1、光学谐振腔理论研究的精确方法：光学谐振腔理论研究的精确方法：对经典电磁场理论中的波动方程严格求解对经典电磁场理论中的波动方程严格求解 光学谐振腔理论研究的近似方法：光学谐振腔理论研究的近似方法：1. 1. 几何光学几何光学 将光看成光线，用几何光学方法来处理，忽略衍射将光看成光线，用几何光学方法来处理，忽略衍射 2. 2. 矩阵光学矩阵光学 用矩阵代数的方法研究光学问题。用矩阵代数的方法研究光学问题。用变换矩阵来描述光在光腔内的往返传播。用变换矩阵来描述光在光腔内的往返传播。3. 3. 波动光学波动光学 菲涅耳基尔霍夫衍射积分理论菲涅耳基尔霍夫衍射积分理论 光学谐振腔的稳定性光学谐振腔的稳定性
2、 光学谐振腔的模式光学谐振腔的模式 第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式非稳腔模式非稳腔模式3.1 3.1 光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类 （a）闭腔；）闭腔； （b）开腔；）开腔； （c）气体波导腔（半导体腔）气体波导腔（半导体腔）3.1.1 3.1.1 光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类 如果固体激光材料长度远小于腔长，可视为开腔。如果固体激光材料长度远小于腔长，可视为开腔。分类：分类：u 按照腔镜的形状和结构按照腔镜的形状和结构球面腔和非球面腔球面腔和非球面腔u 腔内是否插入透镜之类的光学元件，腔内是否插入透镜之类的光学元件， 或者是否考虑腔镜以
3、外的反射表面或者是否考虑腔镜以外的反射表面简单腔和复合腔简单腔和复合腔u 根据腔中辐射场的特点根据腔中辐射场的特点驻波腔和行波腔驻波腔和行波腔u 根据反馈机理的不同根据反馈机理的不同端面反馈腔和分布反馈腔端面反馈腔和分布反馈腔u 根据构成谐振腔反射镜的个数根据构成谐振腔反射镜的个数两镜腔和多镜腔两镜腔和多镜腔3.1.2 典型开放式光学谐振腔典型开放式光学谐振腔 1.1.平行平面腔平行平面腔: :两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜 激光技术发展历史上最早提出的光学谐振腔，这种装激光技术发展历史上最早提出的光学谐振腔，这种装置在光学上称为法布里置在光学上称
4、为法布里 珀罗干涉仪，简记为珀罗干涉仪，简记为F FP P腔。腔。 这种腔的特点是可以充分利用激活介质，使光束在整个激这种腔的特点是可以充分利用激活介质，使光束在整个激活介质体积内振荡。缺点是活介质体积内振荡。缺点是衍射损耗大，对准精度要求高。衍射损耗大，对准精度要求高。前提：前提：无源腔，即腔内无激活介质。无源腔，即腔内无激活介质。2. 对称共焦腔对称共焦腔组成：组成：两块相距为两块相距为L，曲率半径分别为，曲率半径分别为 和和 的凹面反射镜，的凹面反射镜，且且 。即两凹面镜，曲率半径相同且焦点在腔。即两凹面镜，曲率半径相同且焦点在腔中心处重合。中心处重合。1R2R12RRL这种结构的谐振腔
5、在腔中心对光束有弱聚焦作用；这种结构的谐振腔在腔中心对光束有弱聚焦作用； 对准灵敏度低，易于装调；衍射损耗低。介质利用率低。对准灵敏度低，易于装调；衍射损耗低。介质利用率低。一般共焦腔：一般共焦腔：212RRL 共焦腔：共焦腔：12RRL2.2.共心腔共心腔组成：组成：两块相距为两块相距为L L，曲率半径分别为，曲率半径分别为 和和 的凹面反射的凹面反射镜，且镜，且 。即两凹面镜曲率半径相同且焦点在。即两凹面镜曲率半径相同且焦点在腔内重合。腔内重合。1R2R12RRL 若两反射镜曲率半径相等，则两凹面镜曲率中心在腔若两反射镜曲率半径相等，则两凹面镜曲率中心在腔中心重合，为对称共心腔。中心重合，
6、为对称共心腔。特点：特点：对准精度要求低，装调容易；对准精度要求低，装调容易；衍射损耗低。衍射损耗低。不能充分利用激光介质；不能充分利用激光介质；容易损害腔内器件容易损害腔内器件非对称非对称 对称对称第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式2.2.平凹腔平凹腔组成：组成：相距为相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的的 凹面反射镜凹面反射镜当当 ，称为半共焦腔，称为半共焦腔2RL特点：特点：衍射损耗低，易于装调，成本低，大多数氦氖激光器衍射损耗低，易于装调，成本低，大多数氦氖激光器采用这种腔型。对于固体激光器，可直接在晶体端面采用这种腔型。对于
