1、2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院1第四章第四章 水文随机序列的预报水文随机序列的预报概述概述 平稳线性最少方差预报平稳线性最少方差预报 AR（p）序列预报序列预报 门限自回归模型门限自回归模型 2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院2第一节第一节 概述概述 模机水文模型应用：模机水文模型应用：)(,*:外推步预测中长期预测短期预报防洪效益计算等资料可用于风险分析和模拟，l，nkn最简单一个例子：最简单一个例子：对中心化（离均差后）对中心化（离均差后） 系列建立了一阶自回归模型：系列建立了一阶自回归模型：ty1tt1t514y. 0y)23, 0(21tN（1） 417yx
2、tttx水文序列水文序列 已知已知1984年年 19851198419854001ttxxtt年预值2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院3对对（1）式取数学期望得：式取数学期望得：smyxyyttt/4084177 . 8)417400(*514. 0514. 0311t1（预报公式）（预报公式） 其实，这是一个期望预报，把随机变量取为其实，这是一个期望预报，把随机变量取为0值（平均值）值（平均值）因此一步预报误差：因此一步预报误差： )23, 0() 1 () 1 (211NZxxetttt评价误差作为区间预报,96.1)1(05.0514.0),/()1(xt11txttttxu
3、yuyyyEx已知水文序列作预报。已知水文序列作预报。建立水文随机模型（假如无趋势及周期）建立水文随机模型（假如无趋势及周期）给出预报公式和预报方法。给出预报公式和预报方法。利用现在及过去观测值作预测，必要时作实时利用现在及过去观测值作预测，必要时作实时修正。修正。区间预报，误差分析，对模型作评定及检验。区间预报，误差分析，对模型作评定及检验。2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院4第二节第二节 平稳线性最小方差预报平稳线性最小方差预报 对正态平稳系列作对正态平稳系列作l步预报步预报 问题：当前时刻问题：当前时刻k和过去时刻和过去时刻 为已知，需对未来时刻随机变量为已知，需对未来时刻随
4、机变量 ，可记为可记为 。, 2, 121kkkyyykk序列值为)(, 2 , 1,正整数作出预报clylk)(lyk所谓平稳线性最小方差预报定义为：所谓平稳线性最小方差预报定义为： min)(2lyyEklk已知且为条件由于期望值必须是,)(1kklkkyyyly),/()(1kklkkyyyEly水文变量水文变量 )()()(常数xkklylx2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院5一、一、ARMA（p、q）序列差分形式公式：序列差分形式公式：离均化离均化 ARMA（p、q）模型qlkqlRlkplkplklklkqtqtttptptttyyyylktyyyy1122112211
5、2211把两端取数学期望（条件）两端取数学期望（条件）),/(),/()/(),/()(22111kplkpklkklkkklkkyyEyyEyyEyyyEly)()()(11qlkqlklkEEE0)()2() 1(21plylylykpkk当当MA(0,q)模型时，如模型时，如 ( )0klqy l当为当为AR（p）模型时，将在后面作介绍。模型时，将在后面作介绍。2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院6二、二、ARMA（p、q）序列传递形式预报公式：序列传递形式预报公式：110(2)cotjtjpqjyZ G残差为白噪声1112112231221331122111OjjjjjjGG
6、GGGGGGGGG把上式把上式(2)式中式中t用用 代替代替kl0kljkljjyG 0112211( )( )k lk lk llkkGGGGe l 11( )lklkkGGy l2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院71,0kk l未知 是随机变量 故其数学期望为上式两边取条件数学期望上式两边取条件数学期望11220(/)( ) ( )k lkklklklkkj lkjjE yyy lGGGy lZ G该公式该公式 11( ),( )()kkk lok llke ly lyGGl项2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院8 三、三、ARMR（p、q）递推预报公式（可用于实时修
7、正）递推预报公式（可用于实时修正）对对（2）式作一些变换，把式作一些变换，把k改为改为k+1110111( )(0)kj lkjjokj lkjjylZ GjGG 把这一项提取出来110(1)(1)lkRlik iiG yyGij (2)111(1)(2)1)(1)(1)kokklkkkyGylGyyyl式中2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院9事实上以上公式含义：事实上以上公式含义： 要做要做k+1时刻时刻l步预报步预报= =在在k时刻作时刻作l+1步步预报值预报值 + + （k+1时时刻实测值与在刻实测值与在k时刻对时刻对k+1时刻预测值之差）时刻预测值之差）* *权重系数权重系
