1、第九章 一元气体动力学基础第一节 理想气体一元恒定流动的运动方程第二节 声速、滞止参数、马赫数第三节 气体一元恒定流动的连续性方程第四节 等温管路中的流动第五节 绝热管路中的流动 对微元流速进行微元分析:恒定一元流动,质量力仅为重力于是:20()02dv d vdvd(9-1)(9-2)1sssdvvvPdsSsdtts dtg上式称为欧拉运动微分方程,又称为微分形式的伯努力方程第一节 理想气体一元恒定流动的运动方程一.气体一元定容流动热力学中定容过程系指气体在容积不变，或比容不变的条件下进行的热力过程。那么定容流动是指气体容积不变的流动，亦即密度不变的流动。 在等于常量下,积分(9-2)式,
2、得2222pvpvggg常量，除以 ，得 常量22112222pvpv(9-3)上式是不可压缩理想流体元流能量方程式,忽略质量力的形式.其方程意义是:沿流各断面上受单位重力作用的理想气体的压能与动能之和守恒,两者并可互相转换. 在元流任取两断面则可列出:(9-4)上式为单位质量理想气体的能量方程式.二.气体一元等温流动热力学中等温过程系指气体在温度T不变的条件下所进行的热力过程.等温流动则是指气体温度T保持不变的流动.2ln2pTRTCvRTp常量，常量111kkkkpCppCcg(9-5) (9-6)三.气体一元绝热流动从热力学中得知，在无能量损失且与外界又无热量交换的情况下，为可逆的绝热过
3、程，又称等熵过程.这样理想气体的绝热流动即为等墒流动,气体参数服从等墒过程方程式:(9-7)(9-8)式中:k-绝热指数, 为定压比热与定容比热之比.pvckc1122211221221121212112kkdpkpCpdpkkpvkpvpvkkkkppvkpgggggg常量常量与不可压缩的理想气体方程比较，（9-12）式多出1一项。从热力学可知，该多出项正是绝热过程k-1中，单位质量气体所具有的内能u。将(9-8)式代入(9-2)式中的第一项并积分:(9-9)(9-10)(9-11)(9-12)上式代入(9-2)式中得出:对任意两断面有:将(9-10)式变化为:证明略:22221212221
4、212222112212222222121212ppppvuiCTvTvviivvc Tc Tnpvnpvpvnnnnggg2p常量，p热力学给出 i=u+，代入（9-13）式便得出用焓表示的全能方程式。vi+常量2又知，则（9-14）式又可写为： c常量常量(9-13)(9-14)(9-15)(9-16)(9-17)(9-18)(9-19)9-1 求空气绝热流动时,(无摩擦损失)两断面间流速与绝对温度的关系,已知:空气的绝热指数1 4287kJRkg K g，气体常数2222221222123.52/2010/2010/2010/kpvkkpvpRTmvmvvm222221222121常量，
5、将 值代入，得常量又因为，代入上式得：v3.5 287m （sK） T+常量2列两断面方程：（sk） T（sk） T解得：（sK） （T -T）+v解:应用第二节声速、制止参数、马赫数一、声速流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。传播速度的快慢，与流体内在性质-压缩性（或弹性）和密度有关。微小扰动在流体中的传播速度，就是声音在流体中的传播速度，以符号表示c声速。取等断面直管，管中充满静止的可压缩气体。活塞在力的作用下，有一微小速度向右移动，产生一个微小扰动的平面波。声速传播物理过程波峰所到之处，液体压强变为，密度变为，波峰未到之处，流体仍处于
6、静止，压强、密度仍为静止时的p，d设管道截面积为，对控制体写出连续性方程：cAd vcEcCd ppkk R Tdd ppckk R Tdk（c - d v ）（+ d）Ad应用气体等熵过程方程式p展开：由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出：微分上式：（）（）（）（）代入得气体声速公式：二、滞止参数22222201121122,.(928):112pkkpvkkkkvRTRTkkviickRTckRTccvkk 又因称为当地声速 则称为滞止声速代入式中得滞止参数以下标“0”表示。断面滞止参数可根据能量方程及该断面参数值求出：（9-28）（9-29）（9-30）三、马赫数Ma，即气流本身速度大
