1、2022-4-161OUTLINE2022-4-162一、普通集合及其特征函数一、普通集合及其特征函数 19世纪末,康托(Cantor)首创集合论,并迅速渗透到各个数学分支,成为基础数学. 康托对集合的定义：把一定的并且彼此可以明确识别的东西(可以是直接的对象,也可以是思维的对象)放在一起,称为集合. 普通集合常用的两种表示方法：v穷举法： 例如，S=小学生,中学生,大学生,研究生表示“学生” 集合.v特征描述法：例如A=x|x0,且x为实数. 2022-4-163 有关概念和定义有关概念和定义： 论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。 包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若
2、对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集. 幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集，记为P(U). 例如,U=a,b,c,则 P(U)=,a, b, c, a,b, b,c, a,c, a,b,c 并集：A与B的并集定义为 交集：A与B的交集定义为 差集：A与B的差集定义为 补集：设U是论域，A对U的补集为 等于：集合A和B相等A=B： 2022-4-164BAAB 且|BxAxxBA|BxAxx或BA|BxAxx且BA且,|AxUxxAUAC集合的运算规律1、交换律 2、结合律3、吸收律4、幂等律5、分配律6、复原律7、互补律8、01律9、De.Morgan律2022-
3、4-165AAAAAA,ABBAABBA,CBACBACBACBA)()(,)()(AABAAABA)(,)()()()()()()(CBCACBACBCACBAAAcc)(AAUAAAUUA,ccccccBABABABA)(,)(CCAAUAA,特征函数特征函数 特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA,则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到0,1的一个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A=1,2,3,则A的特征函数为2022-4-166.当,0;3 , 2 , 1, 1)(为其它自然数时时当uuuCA)(uA 显然,只要
4、给出论域U的一个子集A,就唯一地确定一个A的特征函数;反过来,给出U中一个特征函数CA(u),也就唯一地确定了U的一个子集. 从这个意义上讲,“子集就是特征函数”. 当U为实数集合时,子集A的特征函数如图所示.二、隶属函数与模糊集合二、隶属函数与模糊集合n实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子等等.对于这些概念,普通集合就无能为力.2022-4-167n 集合可以表示概念。一个概念的外延就是一个普通集合。用普通集合表示一个概念，就是应用集合指出概念的外延。这种能用普通集合明确表示其外延的概念是清晰概念。n 一个清晰概念，要么属于某个集合，要
5、么不属于这个集合，二者必居其一。例如人这个概念，就是一个清晰的概念，一个动物，要么属于人的集合，要么不属于人的集合。不会有第三种情况。 定义定义1 ：设U为论域，U在闭区间0,1上的任一映射A0,1称为U上的隶属函数。 对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论域U上的模糊集合。 2022-4-168 xxxxxxxA80. 1, 180. 170. 1,2 . 080. 12170. 160. 1,2 . 060. 1260. 1, 0)(22例如，用A表示“高个子男人”的模糊集合，并假定身高1.80m以上的男人为高个子,1.60m以下的男人都不是高个子。用 x表示男人的身