8、数 。lG 相当于对相当于对 时刻作预测时，用误差来校正时刻作预测时，用误差来校正 预测值，预测值，把这个称为实时校正（现时校正）。把这个称为实时校正（现时校正）。1ky1k ly 1,kly由1ky预测预测如如2ky21111(1)()(1)(2)kkkkkyyyyy 显然在显然在 时刻预测时刻预测 比用比用 预测预测 效果要好，用了效果要好，用了误差校正。误差校正。 1k2kyky2ky2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院10预报误差（评定与检验）预报误差（评定与检验）1221222221()01()110.900.70.90.69,0.5NiiiNiiiBxxBNMSExxNM
9、SERSxRSR 平均偏移,要求为好是 方差为好为甲等方案乙等丙等方案合格率（允许相对误差范围内如合格率（允许相对误差范围内如20%）合格率）合格率85%，甲等；，甲等； 70%-84%，乙等；，乙等；60%-69%，丙等，丙等（枯季径流允许误差（枯季径流允许误差30%，每日径流，每日径流20%）2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院112222121( )(1)klVar eeGGG222/2121 ( )1klylUGGG如如 区间估计。区间估计。/21(1)klyU2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院12第三节 AR（p）序列预报）序列预报12( )(1)(2)()kk
10、kpkylylylylp()(0)kk lylyl（一般（一般ARMA(p,q)模型有此结果）模型有此结果）1211(1)kkkpkpyyyy一步预报公式一步预报公式 12312(2)(1)kkkkpkpyyyyy (2)l ()lp121( )(1)(2)(1)kkkpkpkypypypyy()lp12( )(1)(2)()kkkpkylylylylp()lp先估计模型参数先估计模型参数 p,212022-4-16水文水资源学院水文水资源学院13 再作一步预报再作一步预报 ，又由，又由 预报预报 如此递如此递推可以作推可以作l步预测，当然还可以作实时校正预报。步预测，当然还可以作实时校正预报
11、。) 1 (ky1),1(kkyy)2(kx实例：某站中心化实例：某站中心化 模型已建立（正态分布假定）模型已建立（正态分布假定）(2)AR212120.490.10(0,41.1 )46746.70.440.11ttttttttxyyyNXyrr384291982594081981ttttyxyx求预测求预测1983-1985平均流量。平均流量。2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院14以以1982年为年为k时刻进行预报时刻进行预报1211983,(1)0.49*( 38)0.10( 58)12.8 (1)467( 12.8)454(1983429)kkkkyyyx 年 由年实测值偏
12、大121984121984(2)(1)0.49*( 12.8)( 0.10)( 38)2.5 (2)464416)1985(3)(2)(1)()0.1 (3)466.9467(410)kkkkkkkkyyyxxyyylpx 年(实测值年实测值22221210112122221 12 2( )(1)10.490.14(1)41.1arklxVe lGGGGGGGrr区间预报区间预报 2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院152122121983(1)1.96*41.1(535,373)4295.8%1984(2)1.96*41.1 1(554,374)41611.8%1985(3)1.9
13、641.1 1(557 377)41013.9%kkkxxGxGG实测值实测值，实测值实时校正：以实时校正：以1983年为年为k+1进行实时校正预报进行实时校正预报113111984( )(1)(1) (1)( 38( 12.8) (1)25.2(1983429/ ,1982)1984(1),(1)( 2.5)25.214.84528.6%kklkklkklkyly lG yyylGy lGmslyGx 实测值也是与年相同年相对误差1219851985(2)(3)25.2( 0.1)25.20.143.6463(410)12.9%1984,1985kkyyGx 实测性相对误差显然年利用实时校正
14、后和相对误差较连续预报要少。2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院16门限自回归模型门限自回归模型1978年提出年提出H.Tong）（）（Threshold Autoregressive Model） 观察：观察： 10.50.9(1)tttxxAR对这样生成系列，平稳过程，模型生成。其他ttttttNxxx0.3)1 , 0(5.35.39.05.011 这样生成这样生成 不是线性模型生成随机过程，若生成数据不是线性模型生成随机过程，若生成数据100年，用线性模型拟合效果较差即残差相关比较大，不一年，用线性模型拟合效果较差即残差相关比较大，不一定独立，正态。定独立，正态。tx2022