7、固体激光器，可直接在晶体端面镀膜，成为平面镜。镀膜，成为平面镜。 此外，还有双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，以及由多个反射镜此外，还有双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，以及由多个反射镜构成的折叠腔、环形腔等。构成的折叠腔、环形腔等。模式：模式：谐振腔内可能存在的电磁场本征状态谐振腔内可能存在的电磁场本征状态 （振荡频率和空间分布）（振荡频率和空间分布）纵模：纵模：沿光轴方向的光强分布；沿光轴方向的光强分布；横模：横模：垂直于光轴的横截面上的光强分布。垂直于光轴的横截面上的光强分布。腔的结构腔的结构确定确定模式特征模式特征3.2 3.2 激光模式激光模式 3.2.1 驻波与谐振频率驻波与谐振频率 当激光器处于
8、振荡状态，激当激光器处于振荡状态，激光器内部两个方向传播的光叠加光器内部两个方向传播的光叠加成为满足一定相位条件的驻波。成为满足一定相位条件的驻波。 第三章第三章 光学谐振腔与激光模式光学谐振腔与激光模式频率、振幅、振动方向均相同的两列波在同一直线上沿频率、振幅、振动方向均相同的两列波在同一直线上沿相反方向传播时，相干形成驻波。相反方向传播时，相干形成驻波。0222Lq LL 02qLq 驻波条件：驻波条件：22qccqqLL 谐振条件谐振条件：对于腔内介质分段均匀的情况，例如腔内除激光介质外其对于腔内介质分段均匀的情况，例如腔内除激光介质外其余部分为空气，则有余部分为空气，则有iiLnL 腔
9、长为半波长的整数倍。腔长为半波长的整数倍。2qcqL 整数整数 所表征的腔内纵向稳定场分布所表征的腔内纵向稳定场分布q纵模间隔：纵模间隔：12qqqcL 3.2.2 纵模纵模 由整数由整数 q所表征的腔内纵向的稳定场分布称为激光的纵模。所表征的腔内纵向的稳定场分布称为激光的纵模。q称为纵模的序数，不同纵模相应于不同的称为纵模的序数，不同纵模相应于不同的q值，对应不同的值，对应不同的谐振频率。谐振频率。对于腔内介质分段均匀的情况，对于腔内介质分段均匀的情况，代代替替用用iiLnnL 纵模在频率尺度上是等纵模在频率尺度上是等距离的，腔长越小，纵模距离的，腔长越小，纵模间隔越大。间隔越大。 理想情况
10、下，一个纵模对应一个谐振频率值，实际上由于理想情况下，一个纵模对应一个谐振频率值，实际上由于腔的损耗，腔的损耗， 每一个纵模都具有一定宽度每一个纵模都具有一定宽度: : 满足谐振条件的谐振频率很多，但由于粒子发光的荧光满足谐振条件的谐振频率很多，但由于粒子发光的荧光谱线宽度有限，必须落在荧光线宽内而且满足谐振条件的纵谱线宽度有限，必须落在荧光线宽内而且满足谐振条件的纵模才能形成激光输出。模才能形成激光输出。 由于波长很小，腔长相对很大，整数由于波长很小，腔长相对很大，整数q值很大，即腔内波值很大，即腔内波腹数很多，达数万到数十万个波腹。腹数很多，达数万到数十万个波腹。书中书中P36，例题，例题
11、3-1，例题，例题3-2例：例：HeNe激光器，激光器， ，当，当 和和 时，时， 激光器中分别可能出现几种频率的激光？激光器中分别可能出现几种频率的激光？ （已知（已知Ne原子自发辐射的中心频率原子自发辐射的中心频率 ， 荧光光谱增益线宽荧光光谱增益线宽 ）1 10Lcm 30Lcm 144.74 10/ s 91.5 10FHz 解：解：10Lcm 91.510qHz 一种频率（一种频率（单纵模单纵模）30Lcm 90.510qH z 三种频率（三种频率（多纵模多纵模）F q 1q 1q q 1q 1q 2q 2q 结论：结论：1.工作原子（分子、离子）自发工作原子（分子、离子）自发辐射的
12、荧光线宽辐射的荧光线宽 越大，可越大，可能出现的纵模数越多。能出现的纵模数越多。F 2. 激光器腔长激光器腔长 越大，相邻纵越大，相邻纵模的频率间隔模的频率间隔 越小，因而同越小，因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多。纵模数越多。Lq mx方向节线数方向节线数ny方向节线数方向节线数 谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布。谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布。每一种横模对应一种横向的稳定场分布，用每一种横模对应一种横向的稳定场分布，用 标记，标记，q很很大，通常不写出来。大，通常不写出来。3.2.3 横模横模mnqTEM对于轴对称：对于轴
