1、n本课程是桥隧专业硕士研究生的专业课。n它是在本科桥梁工程的基础上对内容进行深化。n着重介绍一些设计公式和规范条文的理论依据。n使学生能从原理上和从问题的本质上去认识桥梁结构的受力特性和性能，为今后从事桥梁工程研究工作打下基础，并掌握基本的研究方法。n本课程将研究箱梁计算理论，包括箱梁的弯曲、扭转、畸变等方面设计计算分析方法。 n截面抗扭刚度大，结构在施工与使用过程中都具有良好的稳定性；n顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并满足配筋的要求。适应具有正负弯矩的结构，如连续梁、斜拉桥、拱桥的拱肋和悬索桥加劲梁等；n适应现代化施工方法的要求，如悬臂施工法、顶推法等；n承重结构与
2、传力结构相结合，使各部件共同受力，经济效果良好，同时截面效率高，适合预应力混凝土结构空间布束，经济效果优秀；n适合于修建曲线桥；n箱形截面属薄壁结构，除受力钢筋外，还需配置大量构造钢筋，这对于中等跨径的桥梁，有时会导致用钢量比工字形或T形截面增多。n对于大跨径桥梁，由于箱形截面乃实腹式梁，比起空腹式的桁架式结构自重大。而减轻自重是大跨径桥梁的重要课题，因而在设计时必须采取措施减轻自重，以节省材料，使造价经济。 近年来由于三向（即纵向、横向、竖向）预应力的应用，可采用薄壁、少肋的所谓宽箱截面，以收到良好的经济效果。 箱形截面早期应用于普通钢筋混凝土悬壁梁桥和连续梁桥，一般采用在支架上现浇施工。
3、近代由于预应力混凝土的发展，同时由于现代施工技术的进步，箱形截面更加广泛应用于各种现代桥梁，而且一般采用无支架施工。 据统计，当跨径大于60m后，除极少数外，其横截面大多为箱形截面，其结构形式有简支、悬臂、刚构、连续梁等。1、简支梁一般采用预制安装，单箱或多箱截面形式，公路桥梁最大跨径达76m；铁路桥梁则采用单箱单室等高梁，跨径一般在40m以内。2、悬臂梁桥、刚构桥以及连续梁桥一般采用悬臂施工法。连续梁桥还可采用项推法施工。这些施工方法都充分发挥箱形截面的优越性。大跨径梁式桥多采用变高度梁，其最大跨径已达330m。3、在城市高架桥中，采用梯形单箱单室截面与单柱墩配合，具有外形简洁、美观，桥下通
4、视良好的优点，得到广泛应用。城市高架桥箱形截面形式4、在现代斜拉桥中，也广泛应用箱形截面，特别是采用单索面时，由于箱形截面的主梁抗扭刚度大，有利于承受偏心荷载，而且也便于拉索与主梁的连接。采用三角箱的斜拉桥具有风动力性能良好的优点。5、在拱式桥梁中，大跨径的钢筋混凝土拱桥大都采用箱形截面。由于箱形截面中和轴居中，能抵抗相等的正负弯知，适应拱中各截面正负弯短的变化；抗扭刚度大，拱中应力分布较均匀；施工中稳定性好，有利于单片成拱，便于无支架施工。拱圈截面形式可以是多箱组合，也可以用单箱式。1、顶板： 除承受结构正负弯矩外，还承受车辆荷载的直接作用。在以负弯矩为主的悬壁梁及T形刚构桥中，顶板中布置了
5、数量众多的预应力钢束，要求顶板面积心须满足布置钢束的需要，厚度一般取2428cm。2、底板 主要承受正负弯矩。当采用悬臂施工法时，梁下缘承受很大的压应力，特别是靠近桥墩的截面，要求提供的承压面积更大；同时在施工时还承受挂篮底模板的吊点反力。在T形刚构桥和连续梁桥中，底板厚度随梁的负弯矩塔大而逐渐加厚。 承受截面剪应力及主位应力，并承受局部荷载产生的横向弯矩，其厚度还须满足布置预应力筋及浇筑混凝土的要求，以及锚固锚头的需要，一般厚度为30-50cm，大跨径桥梁可采用变厚度。4、梗胁 顶板、底板与腹板交接处设使梗胁，其作用是： （1）提高截面抗扭刚度，减少畸变应力； （2）使桥面板支点加厚，减少桥