15、-4-16水文水资源学院水文水资源学院17模型形成（一般）模型形成（一般）111222(1)(1)(1)(1)112201(2)(2)(2)(2)112212( )( )( )( )011221,lllottkt ktt dottkt ktt dtllllttkt ktlt dlxxxrxrxxxrxrxxxxrxr 一般一般l取取23，不宜取太多了，否则太复杂。，不宜取太多了，否则太复杂。 这个模型实际说明了随机序列是分段线性的，即每个这个模型实际说明了随机序列是分段线性的，即每个 区间内可用自回归模型来描述，但这些模型序数在不同区间区间内可用自回归模型来描述，但这些模型序数在不同区间是不一
16、样的。是不一样的。tx2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院18建模：建模：已知已知 )(,21年数据NxxxN 当用传统线性模型建模时发现，独立性差，或预测精度较当用传统线性模型建模时发现，独立性差，或预测精度较差，则可以考虑用门限自回归模型来建模，（当然还应考虑是差，则可以考虑用门限自回归模型来建模，（当然还应考虑是否在成因上做分段线性门限值？）否在成因上做分段线性门限值？）据以上模型据以上模型 ),(21eRkkedSETAR 采用以上已知数据采用以上已知数据 ，来辩认模型参数步骤如下：，来辩认模型参数步骤如下：nx1：令：令 。分成段，如确定。分成段，如确定各段自回归阶数各段自
17、回归阶数 ，L为逐段自回归允许最大阶数，为逐段自回归允许最大阶数，这里都认为各段有相同这里都认为各段有相同L值。值。 max( , )odlnd L与 固定,假定已知。记eRRR212022-4-16水文水资源学院水文水资源学院19把实数轴分成把实数轴分成l个区间个区间0minrx3r2r1rmaxxrl1lr一般是预报值取为一般是预报值取为 max30%,40%,50%,60%,70%mimxx 的上的点10minmaxmin234()0.3()0.40.50.6ooorr xxxrrrrrr如这样可以把这样可以把 取值区间分取值区间分l成个。成个。tx对于已知对于已知 观察分析动态数据中在
18、不同区间个数观察分析动态数据中在不同区间个数（以排在（以排在 开始统计），如开始统计），如L=3，d=1，从，从 开始统计开始统计在不同区间个数。在不同区间个数。nxxx,2, 101ndx3x2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院20记第一个区间记第一个区间N1个个第二个区间第二个区间N2个个 1ljojNNn第第l个区间个区间Nl个个设动态数据中有：设动态数据中有：1112112122221201121, , , , lllNlno d ino d ino d i Nno d ino d ino d i Nno d ino d ino d illxxxr rxxxr rxxxrr
19、落在落在落在对于第一段线性自回归模型具体形式对于第一段线性自回归模型具体形式已知：已知：2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院2111111(1)111111111110(1)12121212111211011112(1)122(1)(1)112nonononononononononoknoiNnoNnoNnNnoxixixixikixixixixikixixixixik 11Ni用最小二乘法可求出用最小二乘法可求出 (1)(1)(1)011(,)k不是连序 不好用矩法估计可以想象，给定以上一组系数则可求出一组残差可以想象，给定以上一组系数则可求出一组残差 及其残差平方和及其残差平方和
20、 1(1)11,2,jno ijN112(1)(1)(1)011minjNkno ijRSS 使得参数，即可得第一段自回归模型，其他，即可得第一段自回归模型，其他 段求法一致。显然不段求法一致。显然不同同 1l 1R 则可求不同系数。2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院222、对于固定、对于固定 0121, , ,lld Lr r rrrAIC及用准则确定估计121111111,( )( )ln2(1)(,1,1,2,)lk kkRss kAIC kNkN KjjlN 改为即为一般情况RSS( k1 )为第为第1个模型残差平方和（最小二乘法估计参数）个模型残差平方和（最小二乘法估计参
21、数）显然显然k1 愈大，则残差愈小，但愈大，则残差愈小，但AIC考虑惩罚因子考虑惩罚因子 则第二项大，故找到则第二项大，故找到 。其他段的。其他段的自回归模型阶数一样估计。自回归模型阶数一样估计。 ) 1(1KZ111()minAIC kkk对应的 即可估计2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院233、固定、固定 121 , ,ld L lr rr估计门限值1211( , , , )()lolljjAIC d l r r rrrAIC K11(, , ,)olAIC d l r rr能使得上式达到最少的即为门限值达到最少的即为门限值 12 , ,olr r rr4、估计值、估计值AIC（ ）121121 , , ,min( , , ,)lld l r rrAIC d l r rr,olrr忽略不写2,3l 也就够了一般一般 5、 估算d121 ( , , ,)( )loAIC d l r rrAIC dNn2022-4-16水文水资源学院水文水资源学院24不同不同 ( )dAIC ddd，就有不同，最小值所对应 为所要估计的 值。那么那么d初值取多少？初值取多少？ ,2, 1d若效果不好，可先进行常用若效果不好，可先进行常用 CoxBox变换0110( )01ln0nnnnXnNXZx