7、于声速，则气流中参数的变化不能向上游传播，这就是超声速流动，气流本身速度小于声速，即气流中参数的变化能够各向传播，这就是压声速流动数是气体动力学中一个重要无因次数，它反应了惯性力与弹性力的相对比值如同雷诺数一样，是确定气体流动状态的准则数马赫数Ma取指定点的当地速度v与该点当地声速c的比值；四、气体按不可压缩处理的极限具体计算见课本上。第三节 气体一元恒定流动的连续性方程1122220001v Av AvdAvAdAdvdvddAvAvdvdpvMadcdvMav12第三章已给出了连续性方程 vA=常量对管流任意两断面，有 为了反映流速变化和断面变化的相互关系，对上式微分：dvA或dp根据（9
8、-1）式，有 消去密度 ，并将c，代入，则可将（9-40）式表为断面dAA与气流速度v之间的关系式 A这是可压缩流体连续性微分方程的又一形式。一、连续性微分方程：二、气流速度与断面的关系讨论（9-41）式，可得下面重要结论：()Ma11010,dvdAdvdA 22一为亚声速流动，v1为超声速流动，vc式中Ma与正负号相同，说明速度随断面的增大而加快；随断面的减小而减慢（如图9-5（b）为什么超声速流动和压声速流动存在着上述截然相反的规律呢？ 从可压缩流体在两种流动中，起膨胀程度与速度变化之间关系说明：（三）Ma=1即气流速度与当地声速相等，此时称气体处于临界状态。气体达到临界状态的断面，称为
9、临界断面。第四节 等温管路中的流动222202220fdl vdldhDvdvV dlDdpdvdlvvDD微段 上的单位质量气体摩擦损失为将上式加到理想气体一元流动的欧拉微分方程，便得到了实际气体的一元运动微分方程，即气体管路的运动微分方程式：dp或写为：其中， 是摩擦阻力系数； 是一个常数； 是温度的函数；等断面管道，A是常数。一、气体管路运动微分方程二管中等温流动根据连续性方程，质量流量 为：111222111111112211122225252212111 61 6mmmmQv AvAv AvvppR TCpppvpvplvvplR T QpDDQQpplR T121等 温 流 动 有
10、 ：则代 入 （ 9 - 4 6 ） 式 ， 于 是 ：又 可 导 出 ：对 长 度 为的、 2 两 断 面 进 行 积 分 ：结 论 ： p求 得为 ：(9-46)(9-48)(9-54)(9-55)三、等温管流的特征气体管路运动微分方程：22020/200dpvdvv dlDdpvdvvdlppDddTdpddTTpdAdvddpdvvpvpk 2p， 将 上 式 各 项 除 以得 ：完 全 气 体 状 态 方 程 式 的 微 分 形 式 为 ：dp等 温 时 有，p连 续 性 微 分 方 程 式 当 断 面 不 变 时， 则 为 ：d， 由 上 两 式 得由 声 速 公 式 ： c（9-
11、56）（9-57）将上三式代入（9-56）式中得：2222222220221211101101dvdvdlkMakMavvDdvkMadlvDkMadpdvkMadlpvDkMakMavpkMakMavp22又可得出：讨论上两式：1、当l增加，摩阻增加，将引起以下结果： 当kMa，使 增加， 减少。 当，使 减少， 增加。 变化率随摩阻的增大而增大。2、虽然在kMa时，摩阻沿程增加，使速度不断增加，由211kMaMak于不能等于零，使流速无限增大，所以管路1出口断面上Ma数不可能超过，只能是。k1116231009802030/12015.7 10/30/0.RealDmmpkPtCvm sC
12、msvdm s1、在Ma=的 处求得的管长就是等温管流的最大管长，如实长k超过最大管长，将使进口断面流速受阻滞。例9-4 有一直径的输气管道，在某一断面处测得压强，温度，速度。试问气流流过距离为l=100m后，压强降为若干？解、空气在时，查得运动黏度为计算出雷诺数：5622211211.92 10 232015.7 10/0.01550.0155 10030/198018900.1287 /29398089090mmsmm slvpkPakPaDRTmJkg KKpkPakPakPa21故为紊流，采用，应用公式有：p相应的压降 p=p1(2)9802130 /33 /1890121.4 287