13、对称：轴对称轴对称：旋转对称旋转对称：对于旋转对称：对于旋转对称：m径向径向节线数节线数n角角向节线数向节线数实际出现的是多种模式的叠加。实际出现的是多种模式的叠加。两种模式叠加两种模式叠加基模：基模：最好的模式最好的模式自再现模（横模）：自再现模（横模）：在腔反射镜面上经过一次往返传播后能在腔反射镜面上经过一次往返传播后能“自再现自再现”的稳定场分布，相对分布不受衍射影响。的稳定场分布，相对分布不受衍射影响。镜边缘的衍射效应：镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。损失能量，引起能量分布的变化。横模的形成横模的形成u 纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分纵模和横模各从一个
14、侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布。分布。 u 不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能能从频率的差异区分它们从频率的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易异较大，很容易从光斑图形来区分从光斑图形来区分。应当注意，不同横模之。应当注意，不同横模之间，也有频率差异，这一点常被人们
15、忽视。间，也有频率差异，这一点常被人们忽视。 选择性损耗选择性损耗（因横模而异）（因横模而异）几何损耗：几何损耗：腔的类型，几何尺寸，横模阶次腔的类型，几何尺寸，横模阶次衍射损耗：衍射损耗：腔镜边缘的衍射效应腔镜边缘的衍射效应非选择性损耗非选择性损耗（与模式无关）（与模式无关）腔镜反射不完全引起的损耗：腔镜反射不完全引起的损耗：透射输出损耗透射输出损耗非激活吸收散射：非激活吸收散射：镜的吸收、散射、透射镜的吸收、散射、透射3.3 3.3 光学谐振腔的损耗光学谐振腔的损耗3.3.1 3.3.1 光腔的损耗光腔的损耗 1.1.损耗的种类损耗的种类 2. 2. 平均单程损耗因子平均单程损耗因子312
16、2222100II eeeI e 123ii 210II e 011ln2II 总损耗因子为腔内各损耗因子之和。总损耗因子为腔内各损耗因子之和。3. 3. 损耗举例损耗举例 （1）腔镜倾斜引起的损耗）腔镜倾斜引起的损耗-可以减小或避免可以减小或避免 由于光往返由于光往返m次后逸处腔外，所次后逸处腔外，所以往返一次损耗为以往返一次损耗为1/m，可求得单，可求得单程损耗因子为：程损耗因子为：DLm221 红色是暗环红色是暗环（3）透射损耗）透射损耗1r2r0I 设两个反射镜的反射率分别为设两个反射镜的反射率分别为 和和 ，则初始光强为，则初始光强为 的光在腔内往返一周，经两个镜面反射后，光强变为：
17、的光在腔内往返一周，经两个镜面反射后，光强变为： 210 1 20rII r rI e 1 21ln2rr r 11r 21r 当当 ， 时，有：时，有： 121(1)(1)2rrr 在实际使用中，一个反射镜为全反射镜，另一个为输出在实际使用中，一个反射镜为全反射镜，另一个为输出镜，则镜，则2)1(21)ln(21Trrr （4）吸收损耗）吸收损耗 一般常用吸收系数来定量描述介质对光的吸收作用。其一般常用吸收系数来定量描述介质对光的吸收作用。其定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数：定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数： dIIdz 介质中不同位置处的光强为：介质中不同位置处的光强为：
18、0( )zI zI e 若吸收系数是均匀的，则光在腔内往返一次后光强衰减为：若吸收系数是均匀的，则光在腔内往返一次后光强衰减为： 210lII e 由此可得，由介质吸收引起的单程损耗因子为：由此可得，由介质吸收引起的单程损耗因子为： l 吸吸2200()mmmIIeI e 0I初始光强；初始光强；mI往返往返m次后的光强次后的光强t时刻往返次数：时刻往返次数：22ttcmLnLc 3.3.2 3.3.2 腔的时间常数和光子的平均寿命腔的时间常数和光子的平均寿命 腔内光子数密度衰减到初始值的腔内光子数密度衰减到初始值的 所用的时间。所用的时间。1/ e腔损耗越小腔损耗越小 越大越大 腔内光子的平
19、均寿命越长腔内光子的平均寿命越长R 品质因数品质因数2EQP 储存在腔内的总能量储存在腔内的总能量单位时间内损耗的能量单位时间内损耗的能量ENh V dEdNPh Vdtdt 腔内振荡光束体积腔内振荡光束体积0RtRRNdNNedt 22RLQc 损耗越小，光子寿命越长，损耗越小，光子寿命越长，Q值越高。值越高。3.3.3 无源腔的品质因数无源腔的品质因数Q值值 1. 1. 光线传播矩阵光线传播矩阵 3.4 光学谐振腔的稳定性条件光学谐振腔的稳定性条件3.4.1 3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示腔内光线往返传播的矩阵表示 2. 2. 光线变换矩阵光线变换矩阵 用矩阵表达式来表示用矩阵表达