6、高,其隶属函数可以为: 已知 m， m， m，则有 ， ， 。于是采用扎德记号表示的模糊子集为： 注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中“分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。2022-4-16965. 11x70. 12x75. 12x125. 0)(1xA50. 0)(2xA875. 0)(3xA1230.1250.500.875Axxx模糊集合的表示一般情况|)(,(UuuAuAU有限或可数iiiiuuAuuAA)(/ )(U无限不可数uuAA/ )(2022-4-1610例3 设U=1,2,3,4,5,6,A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的程度A(
7、ui)如下则A可用不同方法表示为：00.20810.8221234560.20810.82 23456A.（ ）.1(1,0),(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2) (2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)A（ ）3(0,0.2,0.8,1,0.8,0.2)A（ ）2022-4-1611例4 设论域为实数R，则A表示“靠近4”的数集,则AF(U), 它 的隶属函数为：2(4)|4|( )0|4|k xexA xx例5 设论域为实数R，则A表示“比4大得多的数”,则它 的隶属函数为：2141001( )(4)04xA xxx
8、三、模糊集合的运算三、模糊集合的运算 普通的集合运算，是由特征函数描述的。由于隶属函数是特征函数的推广，所以模糊集合的运算自然可由隶属函数描述。 设A、B、C、D为论域U上的模糊子集，则有如下定义：v若对于任意的 ，有 ，则称B包含A。记为 。v若 ，而且 ，则称A 与B相等。记为A =B。2022-4-1612Ux)()(xBxABA BA AB 显然，包含关系是模糊幂集F (U)上的二元关系，具有如下性质：(1) ;(2) ,;(3) ,.AAAB BAABAB BCAC自反性反对称性传递性应此，(F (U),)是偏序集 .若对于任意的xU,有则称C为A和B的并集。记为 。符号 为“取大”
9、运算。2022-4-1613)()()(),(max)(xBxAxBxAxCBAC若对于任意的 ，有 则称D为A和B的交集。记为 。符号 为“取小”运算。若对于任意的 ，有 则称为A的余集（或补集）。Ux)()()(),(min)(xBxAxBxAxDBADUx)(1)(cxAxA2022-4-16142022-4-1615例1 设U=u1,u2,u3,u4,u5,12340.20.710.5,Auuuu12350.50.30.10.7,Buuuu12345123450.20.50.70.31000.10.50.70.50.710.10.7 ABuuuuuuuuuu123451250.20.5
10、0.70.31000.10.50.70.20.30.5 ABuuuuuuuu那么2022-4-1616一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无限分为两种表示111111()()(1) ,. ,()()()()1-()nnkknkkkknnnCkkkkkkkkkkkA uB uUuuABuuA uB uA uB uA uABABAuuu设论域且则，( )( )(2) ,( )( )( )( )1( )u Uu UCu Uu Uu UA uB uUABuuA uB uA uB uA uABABAuuu设论域为无限集且则，2022-4-161721212 0050( ),501()
11、5010051025( )251() 251005ABuA uuuuB uuu例设模糊集 和 的隶属函数为*21210252510025501() 1() ( )( )155u Uuu uuuuuA uB uABuuuu *21215010050251() 1() ( )( )55u Uu uuuuuA uB uABuuu 2105050100501 1() 1( )15Cu UuuuA uAuuu n两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个模糊集合的情形。模糊集合的情形。2022-4-16183 (),., ()( )( )sup( ); ()(