13、 /293343 /33 /0.096343 /110.8451.41MakppkPavm sm sppkPackRTJ kg KKm svm sMacm skMak 校核是否，从（9-48）式得：v2，所以 vv21所以这说明计算有效,也说明此时管路实长l=100m小于最大管长.第五节 绝热管路中的流动 工程中有些气体管路，往往用绝热材料包裹；有些管路压差很小，流速较高，管路又较短，这样可以认为气流对外界不发生热量交换。这些管路可近似按绝热流动处理。202vdvv dlDll02mdp应用（9-44）式，有绝热流动时是随温度变化的，但可以取其平均值 ：dl=实际中仍可用不可压缩流体的 近似。
14、Q又v=，代入上式，并用v 除之得：A一、绝热管路运动方程一、绝热管路运动方程有摩阻绝热流动有摩阻绝热流动,如前述仍可应用无摩阻绝热流动的方程式如前述仍可应用无摩阻绝热流动的方程式,但需要加上摩阻损但需要加上摩阻损失项失项.正如第三张实际液体伯努利方程推求一样正如第三张实际液体伯努利方程推求一样,是在理想伯努利方程之中加入是在理想伯努利方程之中加入损失项损失项.(9-60)22111111220111221221112021 202ln121kkpvlkkpvmkkmkkkkkkdvCpdpdlvDlAdvCp dpdlQvDQkvCpplkAvDkpCk22mk+12mk1AQ将上式对长度
15、的 、两断面进行积分得：在实际应用中，认为对数项较摩擦损失项小，可忽略。上式变为：lQp21121121121kkkkmkDAkQpplk2DA质量流量公式为：(9-61)(9-62)(9-63)(9-64)二、绝热管流的特性如同讨论等温管流一样，应用（9-56）式及其它式：2212222222220/20/2/022121kkkdpvdvvdlpppDddvpckvpCpCdpC kddpdkpdvvdvdlvkvckD ckdvddlkkMakMavDdvdlvDdvMadlvMaDkMadlMa 22，再用等熵过程方程式：；所以得（k-kMa ）=kMa所以dp或-p2D021,10,1
16、vpMaMav讨论（9-65）、（9-66）式：（一）当l增加，摩阻增加，将引起下列结果：2Ma1，1-Ma， 增加， 减小。减小,p增加。变化率随摩阻的增加而增加。（二）Ma1时摩阻增加，引起速度增加。正如等温管流一样，在管路中间绝不可能出现临界断面。至出口断面上，Ma数2只能是Ma。（三）在Ma=1的l处求得的管长就是绝热管流动的最大管长。如管道实长超过最大管长时与等温管流相似，将使进口断面流速受阻滞。49 5169.18 10100.3/3.012111111121.4287/276 162890.3 1.41CPaDcmMappvvMavMa kRTkRTkRmKKV 例空气温度为，在
17、压力下流出，管内径 为的保温绝热管道。上游马赫数，压强，求管长，并判断是否为可能的最大管长。解 （1）从马赫数Ma 求12空气，（s K），T，1于是得：2287/102 /0.000466 21615.3 10/102 /0.156.7 106 215.3 10/0.0175mm sCmsm smms2（s K）289KK（2）钢管 K=0.0046cm，当D当时，空气，有vDRe=可从第四章莫迪图查得11211211122521211122252121 1112211 1121181148121kkkkkkkmkkDAkpplkpppDkQlkRTpppDkvDlkRTppDkvlkRT2
18、m（3）应用绝热管流公式（9-64），有Q此式又可变为：12143112212.4241.423221109.811.183/287/2891090812 0.11.411.183/102/10.0752.43287/28945kkppPapkg mRTmsKKPamkg mm slmsKKlm于是解得2221 1321 12222211221142432/1.183/102/120.666/120.666/12121109.81109.81102/33.53.51.183/2120.666/vcvvvkg mm skgmskgmsvpvpvkkkkPaPam skg mkgm2（4）判定是否为最大管长，求Ma从绝热伯努利方程及流量求得应用伯努利方程，有222222232422222295438.686948.4862272.4/120.666/0.443/272.4/1109.8131.4321.5/0.443/272.4/0.847321.5/1,vsvvvm skgmskg mm sPacm skgmsm sMam sMa2求解取正值,得 v所以此管长不是可能的最大管长。