20、式来表示近轴光线通过一个光学系近轴光线通过一个光学系统后光线参数的变换规律统后光线参数的变换规律2121rrABCD光线变换矩阵光线变换矩阵列矩阵列矩阵 称为光线在某一截面处的光线矩阵，称为光线在某一截面处的光线矩阵， 有正负有正负之分。之分。 r (1) (1) 均匀介质层的光线变换矩阵均匀介质层的光线变换矩阵101LLT(2) (2) 球面反射镜的光线变换矩阵球面反射镜的光线变换矩阵凹面镜：凹面镜：凸面镜凸面镜：0R 0R 211112(2)()Rrrr 211212rrrR 1021RTR P P2r1r2 1 12212 Lrr(3) (3) 薄透镜的光线变换矩阵薄透镜的光线变换矩阵2
21、1121rrrf 1011fTf 会聚透镜会聚透镜：发散透镜发散透镜：0f 0f rtgrsfss ，利用利用11122常常用用光光学学元元件件的的光光线线变变换换矩矩阵阵2112111( )01rrrLT L 反射：反射：3222322210()21rrrT RR 3343341( )01rrrLT L 反射：反射：5441544110()21rrrT RR r L1M2M11r 22r 33r 44r 55r 3. 3. 光学谐振腔内光线往返传播矩阵光学谐振腔内光线往返传播矩阵 一次往返总变换矩阵：一次往返总变换矩阵：121222121112() ( ) () ( )10101122110
22、101212 (1)222222(1)(1)(1)ABTT R T L T R T LCDLLRRLLLRRLLLLRRRRRR 光线在腔内经光线在腔内经n次往返，变换矩阵为：次往返，变换矩阵为：1111nnnrrrTTTTT sinsin(1)sin1sinsinsinsin(1)nnnnnnABABTCDCDAnnBnCnDnn 1arccos()2AD 1. 稳定性条件稳定性条件(1) 稳定腔：近轴光线在腔内往返稳定腔：近轴光线在腔内往返任意任意多次而不横向逸处腔外多次而不横向逸处腔外1111nnnnnnrA rBC rD 为有限值为有限值nnnnABD、 、C C 、1arccos()
23、2AD 为实数为实数120(1)(1)1LLRR1()12AD稳定性条件稳定性条件3.4.2 3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件 两镜腔适用两镜腔适用（2） 非稳腔：非稳腔：光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外1()12AD即即121g g 或：或：1()12AD 即即120g g （3） 临界腔：临界腔： 1()12AD 1()12AD即即121g g 或：或：即即120g g 稳定腔：光束在腔内多次往返后，其位置仍紧靠光轴；稳定腔：光束在腔内多次往返后，其位置仍紧靠光轴；非稳定腔：光束在腔内多次往返后，从横向逸出腔外；非稳定
24、腔：光束在腔内多次往返后，从横向逸出腔外；临界腔：属于极限情况。临界腔：属于极限情况。 u往返矩阵的计算与顺序、参考面的选取无关往返矩阵的计算与顺序、参考面的选取无关u非稳腔并不意味腔不能稳定工作，只是几何损耗大，在高非稳腔并不意味腔不能稳定工作，只是几何损耗大，在高功率激光器中经常采用。功率激光器中经常采用。2. 稳区图稳区图 腔的参数确定后，在稳区图上有唯一的对应点；腔的参数确定后，在稳区图上有唯一的对应点；稳区图上的一点，并不能单值确定腔的参数。稳区图上的一点，并不能单值确定腔的参数。共焦腔：共焦腔：两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔对称共焦腔：对称共焦腔：
25、两个反射镜曲率半径相等的共焦腔两个反射镜曲率半径相等的共焦腔简并：简并：稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路1RL 2RL F12RRL12120ggg g3.4.3 3.4.3 临界腔临界腔 属于极限情况属于极限情况 1. 对称共焦腔对称共焦腔 特点：特点：任意近轴光线可无限多次往返而不逸出腔外，是最重任意近轴光线可无限多次往返而不逸出腔外，是最重要和最有代表性的一种稳定腔。要和最有代表性的一种稳定腔。轴向光线：闭合轴向光线：闭合非轴向光线：逸出非轴向光线：逸出介稳腔介稳腔12RR 12121ggg g2. 平行平面腔平行平面腔 O1R2RO1R2RO
