，令2，所以x2的系数为C10，故答案为：1014（5分）已知直线l：xy+10，若P为l上的动点过点P作C：（x5）2+y29的切线PA、PB，切点为A、B，当
21、|PC|AB|最小时xy20【解答】解：根据题意，C：x210x+y2+16，其圆心C（4，半径r3四边形PAMB面积S|PC|AB|2SPAC|PA|AC|2|PA|8，要使|PC|AB|最小，则需|PC|最小，则直线PC的方程为yx+5，联立，解得P（2，则以PC为直径的圆的方程为（x）+（y，联立两圆的方程，可得xy23；故答案为：xy2015（5分）已知函数f（x），若f（x1）f（x2），且x1x2，则x22x1的最小值为 42ln2【解答】解：由f（x），可得函数图象如下所示： 因为f（x1）f（x2）且x7x2，所以0x5e且x1+1lnx2，所以x22x3x22（ln
22、x51），令g（x）x2lnx+5，（0xe），则g（x）1，所以当0x6时g（x）0；当2xe时g（x）4，即g（x）在（0，2）上单调递增，e上单调递减，所以g（x）maxg（2）82ln2；故答案为：22ln216（5分）已知数列an中，a11，an+1，若bn，则数列bn的前n项和Sn【解答】解：由an+1，可得an+17，则2+，即bn+12+4bn，所以bn+1+4（bn+），则bn+是首项为b1+，则bn+n1，即bn8n1，所以Snnn7）nn故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17（10分）在，（a+2b）cosC+cc
23、osA0，asin，补充在下面的横线上，并解答在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）求角C的大小；（2）若c4，求AB的中线CD长度的最小值【解答】解：（1）选择条件，由及正弦定理+52+b8c2ab，由余弦定理，得cosC，因为3C，所以C选择条件，由（a+4b）cosC+ccosA0及正弦定理，可得（sinA+2sinB）cosC+sinCcosA6，即sinAcosC+cosAsinC2sinBcosC即sin（A+C）2sinBcosC在ABC中，A+B+C，所以sin（A+C）sin（B）sinB，即sinB4cosCsinB，因为0B，所以sinB0因为0C，所以C
24、选择条件，由asin，可得sinCsinA，因为sinA7，所以sinC在ABC中，A+B+Ccos，故coscos因为4C，所以cos，则sin（2）因为ADC+BDC，所以+，整理可得2CD8a2+b23，在ABC中2a2+b42abcosa2+b2+ab，因为ab，当且仅当ab时取等号，所以16a6+b2+aba2+b7+（a4+b2）（a2+b2），即a6+b2，所以8CD2a2+b382，即CD长度的最小值为18（12分）记Sn为数列an的前n项和，已知4Snan2+2an3，且an0（1）求通项公式an；（2）数列bn的项依次为：a1，2，a2，22，23，a3，24，25，26，
25、a4，27，28，29，210，规律是在ak和ak+1中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列n的前50项的和【解答】解：（1）当n1时，由4Snan8+2an3，得5an4Sn4Sn7（an2+2an7）（an12+7an13），整理得（anan6）（an+an1）2（an+an4），an0，anan15，当n1时，解得a18或a11（舍）数列an是以2为首项，以2为公差的等差数列n3+4（n1）2n+6；（2）数列bn中对应的项ak+1之前总项数为，令，解得k8，当k8时，故bn中的第50项在a9与a10之间数列bn的前50项的和为（a6+a2+.+a9）+（5+22+
26、.+741）242+9719（12分）如图，四棱锥PABCD中，ADAB，BD2，PBPD，PA平面BDE，平面PDB平面ABCD（1）求；（2）若三棱锥PBDE体积为，求二面角EBCD的余弦值【解答】解；（1）连接AC交BD于O，OE，ADAB，CDCB，可得ADCABC，从而可得O是BD的中点，且ACBD，BD7，AO1，PA平面BDE，PA平面PAC，PAOE，；（2）PBPD，POBD，平面PDB平面ABCDDB，OP平面ABCD，VPBDCSBDCOP，VEBDCSBDCOP，VPBDEVPBDCVEBDCSBDCOPBDC228，7，OP3，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标
27、系，则B（5，1，0），7，0），0，2），4，3），（2，6），5，设平面EBC的一个法向量为（x，y，则，即，令x4，z2，平面EBC的一个法向量为（3，3），OP平面ABCD，（0，0，cos，二面角EBCD的余弦值为20（12分）自2019年的11月份开始，新冠肺炎疫情逐渐在全球开始蔓延，目前（1）为有效控制疫情传播，需对特殊人群进行核酸检测，为提高检测效率，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则每人的检测结果均为阴性；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，得到每人的检测结果，检测结束现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确，每组5人，且对
28、每组都采用“5合1”混采核酸检测试求两名感染者不在同一组的概率（2）2021年12月来，西安市爆发了新冠局部疫情，受疫情影响面”在2022年1月7至11日的网络售量y（单位：百件），得到以下数据：日期x7891011销售量y（百件）1012111220根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以；若不可以，请说明理由（参考数据：3.162参考公式：相关系数r回归直线的方程：x+，其中，【解答】解：（1）若两名感染者在同一组，则该组还需从另外的98人中抽取3人，故两名感染者在同一组的概率为，故所求两名感染者不在同一组的概率为；（2）由已知得：，因为|r|6
29、.7910.75，1，可用线性回归模型拟合y与x的关系，则y关于x的线性回归方程为：21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x1）2+y216，点B（1，0），过B的直线l与圆A交于点C，D（1）求点E的轨迹t的方程；（2）过A的直线与t交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且2【解答】解：（1）因为，又因为|AC|AD|4，所以|EB|+|EA|ED|+|EA|AD|4|AB|4，所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分，设椭圆方程为：（ab0），则2a8，2c284，b2a5c23，所以椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，所以y0，所以点E的轨迹的方程为（2）因为直线HG斜
30、率不为4，设为xty+1，设G（x1，y2），H（x2，y2），联立4+4）y2+7ty90，所以36t2+36（3t2+6）144（t2+1）6，所以，SGHN7SOHG，设四边形OHNG的面积为S，则，令，再令，则在1，所以m1时，ymin6，此时t0，取得最小值422（12分）已知函数f（x）ex（x+1）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1t1lnt2t1t2，若不等lnt1+lnt20恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）xex，所以当x（，0），f（x）在 （，当x（0，+），f（x）在（6（2）令x1lnt1，x8ln
31、t2，则，依题意得实数x1，x7满足f（x1）f（x2）且不等式x8+x20恒成立，不妨设x3x2，由（1）知1x30x2+，由不等式 x7+x20 恒成立知x2x1，所以0，又函数f（x）在（6，+）单调递减，又f（x3）f（x2），所以 ，即 ，两边取对数得 对x1（4，0）恒成立，设，则，当1 时，F（x）5对x（1，此时F（x）在（1，故F（x）F（0）2恒成立，当（0，1）时，3），0），此时F（x）在（1，故F（x）F（0）5；综上所述，1，若x1x5，则由（1）知，1x27x1+，则当0时，不等式x6+x20恒成立，当8时，不等式x1+x27x1+x30，由上面的过程可知8，从而1，综上，只有1满足题意，即的取值范围是7第23页（共23页）