12、)( )inf( ).ttttt Tt Tt Ttttt Tt Tt Tttt Tttt Tt Tt TAF UtT TuUAuA uA uAuA uA uAAAA 定义设是指标集规定称为 的并集，为 的交集，显然都是U上模糊集.四、模糊集合的性质四、模糊集合的性质模糊集合的运算满足下列性质:(F (U),C)1、幂等律： 2、交换律： 3、结合律： 4、分配律： 5、吸收律： 6、复原律： 7、对偶律： 8、0 1律：2022-4-1619AAAAAA,ABBAABBA,CBACBACBACBA)()(,)()()()()()()()(CBCACBACBCACBAAABAAABA)(,)(A
13、Acc)(ccccccBABABABA)(,)(AAUAAAUUA, 例如，模糊集合A=（0.2，0.7），则 =（0.8，0.3）。于是 特别地，当模糊集合A=(0.5,0.5),则 =(1-0.5,1-0.5)=(0.5,0.5).这表明在模糊集合中存在其补集等于自己的集合。这在普通集合中是不可思议的。但却正好反映了实际工作中“亦此亦彼”的现象。模糊集合的这一特点，在模糊信息处理中具有重要意义。模糊集合的这一特点使得模糊信息处理的结果更符合实际。 2022-4-1620cA) 3 . 0,2 . 0() 3 . 07 . 0,8 . 02 . 0()7 . 0,8 . 0() 3 . 07
14、 . 0,8 . 02 . 0(ccAAUAAcA值得注意的是，模糊集合不满足普通集合中的补余律ccAAUAA,1. -( -cut)截集引例：东汉西汉秦战国春秋西周商夏奴隶社会/1 . 0/3 . 0/4 . 0/5 . 0/7 . 0/9 . 0/1/1若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、春秋五、模糊截集五、模糊截集定义：定义：(),0,1,XAF X设 是论域， |( )Ax A xA称为 的截集； |( )Ax A xA称为 的强截集；.AA显然， AX AX AX AX截集的特征函数截集的特征函数.)ker(),k
15、er()(|)(|11 kernel)11AAAAxAxxAxA 即记为的核称为1 |( )1, Ax A x 特殊截集与强截集：特殊截集与强截集：.)(),()(| 00supp suppsupport)0AAAAxAxA即记为的支集称为 00,)(|XxAxA 其它0,)( cbxcbcxbaxabaxxA A1A例 ：已知 定义为：.A求,y解：由abaxy()xaba得,y由cbcxy()xcbc得() ,() Aabacbc2022-4-1625例例2 2 在一次在一次“优胜者优胜者”的选拔考试中，的选拔考试中，1010位应试者及其成级分别如下位应试者及其成级分别如下现按现按“择优录
16、取择优录取”的原则来挑选的原则来挑选. .设模糊集设模糊集A A表示表示”优胜者优胜者”。按各人成绩与最高分的比值作为属于。按各人成绩与最高分的比值作为属于A A的的隶属度：隶属度：择优录取实际上就是要将模糊集择优录取实际上就是要将模糊集A转化为普通集合，即先确定一个阈转化为普通集合，即先确定一个阈值值 (0,1,然后将隶属度然后将隶属度A(xi)的元素挑选出来。因此的元素挑选出来。因此,当当 取取0.7, 0.9时有：时有：123456789101.000.920.350.680.820.250.740.80.40.55Axxxxxxxxxx0.712580.912 ,; ,.Ax x x
17、xAx x性质性质1 )( ,)(BABABABA )( ,)(BABABABA证明：)(BAx.)( BABA所以，)(xBA)()(xBxA)()(xBxA或BxAx或BAx截集性质性质性质2 )()( ,)()(tTttTttTttTtAAAA )()( ,)()(tTttTttTttTtAAAA)(tTtAx )(supxAtTt所以 .)()(tTttTtAA 证明：)( ,tAxt)(tTtAx)(xAt)(xAtTt注：注： )()(不成立tTttTtAA 例如：5 . 0 ,115 . 0)( , 3 , 2 , 1取nxAxTn, xn及则对任意)(sup)(, 2, 11x
18、AxAnnnn但（5 . 0)( 5 . 0)( nnAxxA故5 . 015 . 0)()(nnnAA，即从而, 5 . 0)115 . 0(sup, 2, 1nn,) ,5 . 01nnAxx（所以XAnn5 . 01) 即（性质性质3 ,1221AA时，性质性质4)()( ,tTtttTttAAAATtTt证明：ttAxTtAxTt,tTtxA)(,)(AAA特别地AAA)(txATt)( ,)(tTtAx ,12AA12 AA以上推理可逆。性质性质5ccAA)()(1证明：)()(xAAxcc以上推理可逆。注：注：ccAA)()(ccAA)()(1类似可证：)(1xA1)(xA1Axc