26、实共心腔实共心腔虚共心腔虚共心腔对称共心腔对称共心腔1R2R12RRL121g g 3. 共心腔共心腔 过公共中心的光线：闭合过公共中心的光线：闭合不过公共中心的光线：逸出不过公共中心的光线：逸出介稳腔介稳腔双调双调Q双波长双波长Nd:YAG/Cr:YAG激光器激光器双波长和频双波长和频-593nm黄光黄光Nd:YAG激光器腔内倍频激光器腔内倍频自锁模飞秒激光器自锁模飞秒激光器几何光学几何光学光线在光腔中的传播、腔的稳定性光线在光腔中的传播、腔的稳定性 物理光学物理光学模式的形成、光场的振幅和相位分布、模式的形成、光场的振幅和相位分布、 衍射损耗衍射损耗谐振腔模式理论的基础谐振腔模式理论的基础
27、 菲涅耳基尔霍夫衍射积分菲涅耳基尔霍夫衍射积分 模式自再现概念模式自再现概念 光的衍射理论光的衍射理论 自再现模所满足的积分方程自再现模所满足的积分方程 任意谐振腔的性质任意谐振腔的性质（场的振幅分布、相位分布、（场的振幅分布、相位分布、 衍射损耗、附加相移）衍射损耗、附加相移） 基本步骤：基本步骤：3.5 光学谐振腔的衍射理论基础光学谐振腔的衍射理论基础3.5.1 3.5.1 自再现模自再现模 自再现模（横模）：经过足够多次的往返传播之后，光场的自再现模（横模）：经过足够多次的往返传播之后，光场的相对分布不再受衍射的影响。自再现模相对分布不再受衍射的影响。自再现模经过一次往返传播后经过一次往
28、返传播后能能“自再现自再现”，即各点振幅按同样比例衰减，各点相对产生，即各点振幅按同样比例衰减，各点相对产生同样滞后。同样滞后。镜边缘的衍射效应镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。损失能量，引起能量分布的变化。开腔中自再现模的形成开腔中自再现模的形成 理想开腔理想开腔孔阑传输线孔阑传输线121( , )( ,)(1cos )4ikSikeux yu xydS 经经j j次渡越后（单程）：次渡越后（单程）：1( , )( ,)(1cos )4ikjjikeux yuxydS 3.5.2 3.5.2 菲涅耳基尔霍夫衍射积分菲涅耳基尔霍夫衍射积分 ,(,)(1cos )4ikSikeu
29、x yu xyds P处的场处的场 可看作是可看作是S上各子波源发出的上各子波源发出的非均匀球面子波非均匀球面子波在在P点的叠加点的叠加 ,u x y应用到谐振腔：应用到谐振腔：3.5.3 3.5.3 自再现模积分方程自再现模积分方程 自再现：自再现：相对稳定（镜相对稳定（镜面上各点场振幅按同样面上各点场振幅按同样比例衰减，比例衰减， 相位发生同相位发生同样大小的滞后）样大小的滞后）11( ,)(,)(1cos)4( ,)(,)(1cos)4.ikjjikjjikeux yuxydSikeux yuxydS j足够大，足够大， 是与坐标无关的常数。是与坐标无关的常数。 以以 表示稳态场分布：表
30、示稳态场分布：( ,)v x y(,)( ,)( ,) (,)( ,)(1cos)4( ,)ikx y xyv x yK x y xyv xydSikeK x y xyx y xy 开腔自再现模应满足的积分方程开腔自再现模应满足的积分方程简化的积分方程（简化的积分方程（本征方程本征方程）：）：(, , , )( ,)( ,) (,)( ,)ikx y xyv x yK x y xyv xydSikK x y xyeL 近似处理：近似处理：),( aRL1cos2L 来回振荡不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。来回振荡不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。分子去掉分子去掉k（3-7
31、1）3.5.4 3.5.4 自再现模积分方程解的物理意义自再现模积分方程解的物理意义 单程损耗：单程损耗：单次渡越相移：单次渡越相移：2221211jjdjuuu 本征方程解本征方程解（不连续）（不连续）本征函数本征函数本征值本征值模：模：镜面上光场振幅分布镜面上光场振幅分布模：模：单程损耗单程损耗幅角：幅角：单程相移单程相移幅角幅角：镜面上光场相位分布：镜面上光场相位分布),(yxvmnmn 复常数复常数 的物理意义的物理意义mn 包括几何损耗和衍射损耗，以衍射损耗为主。包括几何损耗和衍射损耗，以衍射损耗为主。mnjjvv 1argargarg1 谐振条件：谐振条件： 1argmnq 22q