6、面板跨中弯矩； （3）使力线过渡平缓，避免应力集中； （4）提供布置纵向预应力钢束的面积。箱形截面的预应力混凝土结构一般配有预应力钢筋和非预应力向普通钢筋。 1、纵向预应力钢筋： 2、横向预应力钢筋： 3、竖向预应力钢筋： 4、普通钢筋： 箱形截面配筋示意图两层钢筋网横向预应力筋纵向预应力筋竖向预应力筋两层钢筋网作用在箱形梁上的主要荷载是恒载与活载。恒载一般是对称作用的，活载可以是对称作用，但更多的情况是偏心作用的，因此，作用于箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析； 在偏心荷载作用下，箱形梁将产生纵向弯曲、扭转、畸变及横向挠曲四种基本变形状态： 纵向弯曲刚性扭转畸变横向挠曲箱梁在偏心
7、荷载作用下的变形状态产生竖向变位，在横截面上起纵向正应力及剪应力。 对于肋距不大的箱形梁，正应力按初等梁理论计算，当肋距较大时，会出现所谓“剪力滞效应”。即翼板中的正应力分布不均匀，近肋翼板处产生应力高峰，而远肋翼板处则产生应力低谷，这称为“正剪力滞”；反之，如果近肋翼板处产生应力低谷，而远肋翼板处则产生应力高峰，则为“负剪力滞”。对于肋距较大的宽箱梁，这种应力高峰可达相当大比例，必须引起重视。 刚性扭转即受扭时箱形的周边不变形。扭转产生扭转角。分自由扭转与约束扭转。 （1）自由扭转：箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的，杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，能自由翘曲，因而不产生纵
8、向正应力，只产生自由扭转剪应力 。 （2）约束扭转：受扭时纵向纤维变形不自由，受到拉伸或压缩，截面不能自由翘曲。约束扭转在截面上产生翘曲正应力 和约束扭转剪应力 。 产生约束扭转的原因：支承条件的约束，如固端支承约束纵向纤维变形；受扭时截面形状及其沿梁纵向的变化，使截面各点纤维变形不协调也将产生约束扭转。如等厚壁的矩形箱梁、变截面梁、设横隔板的箱梁等，即使不受支承约束，也将产生约束扭转。Kww畸变的主要变形特征是畸变角 。薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。畸变产生翘曲正应力 和畸变剪应力畸变还会引起箱形截面各板的横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力 （纵截面上）。dtdwd
9、w箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分析外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除直接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定结构，因而引起其它各部分也产生横向弯曲。图2-5表示箱形截面在顶板上作用车辆荷载，在各板中产生横向弯矩图。这些弯矩在各板的纵截面上产生横向弯曲正应力 及剪应力。图2-5 局部荷载作用下 横向弯矩图c在横截面上：纵向正应力： 剪 应 力：在纵截面上: 横向弯曲正应力： dwwMzdwwMKcdts 在预应力混凝土梁中，跨径越大，恒载占总荷载比例就越大。 一般地，由于恒载产生的对称弯曲应力是主要的，而由于活载偏心所产生的扭转应力是次要的。 如果箱