19、Ax)(12022-4-16310.50.7 , , , =0.6 () () .CCUa bAAAab例: 设，计算和解(1): 当=0.6时,0.6 Ab,于是0.6() CAa(2)：因为,于是0.6()CA 0.50.3CAab六、 分解定理(Decomposition Theorems )n当:10时，A: Ker(A) Supp(A)n可将模糊集A看作其边界在Ker(A)和Supp(A)之间游动,即将模糊集A看作普通集合簇A| 0,1的总体.2022-4-1632定义),( 10XFA，设定义为：设)(XFA)()( ,xAxAXx当A为普通集时，AxAxxA0)( 性质：性质：;
20、 )(2121AAi2121 )(AAAAii事实上，)()( 1121xAxA)()(22xAxA)()()(xAxAxAAA AAX上的模糊集对任意AA1 , 0证明：)(1 , 0 xAAxxA)(1 , 0)()(xAxA所以，AA1 , 0分解定理分解定理I)(1 , 0 xAX AAA分解定理分解定理IIAX上的模糊集对任意AA1 , 0推论：;,)(BABAi.,)(BABAii证明：;,)(显然时，BABAi时，BA,BBAA1 , 01 , 0要证明两个模糊集相等，可证它们的任意截集相等.2022-4-1636A由分解定理可知，一个模糊集合可以由无穷多个普通集合无穷多个普通集
21、合( )的数乘的数乘(高度为高度为的矩形的矩形)的并来逼近的并来逼近，这样就可以把模糊集合的问题化为普通集合的问题来分析解决。x分解定理的图示分解定理的图示123公式：例子,54321xxxxxX 17 . 07 . 06 . 0,6 . 05 . 0,5 . 02 . 0,2 . 003315315321xxxxxxxxxxXA.A求AxxA1)(17 . 05 . 0)(2xA1)(3xA2 . 0)(4xA6 . 0)(5xA54321/6 . 0/2 . 0/1/5 . 0/7 . 0 xxxxxA( )sup |sup |A xxAxA2022-4-1638例 设模糊集123450.
22、50.610.70.3,Auuuuu取截集，得到130.7340.62340.512340.312345 , , ,AuAu uAu u uAu u u uAu u u u u将截集写成模糊集的形式，例如0.73411,Auu按照数乘定义10.70.63342340.50.312341234510.70.70.60.60.61,0.7,0.6,0.50.50.50.50.30.30.30.30.30.5,0.3AAAuuuuuuAAuuuuuuuuu应用分解定理构造原来的模糊集.2022-4-163910.70.60.50.30,133423412341234512310.70.60.50.3
23、10.70.70.60.60.60.50.50.50.50.30.30.30.30.3 0.30.50.30.50.60.30.50.60.710.30.50.6 AAAAAAAuuuuuuuuuuuuuuuuuu45123450.70.30.50.610.70.3uuuuuuu2022-4-1640 0,5( ),0,10,5,0 3 ,5,02/33,5,2/31.UAF UAA 例： 设论域，求出模糊集/302/32/31( )sup |.05( )0302( )3225( )335( )1.xA xxAxA xxxxA xxA xxA x 解：根据当，；当，即时，；当时，；当时，0,0
24、,023( )2,2331,35xxxA xxx2022-4-1641 0,10( ),0,10,10033,1005 35 ,10155,101( );.UAF UAA x SuppA KerA 例： 设论域，求出模糊集3(0, 5/53/511( )sup |.010( )03310( )5535( )5510( )1510( )1.xA xxAxA xxA xxxxA xxA xxA x 解：根据当，；当，；当，即时，；当时，；当时，0033( )355553115105xxxA xxx 2022-4-164212345 ,(1,1,1,1,1),00.2(1,0,1,1,1),0.20