32、 u 自再现模积分方程的自再现模积分方程的本征函数本征函数决定了镜面上不同横模光场的决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。振幅和相位分布。u 本征值本征值决定不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。决定不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。 下面：下面：求解积分方程（第二类弗里德霍姆方程）求解积分方程（第二类弗里德霍姆方程）平行平面腔平行平面腔：迭代法迭代法求近似解求近似解对称共焦腔：对称共焦腔：解析法解析法求精确解求精确解一般方法：一般方法：根据具体问题引入适当坐标系，简化积分方程根据具体问题引入适当坐标系，简化积分方程mnL 2第一项是几何相移，第二项是波振面畸变引起的附加相移，
33、第一项是几何相移，第二项是波振面畸变引起的附加相移，使得谐振频率偏离驻波条件决定的频率。使得谐振频率偏离驻波条件决定的频率。3.6.1 平行平面镜腔的自再现模积分方程平行平面镜腔的自再现模积分方程 22222()()1()()xxyyxxyyLLLL 将将 按按 , , 的幂级数展开：的幂级数展开： ()yyL ()xxL 22442211( , ,)1()()22111()()() ()884xxyyx y xyLLLxxyyxxyyLLLL 3.6 平行平面镜腔的自再现模平行平面镜腔的自再现模22()()( , ,)22xxyyx y xyLLL 22()()22( , )()( ,)xx
34、yyaaikikLLLaaiv x yev xy eL 2222()()()()2222xxyyxxyyik LikikikLLLLLeeee 此方程对此方程对x x，y y两个坐标是对称的，故可分离变量：两个坐标是对称的，故可分离变量：2()22()2( , )( ) ( )( )()( )()x xLy yLaikikLxabikikLybxyv x yv x v yiv xeev x dxLiv yeev y dyL 3.6.2 平行平面腔的数值迭代解法平行平面腔的数值迭代解法 1. FOXLi数值迭代法数值迭代法 迭代公式：迭代公式：1jjuKu dS 若若 已知已知: :1u2132
35、1.jjuKu dSuKu dSuKu dS j j足够大时足够大时: :12111jjjjuuuu 自再现模自再现模本征函数本征函数ju本征值本征值1jjuu 2. 自再现模形成过程实例自再现模形成过程实例: 设条状腔的具体尺寸：设条状腔的具体尺寸： 225 ,100 ,6.25aaLNL 11u 均匀平面波均匀平面波22()2212max( )232( )( )1( )( ).xxaikikLLaxxaikikLLaiuxeeu x dxLuiuxeeux dxL 以一列以一列均匀平面波均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波：作为第一个镜面上的初始激发波： 经过经过1次和次和300次渡越后
36、所得到的振幅的相对分布：次渡越后所得到的振幅的相对分布：特点：特点：对于基模，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振对于基模，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐减小，整个镜面上振幅分布具有偶对称性幅逐渐减小，整个镜面上振幅分布具有偶对称性 经过经过1次和次和300次渡越后所得到的相位的相对分布：次渡越后所得到的相位的相对分布：特点：特点：基模的相位分布曲线不是直线，而是有起伏的曲线，基模的相位分布曲线不是直线，而是有起伏的曲线，说明镜面不是等相面，在镜面边缘处相位产生滞后。因此，说明镜面不是等相面，在镜面边缘处相位产生滞后。因此，严格说来，基模已不仅不是均匀平面波，而且已经不再是严格说来
37、，基模已不仅不是均匀平面波，而且已经不再是平面波了。平面波了。 如果初始场分布不同，得到的稳定自再现模也不同，即得到如果初始场分布不同，得到的稳定自再现模也不同，即得到不同模式。不同模式。1. 单程衍射损耗单程衍射损耗 无论是条形腔或圆形镜平行平面腔，其单程功率损耗的无论是条形腔或圆形镜平行平面腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数。大小都是菲涅耳数的函数。 条形镜平面腔的条形镜平面腔的 N N曲线曲线 （1 1）对于同一横模，对于同一横模， 唯一唯一地由地由N N值决定，且随值决定，且随N N的增大的增大而减小；而减小； 3.6.3 3.6.3 单程衍射损耗、单程相移与谐振频率单程衍射损