10、壁较厚，或沿梁的纵向布置一定数量的横隔板，限制箱形梁的畸变，则畸变应力也是不大的。但对于少设或不设横隔板的宽箱薄壁梁，畸变应力不可忽视。 板的横向应力对于顶板、肋板及底板的配筋具有重要意义，必须引起重视。 现代工程结构广泛使用薄壁结构，特别是桥梁工程，从特大跨径的悬索桥、大跨径斜拉桥，到中小跨径的连续梁桥，甚至简支梁桥等，多采用箱形截面的薄壁结构或桁架形式的薄壁杆件。主要有美国式和英国式两种形式悬索桥：n 美国式悬索桥采用钢桁架加劲梁.明石海峡桥 日本费雷泽诺桥 美国 1964年建成金门大桥 美国 1937年建成n英国式悬索桥采用钢箱梁。塞文桥 英国1966年建成恒比尔桥 英国 1981年建成
11、润扬大桥 2005年建成泰州长江大桥主梁多采用预应力混凝土或钢结构箱形截面。日本多多罗大桥苏通长江大桥挪威Skarnsund桥武汉长江二桥武汉长江二桥多采用预应力混凝土箱梁作主梁。广东虎门大桥辅航道广东虎门大桥辅航道 苏通长江大桥辅航道 薄壁杆件在弯扭变形时，其正应力和剪应力分布及大小与通常的实体截面杆件差别很大，且开口截面与闭合截面杆件在相同受力情况下其正应力和剪应力也大不相同。因此，有必要对开口截面和闭合截面杆件分别加以讨论。 坐标系有两种，如图3-1所示。 n一 固定坐标系 xyz：以截面某一特定点（如形心）为原点O，取杆件轴线为z 轴，坐标轴正向符合右手法则；于是截面上任意点p的位置可
12、表示为p(x,y,z). n二 动坐标系 nz：以截面上任意点p为原点，z轴平行于杆件轴线， 为p点处截面中线的切线，n为相应的外法线，三者之间也符合右手法则。于是截面上任意点p的位置可表示为p(n, ,z). 图3-1 二种形式坐标系yxyzooxn杆件的宽度与长度之比（d/l）和壁厚与宽度之比（t/d）均小于（或等于）0.1。即假定杆件变形后横截面仍保持为平面，据此，截面上任一点P(x,y)的纵向应变为：式中: a, b, c 为待定常数即应力与应变呈线性关系，满足虎克定律： （3-2） 其中：E，G为弹性常数，将式（3-1）代入上式便有： （3-3） 表明杆件横截面上的正应力也呈线性分布
13、。 cybxayx),(, E G)(cybxaE即忽略杆件变形引起的二次力的影响，与假定“2”相联系，表明本讨论限于线弹性分析，因此适用叠加原理。据此，单位周边中线长度上的剪力流 q(z,s) 可用剪应力(z,s) 与壁厚 t(s) 的乘积来表示。 即 q(z,s) = (z,s) t(s) 或：q =t （3-4） 在研究弯曲变形时，假定无扭矩作用，且轴向力沿杆件长度无变化（N =常数）或等于零。 取截面形心C为原点，建立xyz坐标系如图所示，现以静力学条件确定式（3-1）中的待定常数 a、b、c。图3-2 cybxayx),(Mxs=s0Bx,uOsdAPy,vMyzNdsdztssdd
14、zz上述各式中的积分仅与截面形状和尺寸有关，分别表示截面的几何特性。其中： 截面积 截面对x轴的静矩)ddd(d0)ddd(d0)ddd(d022AAAAyyAAAAxxAAAAAxycAxbAxaEAxMmAycAxybAyaEAyMmAycAxbAaEANzAAAdxASAydyASAxdxAIAyd2截面对x轴的惯性矩截面对y轴的静矩 (3-6)yAIAxd2截面对y轴的惯性矩xyAIAxyd截面对xy轴的惯性矩 注意到坐标系以截面形心为原点，因此有 ， 。将以上各式代入式（3-5），解方程组得：0dxASAy0dyASAx)()(22xyyxxyyyxxyyxxyxxyIIIEIMIM