25、.5 (1,0,1,1,0),0.50.7(0,0,1,0,0),0.71.Uu u u u uAA例： 设论域，模糊集的强截集为求出模糊集1112345( )sup |0.7()0.7,.0.70.210.70.5 A xxAuAA uAuuuuu解：根据。含 的所有中，没有最大值，上确界为，所以其余类似从而分解定理分解定理III满足：如果)( 1 , 0 :XPH),(1 , 0HA则);()( )(2121HHi证明：),( )(HAii ,)( ,AHA且有:).(HAAA1 , 0).(1 , 0HA即)(1 , 0HA1 , 0A1)( )(121AHi(ii) 一方面,时，AAH
26、)().(HA 故另一方面,.)(AAH综合即得:).(HA 2A);(2H.)(的证明类似HA上述分解定理说明模糊集上述分解定理说明模糊集A不仅可以由截集不仅可以由截集A ,(或或A )确定，且还可以由更一般的集合族确定，且还可以由更一般的集合族H( ), 0,1来确来确定，即定，即H( )不一定是不一定是A 或或A ，甚至可以介于它们之，甚至可以介于它们之间由于间由于H( )这种灵活特性这种灵活特性,使得它在实际中具有更使得它在实际中具有更广泛的应用广泛的应用1. 集合套集合套 (Nested Sets) 及其运算及其运算定义定义),( 1 , 0 :XPH设若H满足:1221()(),H
27、H时，则称H是X上的一个集合套.X上的集合套的全体记为U(X).),( )( )(XFAAHi令则H是一个集合套；分解定理III. )(为集合套中的分解定理HIIIii七、 表现定理(Representation Theorems)运算运算:)(,21XUHHH设)()()(2121HHHH)()()(2121HHHHccHH)1 ()(确为集合套、cHHHHH2121),()(112121HH时，),()(1222HH)()()(2221221HHHH)()()(1211211HHHH.),),(是一个软代数cXU证明：定理定理1.证 De Morgan 律：cccHHHH2121)(ccH
28、HHH)1)()()( ,1 , 02121cHH)1 ()1 (21ccHH)1 ()1 (21)()(21ccHH)(21ccHH )()(,2121HHHHXXX)(，为：最大元)(，为：最小元软代数(或称Fuzzy格或Dorgan代数）是Bolle代数的推广2. 表现定理表现定理I),()(:XFXUT设定义为：),()( ),(1 , 0HHTXUH,),),(),),(的满同态映射到是则cXFcXUT且满足：;)( )()( ,1 , 0 ) 1 ( HTHHT);()( ,1 , 0 )2(HHT).()( ,1 , 0 )3(HHT证明：证明： (i)证T是满射；),(XFA,
29、)(AH令).(XUH 则AAHHT1 , 01 , 0)()( (ii)证T满足(1)(2)(3);),(Hx若),)()( 1 , 0 xHxHT则)()(1 , 01 , 0 xHxH,)(xH,)(HTx从而.)()(HTH所以，),(Hx若)( xHT则)(1 , 0 xH,)(xH)(HTx从而)(Hx 时，则);()( HHT下证).()( HHT所以，(2)(3)由(1)及分解定理III立得。分解定理III(iii)证明T保持运算)()(2121HHHHT保并：)()()(2121HTHTHHT保交:)()(21HH)()(21HH)()(21HTHT)()(21HTHT)()
30、(2121HHHHT)()(21HH)()(21HH)()(21HTHT)()(21HTHT)()(ccHHT 保余cH)1 (cH)1 (,1令cH)(1cHT)(1)(cHT推论 设HU (U),记 0,1( )AH 则(1) 0,1,( );(2) ( )sup |( ),0,1.AHAA uuH 表现定理I为构造模糊集提供方便，这对从事理论研究和实际应用都有重要意义.2022-4-1653例例 设论域X-1,1,集合套为H()=-1,1- , 0,1,求由H说的模糊集A的隶属函数.解解 由于( )( ),0,1.x HA x 当-1x0即x= -1时,1( )1;xA xx 当00),