38、耗、单程相移与谐振频率 （2 2）菲涅耳数相同时（对菲涅耳数相同时（对于同一于同一N N值），值）， 随横模阶随横模阶次的增大而增大，基模的损次的增大而增大，基模的损耗最低。耗最低。2. 单程相移单程相移 单程总相移为单程总相移为: : kL腔模的腔模的 N曲线曲线 （1 1）对于同一横模，对于同一横模， 唯一地由唯一地由N N值决定，且随值决定，且随N N的增大而的增大而减小；减小； （2 2）菲涅耳数相同时（对于同一菲涅耳数相同时（对于同一N N值），值）， 随模阶次的增大随模阶次的增大而增大，基模的而增大，基模的 最低。最低。 条状腔自再现模的谐振频率：条状腔自再现模的谐振频率： ()2
39、mnmnqcqL1mn可以忽略不计。可以忽略不计。 因此，对于条状腔，自再现模的谐振频率采用公式：因此，对于条状腔，自再现模的谐振频率采用公式： 2mnqqcqL3. 谐振频率谐振频率对称共焦腔对称共焦腔方形镜共焦腔方形镜共焦腔圆形镜共焦腔圆形镜共焦腔解析解解析解自再现模的特征自再现模的特征行波场的特征行波场的特征3.7 3.7 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模1. 自再现模所满足的积分方程式及其解析解自再现模所满足的积分方程式及其解析解积分方程的核：积分方程的核： x xx x + + y yy y（x x, ,y y, ,x x , ,y y ）= = L L- -L L3.7.1
40、 3.7.1 方形镜对称共焦腔：尺寸方形镜对称共焦腔：尺寸 22aa积分方程：积分方程：( , )()(,)xxyyaaikikLLmnmnmnaaivx yevxy edx dyL 22,2 ()2ccXx Yyaaa kacNLL 无量纲变换无量纲变换令：令：( , )()( )1mnmnmnmnmnvx yFX G Y 分离变量后的积分方程：分离变量后的积分方程：1212()()()2( )()()2ikLciXXmmmcikLciYYnnncieFXFX edXieF YG Y edY 角向长椭球函数角向长椭球函数精确解精确解( , )( )( )( ,)( ,)( ,)( ,)( ,
41、)( ,)mnmnomonomomononXYvx yFx G YScScccXxScScacYyScScac m，n取一系列取一系列不连续的整数不连续的整数一系列本征函数一系列本征函数一系列相应本征值一系列相应本征值（自再现模）（自再现模）mnTEM 用厄米高斯函数近似代替本征方程的精确解（条件用厄米高斯函数近似代替本征方程的精确解（条件C或或N很大，该条件是满足的）很大，该条件是满足的）:2222()()( )( )XmmmYnnnFXC HX eG YC H Y e ,mnCC常系数常系数;()mHXm m阶多项式阶多项式22220( 1)()( 1)(2)!(2 )!0,1,2,mmk
42、mXmkmmXkdHXeXkmkdX em 最初几阶厄米多项式最初几阶厄米多项式012233424()1()2()42()812()164812HXHXXHXXHXXXHXXX 将将X X，Y Y换成镜面上直角坐标换成镜面上直角坐标x x，y y，本征函数为：本征函数为：22222()2()( , )()( )()()22()()c xyamnmnmnmnxyLmnmnccvx yFX G YCHx Hy eaaCHx Hy eLL 3-106式式0mn22()0000( , )xyLvx yC e 高斯型分布高斯型分布：模的振幅从镜中心：模的振幅从镜中心（x=y=0 x=y=0）向镜边缘平滑
43、减小。）向镜边缘平滑减小。（1）镜面上光场分布特征）镜面上光场分布特征2. 方形镜共焦腔自再现模的特征方形镜共焦腔自再现模的特征 振幅分布振幅分布(a) 基模：基模：基模光斑半径：基模光斑半径：0sL 基模在镜面上是个圆形亮班，中心部分最亮，向外逐渐减基模在镜面上是个圆形亮班，中心部分最亮，向外逐渐减弱，无清晰的锐边。弱，无清晰的锐边。光强分布：光强分布：2222()000000( )( , )xyLIrvx yCe 振幅降至最大值的振幅降至最大值的 ，或光强下降到最大值的，或光强下降到最大值的 2/1 ee/1半功率点半功率点处光斑尺寸处光斑尺寸：000ln2ln20.588922sssL