15、cIIIEIMIMbEANa（3-7）式（3-7）代入式（3-3），有： （3-8） yIIIIMIMxIIIIMIMANxyyxxyyyxxyyxxyxxy22xMyM为分别表达、的作用，上式可改写为： yxyyxxyxxxyyxxyyMIIIyIxIMIIIxIyIAN22（3-9） 则得到Mx、M y的作用下的中性轴方程：xIMIMIMIMyxyyyxxyxxy2、仅有竖向弯矩作用时， 0 xM0,yMxxyyxxyyMIIIxIyI23、同理当仅有横向弯矩作用时， 0My0,MxyxyyxxyxMIIIyIxI2 可见，一般情况下，作用在yz平面的弯矩 Mx产生的弯曲正应力不仅与 y有
16、关，同时也与 x有关。即正应力不对称于y轴。可以证明其挠曲线为一空间曲线，不仅有yz平面的弯曲变形，而且也有 xz平面的弯曲变形。因此称为非对称弯曲或广义弯曲。 惯性主轴 如果x、y轴的选择使得截面对其惯性积 Ixy=0 时，则正应力公式（3-9）简化为人们熟知的偏心受压（受拉）公式。即xIMyIMANyyxx（3-15） 此时，坐标轴x、y称为惯性主轴，简称主轴。通过截面形心的主轴，称为形心主轴。 显然，形心主轴可根据 Ixy=0 确定 。 工程实际中常采用对称截面，若以对称轴为 xy轴，则截面的对称轴就是形心主轴。 注意：只有当 x,y轴为形心主轴（对称轴为特例）时，平面弯曲公式（3-15
17、）才适用，否则应采用广义弯曲公式（3-9）计算，平面弯曲与广义弯曲二者不可混淆。 观察图3-2薄壁单元的平衡，根据本章假定“4”，引入剪力流表达式（3-4）后，由并移项后可得：0z00dqsztqs（3-20） 式中 q0为积分常数，其物理含义为曲线坐标 s=0点处的初始剪力流（见图3-2）。对于开口薄壁截面，当取自由边缘作为 s=0点时，便有 q0=0，这时开口截面弯曲剪力流公式可简化为： ssztq0d（3-21） 将正应力一般表达式（3-8）代入式（3-21），注意到截面几何特性的定义并引用弯短、剪力间的微分关系：0,zNzMQzMQyxxy（假定N=常数） （3-22） 则开口薄壁截面
18、的弯曲剪力流表达式为：xxyyxxxyyxyxyyxyxyxyQIIISISIQIIISISIq22（3-23） 讨论：当x、y轴为截面主轴时，Ixy=0，则式（3-23）可简化为：xyyyxxQISQISq（3-24） 二、剪力中心 薄壁（杆件）截面剪力流的合力(Qx，Qy)作用点 S(x0,y0)称为剪力中心。各截面剪力中心的连线称为剪力中心线。对于等截面直杆，它为与杆轴线平行的直线。当横向力作用于剪力中心线上时，由剪力中心的定义可知，该横向力产生的弯曲剪应力的合力将与此横向力相应的截面剪力平衡，杆件仅发生弯曲而无扭转（x和y方向的位移u、v0，扭转角=0），因此剪力中心又称为弯曲中心。
19、本章研究的薄壁杆件弯曲问题，就是指在通过剪力中心线的横向荷载作用下的“只弯不扭”问题。 根据位移互等定理，当杆件仅承受扭矩作用时，其横截面只产生绕剪力中心的转动（0），而剪力中心处无横向位移（u=v=0），即“只扭不弯”，此时剪力中心线为杆件扭转变形的转动轴线，故截面的剪力中心也称扭转中心。n在薄壁杆件分析中，常取剪力中心线为坐标系xyz的纵向坐标轴z，其后将截面内力分解到坐标轴上，这样就将问题分解为平面弯曲与纯扭转的组合，分别按“只弯不扭”和“只扭不弯”计算，而后叠加。n剪力中心只与截面有关，与荷载无关，故属于截面固有的几何特性。 根据剪力中心的定义及其计算公式（3-31），不难得出确定剪力