31、则有对任意模糊集A,B(1) ( )(1);(2) (0)0;1(3) ( )0, 2f xfxff x在上严格增加.则d(A)是A在F(U)上的模糊度。()()( )( )d ABd ABd Ad B2022-4-1662例1 设U=u1,u2,un,对任意模糊集A，有12( ( ) |( )( )| ,(0)piiif A uA uA up111122( )(|( )( )| )npppiiipdAA uA un则dp(A)是A的模糊度.(两个模糊集的距离)1/( )2( )0,1/ 211( )(|)22(1)1/ 2,1ppppxg xnxxf xxxx模糊度计算公式模糊度计算公式（1
32、）海明）海明(haming)模糊度模糊度0.512( )|( )( )|niiid AA uAun0.51( )0.5( )0( )0.5iiiA uAuA u其中，其中，n是论域是论域U中元素的个数，中元素的个数，（2）欧几里德）欧几里德(Euclid)模糊度模糊度（3）明可夫斯基）明可夫斯基(Minkowski)模糊度模糊度20.512( )|( )( )|niiid AA uAun0.512( )|( )( )|nppiipid AA uAun例例2 2、设、设U=uU=u1 1,u,u2 2,u,u3 3,u,u4 4,A= 0.8/u,A= 0.8/u1 1+0.9/u+0.9/u2
33、 2+0.1/u+0.1/u3 3+0.6/u+0.6/u4,4,求求A A的模糊度的模糊度解：解：1 1）海明模糊度）海明模糊度 d(A)=2/4(|0.8-1|+|0.9-1|+|0.1-0|+|0.6-1|)d(A)=2/4(|0.8-1|+|0.9-1|+|0.1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0.1+0.1+0.4)/2 =0.4 =(0.2+0.1+0.1+0.4)/2 =0.4（2 2）欧几里德）欧几里德(Euclid)(Euclid)模糊度模糊度22222( )(0.8 1)(0.9 1)(0.1 0)(0.6 1)0.474d A 2022-4-1665例3 设U=a,
34、b,c,d,0.80.90.10.8,Aabcd0.300.30,Babcd计算它们的海明距离和欧几里德距离.解：因为121101,Aabcd120000,Babcd于是12( )(|0.8 1|0.9 1|0.1 1|0.8 1|)0.3,4d A 12( )(|0.30|00|0.30|00|)0.3,4d B 222222( )|0.8 1|0.9 1|0.1 1|0.8 1|0.316,4dA 222222( )|0.30|00|0.30|00|0.425,4dB 2022-4-16661122( )|( )( )|,s AA xAxdx当论域U是实数集R的一个闭区间,模糊集A的隶属函
35、数连续是，记:221( )1|( )|2sAA xdx S1(A), S2(A)都是模糊集A的模糊度.其中112211221212|( )( )|=|( )( )|(1( )( )(1( ),x Ax Ax Ax AA xAxdxA xAxdxA x dxA x dxA x dx第一个积分对应斜阴影部分，第二个积分对应直阴影部分.2022-4-1667例例4 4 设设U=uU=u1 1,u,u2 2,u,un n,s(x),s(x)为熵函数为熵函数ln(1)ln(1)(0,1)( )00,1xxxxxs xx则则11( )( ( )ln2niiH As A un是模糊集是模糊集A A的模糊度，
36、称之为模糊熵的模糊度，称之为模糊熵. .证证: : 只须验证定理中的三个条件对只须验证定理中的三个条件对s(x)s(x)成立即可，条件（成立即可，条件（l l）和（）和（2 2）是显）是显然成立的然成立的, ,下面验证条件下面验证条件(3)(3)由由s(x)s(x)是是(0,1)(0,1)上的连续函数，并且当上的连续函数，并且当x x (0,1/2)(0,1/2)时，时， 因此，因此，s(x)s(x)在在(0,1/2)(0,1/2)上严格增加上严格增加, , 从而从而H(A)H(A)是是A A的模糊度，通常称之的模糊度，通常称之为模糊熵。为模糊熵。1( )lnln(1)ln0 xs xxxx 熵本是热力学中的一个概念，原意是热量可转变为功的程度。统计物熵本是热力学中的一个概念，原意是热量可转变为功的程度。统计物理学重新给予解释：熵是描述分子无规则运动的一种度量。在信息论中，理学重新给予解释：熵是描述分子无规则运动的一种度量。在信息论中，引用它作为剩余信息量大小的一种度量为模糊程度的度量。模糊集用它作引用它作为剩余信息量大小的一种度量为模糊程度的度量。模糊集用它作模糊程度的度量模糊程度的度量. .