44、基模的总功率为：基模的总功率为：包含在包含在“光斑尺寸光斑尺寸”内的功率为：内的功率为：rdrrIPs 22exp20200 PPerdrrIPsss865. 0)1(2exp20202000 可见，在光斑半径内，集中了总功率的可见，在光斑半径内，集中了总功率的86.5%。重要特征：重要特征：（1）共焦腔的光斑半径与反射镜的横向几何尺寸）共焦腔的光斑半径与反射镜的横向几何尺寸无关，只决定于腔长；（无关，只决定于腔长；（2）共焦腔的光斑半径很小，模场主）共焦腔的光斑半径很小，模场主要集中在镜面中心附近。要集中在镜面中心附近。222222002222220022222200222220101010
45、00101010222202020020111111202 2( , )2 2( , )2( , )242( , )4xyssxyssxyssxysxysxysxyssxysvx yCxeCxevx yCyeCyexvx yCeCxevx yCxyeCxye 20.s (b) 高阶横模高阶横模22200022( , )()()sxymnmnmnssvx yCHx Hy e 模沿模沿x方向有方向有m条节线，沿条节线，沿y方向有方向有n条节线。条节线。mnTEN高阶模光斑半径高阶模光斑半径（沿不同坐标分别计算）（沿不同坐标分别计算）002121mssnssmn 基模光斑半径基模光斑半径高阶模光斑半
46、径高阶模光斑半径 相位分布相位分布由自再现模本征函数由自再现模本征函数 的幅角决定的幅角决定( , )mnvx y长椭球函数为实函数长椭球函数为实函数( , )mnvx y为实函数为实函数arg( , )0mnvx y 镜面上各点位相相同镜面上各点位相相同22111mnmnmn 1.1.均匀平面波损耗均匀平面波损耗 平行平平行平面腔损耗面腔损耗 共焦腔损耗。共焦腔损耗。2.2.共焦腔损耗随横模阶数共焦腔损耗随横模阶数m m和和n n而增加而增加3.3.通常尺寸的共焦腔激光器，通常尺寸的共焦腔激光器，基模衍射损耗小到可以忽略，基模衍射损耗小到可以忽略，当菲涅耳数很小（当菲涅耳数很小（N1N1，衍
47、射损耗不起重要作用，采用，衍射损耗不起重要作用，采用几何光学分析几何光学分析方法方法;易获得易获得单横模（基模）单横模（基模）振荡振荡;2.14.2.14.非稳定谐振腔非稳定谐振腔1 非稳腔的基本结构非稳腔的基本结构（1 1）双凸非稳腔双凸非稳腔1200RR 1211gg 121g g 所有双凸腔都是非稳腔所有双凸腔都是非稳腔（2 2）平凸腔）平凸腔一个平面镜和一个凸面镜按一个平面镜和一个凸面镜按任意间距任意间距组成组成平凸腔平凸腔腔长为其二倍的对称双凸腔腔长为其二倍的对称双凸腔120RR 1211gg 121g g （3 3）平凹非稳腔）平凹非稳腔一个平面镜和一个凹面镜组成一个平面镜和一个凹
48、面镜组成120RR 1200gg 120g g 若若1RL （4 4）双凹非稳腔）双凹非稳腔两个曲率半径不同的凹面镜组成两个曲率半径不同的凹面镜组成12RLRL 1200gg 120g g 12120,0RRLRR 121g g 负支望远镜型非稳腔负支望远镜型非稳腔（实共焦型非稳腔）（实共焦型非稳腔）12121222RRLg ggg 120g g （5 5）凹凸非稳腔）凹凸非稳腔1200RLR 120g g 12121222RRLg ggg 121g g 正支望远镜型非稳腔正支望远镜型非稳腔（虚共焦型非稳腔）（虚共焦型非稳腔）非稳腔基模的近似描述非稳腔基模的近似描述非稳腔内存在：非稳腔内存在：
49、唯一一对轴上共轭像点唯一一对轴上共轭像点 及相应的一对几何自再现波型及相应的一对几何自再现波型共轭像点：共轭像点：P1和和P2互为源和像互为源和像自再现自再现：从这对共轭像点中任何一点发出的球面波从这对共轭像点中任何一点发出的球面波 在腔内往返一次后其波面形状保持不变在腔内往返一次后其波面形状保持不变3.9.2 非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型 证明非稳腔轴上一对共轭像点的存在性和唯一性证明非稳腔轴上一对共轭像点的存在性和唯一性假设腔轴线上存在一对共轭像点假设腔轴线上存在一对共轭像点推导其存在条件推导其存在条件非稳腔满足该条件非稳腔满足该条件121212112221212121)1
50、()1(ggggggggLlggggggggLl 112221211211RlLlRlLl 单程放大率：单程放大率：11111alLmal 22222alLmal 往返放大率：往返放大率：12Mm m 3.9.3 非稳腔的几何放大率非稳腔的几何放大率由非稳腔对几何自再波型的固有发散作用造成由非稳腔对几何自再波型的固有发散作用造成能量损耗率输出耦合率能量损耗率输出耦合率（侧面逸出能量为有用输出）（侧面逸出能量为有用输出）3.9.3 非稳腔的能量损耗非稳腔的能量损耗虚共焦非稳腔输出为平面光波。虚共焦非稳腔输出为平面光波。22221221111()aaama 12MM单程能量损耗：单程能量损耗：22