20、中心的下列规律（图3-5）： 1、对于双轴对称截面，对称中心即为剪力中心（图3-5d） 2、对于仅有一个对称轴的截面，剪力中心必位于该对称轴上（图3-5 a,c） 3、对于由两个矩形狭条组成的截面，剪力中心位于此二矩形狭条中线的交点上（图 3-5a、b）(a)(b)(c)(d)图3-5SSSSCCCC1、单室闭口截面的弯曲应力 回顾式（3-20）可以发现，它也适用于闭口薄壁截面的计算。对于开口截面，由于 S=0取在截面的自由边缘，故 q0 = 0。对于闭口截面，当曲线坐标原点(S=0)任意取定时，在一般情况下 q0 0,因此闭口截面剪力流应为： Sqsztq00d（3-33） 将式（3-21）
21、代入便有： 0qqq 可见，闭口截面的剪力流归结为相应开口截面剪力流q加上坐标原点处的初始剪力流q0 。 (a)(b)图3-6 设想在闭口截面的周边上任选s=0的点 O(B)处将截面“切开”，使其成为开口截面，按力法原理，在切口处去掉约束后应代之以赘余力（设为q0)的作用。 首先按式（3-21）求得此开口截面的剪力流q，然后利用相应的闭口截面在 q及 q0作用下切口 O(B)处的变形连续条件建立方程，求解 q0。QySySOBxCPqSPSQx=dw/dsdwdzdsz2、多室闭口截面的弯曲剪应力对于多室截面，仍采用力法原理，先将各室切开（如图3-7），在切口处作用以相应的赘余剪力流 q0i(
22、i=1,2,3,4).它们由各切口处的变形连续条件所给出的准则方程式求解。由于在各室交界（腹壁）板上，存在着相邻箱室赘余剪力流的共同作用。 ik 图3-7n初等梁弯曲理论的基本假定是变形的平截面假定，它不考虑剪切变形对纵向位移的影响，因此，弯曲正应力沿梁宽方向是均匀分布的。n但是，在箱形梁中，产生弯曲的横向力通过肋板传递给翼板，而剪应力在翼板上的分布是不均匀的，在肋板与翼板的交接处最大，随着离开肋板而逐渐减小，因此，剪切变形沿翼板的分布是不均匀的。n由于翼板剪切变形的不均匀性，引起弯曲时远离肋板的翼板之纵向位移滞后于近肋板的翼板之纵向位移，所以其弯曲正应力的横向分布呈曲线形状。这种由于翼板的剪
23、切变形造成的弯曲正应力沿梁宽方向不均匀分布的现象称为“剪力滞”现象或称为“剪力滞（后）效应”。肋板相距越宽，“剪力滞”现象越显著。A 正剪力滞效应B 负剪力滞效应剪力滞概念与有效分布宽度：前者用不均匀应力表示，而后者用一等效板宽表示。 最早涉及剪力滞问题的的理论推导是T. V. Karman，他利用最小势能原理与梁的应力对等原则得到解答。被称为Karman理论。初等梁理论箱梁尺寸及应力状态bbtutwhbhutbhzbbu/2ytw 目前，国内外均建造了大量的箱形薄壁梁桥、斜拉桥。特别是宽跨比大，上下翼板的惯矩与整个箱形截面惯矩之比较大的连续箱梁支点处，剪力滞效应更为严重，不容忽视。如果采用预
24、应力筋，上下翼板的布筋间距更要妥善处理，不能用等间距。在应力集成区力筋间距要密一些，否则混凝土易开裂。第二节 分析箱形梁剪力滞的主要方法：一、解析法1、T. V. Karman理论（1924年），他第一次给“有效分布宽度”这一概念下了明确的定义。2、弹性理论解：又分为正交各向异性板法和弹性折板理论。3、比拟杆法：由H. R. Evaus 与A. R.Taherian提出。4、能量变分法：二、数值分析法1、有限元法：2、有限条法：3、有限段法：本讲主要介绍箱梁剪力滞研究的主要结论。1.剪力滞影响使翼板的有效刚度降低，从而使挠度增大。 2.考虑剪力滞影响，弯曲正应力沿横向按三次抛物线分布，翼板与腹
25、板交接处的应力达到最大值。3.弯曲正应力沿腹板高度方向仍是线性分布4.为了更简便地描述箱形梁中剪力滞对弯曲正应力的影响，引进剪力滞系数的概念：正应力按梁弯曲初等理论求得正应力考虑剪力滞效应所求得1.1.剪力滞效应沿跨度方向分布的情况剪力滞效应沿跨度方向分布的情况 1）简支梁承受集中荷载时，集中力愈接近支点，愈大。另外，在集中力作用下，剪力滞的影响区域比较窄。详见图4-8。 2）简支梁承受均布荷载时，剪力滞的影响在靠近支座处最大，跨中截面受剪力滞的影响较小；详见图4-9。1001001001001.01.11.21.31.41.5图4-8 简支梁受集中力作用图4-9 简支梁受均布荷载作用1.11
26、.21.03）连续梁承受均布荷载时，在正弯矩区的剪力滞效应与简支梁类似；在负弯矩区，支座附近截面受剪力滞的影响较大，但在靠近弯矩零点区域则出现负剪力滞效应的现象。详见图4-10。1.01.11.21.30.90.8正弯矩区负弯矩区图4-10 连续梁受均布荷载作用2 2、剪力滞效应与箱梁跨宽比的关系、剪力滞效应与箱梁跨宽比的关系宽/跨比越大（即箱梁的肋距越宽时），愈大 第四节第四节 箱形悬臂梁的负剪力滞效应箱形悬臂梁的负剪力滞效应 在箱形悬臂梁弯曲时，不仅在固定端附近的截面要发生剪力滞效应，使得翼板与肋板交界处的应力要比用梁初等理论所求值大得多，而且剪力滞的影响沿跨度方向的变化也很复杂。 1）箱
27、形悬臂梁负剪力滞的变分解 肋板与翼板交界处的弯曲正应力：)(FieMMIh 从上式可清楚地看出，MF就是由于剪力滞效应产生的应力增量部分: (1)当MF与M同号时，弯曲正应力要比按梁弯曲初等理论计算的值大，这就是剪力滞效应。 (2)当MF 与M异号时，弯曲正应力要比按梁弯曲初等理论计算的值小，这就是负剪力滞效应。 2 2）在均布荷载作用下的悬臂梁：）在均布荷载作用下的悬臂梁： 附加挠曲力矩为附加挠曲力矩为402525 30027527520000-10-20-30-40Mf 沿跨度的分布-5020003601640 1/2单箱截面（cm） 从上式可知，MF沿纵向分布复杂，会出现变号的情况，一旦
28、变号，即将产生负剪力滞现象。计算表明，附加挠曲力矩为在离固定端一定距离（约L/4）后则会出现与剪力滞后效应相反的现象，出现负剪力滞（Negative Shear Lag）。1chsh)(ch872klkxklxlkIknqIMsF(4-47)3 3）在集中荷载作用下的悬臂梁：）在集中荷载作用下的悬臂梁： 在自由端作用一个集中荷载，其附加挠曲力矩为挠曲力矩为 从上式可知，MF不会出现变号的情况，即外力引起的弯矩都是负弯矩，所以不会出现负剪力滞现象。klkxIknpIMsFchsh87(4-45)4 4）负剪力滞效应的影响因素）负剪力滞效应的影响因素n边界的约束条件是发生负剪力滞的内在因素，而外荷
29、载的形式是发生负剪力滞的外部条件。n负剪力滞影响的程度主要反映在附加挠曲力矩MF上: 在式（4-45）中包含两个参数k与n:参数n是翼板刚度与梁的总刚度之比，参数k则是当n值一定时与翼板净跨（2b）有关的参数，因此， kl 反映了箱梁的跨/宽比。在箱形截面应用最广泛的桥梁结构中，箱的翼板刚度与梁的总刚度之比（Is/I）变化幅度不是很大（一般在0.70.8左右），因此，我们仅比较附加挠曲力矩随跨/宽比变化的情况。klkxIknpIMsFchsh87(4-45)n箱梁的宽/跨比对挠曲力矩的影响分析： 图4-15示出当Is/I=0.75，取箱梁的宽/跨比分别等于1/3、1/4、1/5时，翼板中挠曲力
30、矩MF随跨长的分布情况：0.00-0.01-0.03-0.04-0.05-0.060.010.020.03=1/5=1/4=1/3图4-15 不同跨宽比时MF沿跨度分布-0.022qlMx 可以看出：当箱的宽/跨比越大时，不仅在固定端附近受剪力滞的影响严重，而且在负剪力滞区域受负剪力的影响也较严重。随着宽/跨比的减小，受剪力滞与负剪力滞的影响都会逐渐减小。因此，负剪力滞效应随宽/跨比变化的情况类似于剪力滞效应的参数分析。 ln中井博和村山泰男进行的箱形悬臂梁的试验结果： 图4-16是中井博和村山泰男进行的箱形悬臂梁的试验结果。箱的刚度比Is/I=0.821。在均布荷载作用下，其翼板与肋板交界处
31、的弯曲正应力与截面平均应力比值的实测值与理论值的比较。1.0 1.4 0.9 0.8 0.7 0.61.11.2 1.3 470 x (mm)图4-16 翼板边缘应力与截面平均应力之比1）本章讨论的结果只能应用于等截面矩形箱梁的剪力滞效应计算。对于变截面或梯形箱梁剪力滞效应的计算可参考有关文献。2）T形梁翼缘有效宽度实质上也是剪力滞效应的反映。第三节 薄膜比拟法(略）第四节 开口薄壁杆件的自由扭转1. 基本定义：自由扭转与约束扭转 1）自由扭转：当截面纵向翘曲不受约束，截面上只存在扭转剪应力而无正应力时，这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转”，或“圣维南扭转”。 2）约束扭转：实际工程结构中由于
32、支承条件（支座或横隔板）、扭转力矩沿杆轴的不均匀分布等原因，杆件纵向位移往往受到约束，这时杆件截面上除存在自由扭转剪应力外，尚有因纵向位移受约束而产生的附加正应力及其相应的附加剪应力，这种扭转称为约束扭转。约束扭转产生的附加正应力及和剪应力称为翘曲正应力和翘曲剪应力。2. 基本假定：适用于薄壁杆件自由扭转线性分析1）线弹性。2）小变形。3） “截面周边投影不变形”，即无“畸变”。该假定认为，杆件受扭转变形后，其截面周边在原有平面（x,y）内投影形状不变。即截面可以产生沿轴线方向（z方向）的位移w（称为截面的纵向翘曲）。也就是说，在发生纵向翘曲后截面不再为平面（即平截面假定无效）。 为了分析需要
33、，先简要回顾实体等截面直杆的自由扭转方程。 观察图5-1所示实体截面，设为杆件截面的扭转角，杆件截面上任一点p(x,y)仅存在剪应力xz、yz和剪应变xz、yz以及相应的面内位移u、v及纵向翘曲位移w。 根据虎克定律，有如下的物理方程：yzyzxzxzGG（5-1） 图5-1 按弹性理论，在(x,z)平面内剪应变与位移间的关系几何方程为： ywzvxwzuyzxz（5-2） x,u z,w y,v Mz psyzxz可推得：zGxyyzxz2（5-4-2） 引入Aires应力函数= (x,y),使得： xyyzxz（5-7） 将式（5-7）代入式（5-4-2），并考虑截面内力与应力的关系后，便
34、得到以应力函数表达的微分方程： AzAMzGyxd222222（5-8） 第三节 薄膜比拟法(略）第四节 开口薄壁杆件的自由扭转一、矩形板条截面n实际工程中采用的开口截面，大多可视为矩形板条的组合，故首先讨论矩形板条截面的自由扭转。n如图5-5所示矩形板条，其宽度为b，厚度为t，且bt。n剪应力为：图5-5tbyIMTzz2（5-16） 其中： 33btIT（5-17） 式（5-16）中IT 称为扭转常数，也称圣维南扭转常数，它反映了截面的抗扭能力，具有与截面惯性相同的量纲。yMzzxxz当y=t/2时，剪应力有最大值，由式（5-16）得：tIMTzzmax（5-18） 扭转角微分方程为： z
35、TTzMGIGIMz（5-19） 于是，可根据杆件的静力平衡条件及几何边界条件，由式（5-19）求解扭转角 。 二、矩形板条组合截面组合截面的扭转常数为：niiitbI1331（5-22） 于是，求解矩形板条组合开口截面自由扭转问题时，可先按式（5-22）求出截面的扭转常数IT，然后求扭转角及各板条承受的扭矩Mzi，再根据公式（5-16）求解剪应力，而扭转角微分方程可按整体截面或任一板条用式（5-19）或（5-20）来表示。 三、圆截面剪应力为：（5-27） rIMzrz24RI（5-28） 其中：IT为圆截面的扭转常数：显然，最大剪应力发生在的截面外缘。 扭转角微分方程为： zTTzMGIG
36、IMz（5-31） 由此可见，圆截面与矩形板条截面的扭转角微分方程具有相同的形式，其区别仅在于扭转常数不同，亦即其抗扭能力不相同。 一、单室闭口截面0yzxz这相应于应力函数 (x,y)=常数 （2）由于壁厚远小于截面其他两个方向的尺寸，故剪应力沿壁厚可视为均匀分布。图5-7刚性板pwmaxz,wtsxsqdsq=ty分析结论：1）剪力流：2）剪应力：AMqz2AtMz2（5-38） 式中A为截面中线所包围的面积：sAd21 上式表明，剪应力与壁厚t成反比。即当t为最小时， 取得最大值，用公式表达即为：minmax2AtMztsAIGIMzTTzd42（5-41） 3) 扭转角微分方程为：IT
37、为单室闭口截面的扭转常数。 闭口截面与开口截面比较： 相同：二者扭转角微分方程具有相同的形式（式（5-19）和式（5-41） ：zTTzMGIGIMz不同：a)扭转常数的计算公式。 b)扭转剪应力沿壁厚的分布规律。 开口截面剪应力沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零。由于薄壁截面的壁厚很小，因此，剪应力构成的截面扭矩（抵抗力矩）也是很小的。 闭口截面剪应力沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零（剪应变），截面的扭转力矩（抵抗力矩）由周边剪力流构成，其力臂较开口截面大，因此，其抗扭系数远较开口截面大。也就是说，其剪应力远较开口截面小。 1、薄壁杆件在纯扭矩作用下，纵向位移（翘曲）不受约束时，截面上只有剪
38、应力，而无正应力，称为自由扭转或纯扭转。2、在自由扭转分析时，采用了截面周边投影不变形假定，因此，截面内任一点p(x,y)的位移可用扭转角及平面内坐标的一次函数表达。即xvyu3、根据弹性力学的静力、几何及物理方程，引用应力函数(x,y)表达的自由扭转基本方程为： zGyx22222及 AzyxMdd2yxzxyz4、自由扭转分析可以形象地、方便地采用薄膜比拟法。(略）5、开口和闭口截面自由扭转的扭转角微分方程具有相同的表达式：zTTzMGIGIMz或其中扭转常数 IT，对于开口和闭口截面则具有不同的计算方法和公式： 矩形板条截面：33btIT矩形板条组合截面：niiitbI133124RI圆截面：任意形状实体截面： IAI404单室闭口截面：tsAITd42 6、开口和闭口截面的剪应力分布不同。前者沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零，后者沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零，剪力流沿周边为常数。开口和闭口截面抗扭强度和刚度的数值相差可达数倍乃至数十倍、上百倍。矩形板条截面：圆 截 面：单室闭口截面：yIMTzz2rIMzrzAtMz2
