1、数列不等式与函数不等式数列不等式与函数不等式 数列不等式为高中数学的重点和难点，常数列不等式为高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类问题的重要原则。问题的重要原则。 熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的方法有：的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、积分（函数法）放缩、裂
2、项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩、切线放缩等比放缩、切线放缩等等。等等。一、积分放缩一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：基本结论：nn-1n1xxxf11)(或nn+1n1xxxf11)(或* *例例1 1、求证：、求证：证：证：同理证右。同理证右。)1ln(1)1ln(nnnnn练习：练习：2221.21111nnn）（2131.211112*nnn）（)2(121.211213*nnnn）（1、求证：、求证：) 11(21.312114nn）（二、函数放缩二、函数放缩 函数法即
3、构造函数，利用函数单调性进行函数法即构造函数，利用函数单调性进行放缩。放缩。 基本结论：基本结论：* *例例2 2、求证：、求证：证证1 1：证证2 2：的最小值。求整数恒成立，若项和为前mmSSSnanannnnn15,1 , 3412练习：练习：121122112211.11) 1(,1.11)(151.11nnnnnnnnnaaanfaaanfNnmaaa令恒成立，对解：解：0)681181()681381(341181381111) 1()(122nnnnnnnaaanfnfnnn3141591511115) 1 ()(),1()(32mmaamfnfnfnf减，则需所以. 5最小值为
4、正整数m* *例例3 3、求证：、求证：证证1 1：证证2 2：令：令再证：再证：所以：所以：由由取取n=2,3,n累加累加再证：再证：构造函数：构造函数：* *例例4 4、求证：、求证：证：证：* *例例5 5、求证：、求证：证：两个字母的不等式，可以将其中一个证：两个字母的不等式，可以将其中一个字母看成变量，另一个看成常数构造函数。字母看成变量，另一个看成常数构造函数。* *例例6 6、已知函数、已知函数（1 1）证明：）证明：在在上恒成立；上恒成立；（2 2）证明：）证明：解（解（1 1）：）：) 1,21(ln211ln)()(xaxaxaaxxxfxg令2222) 1)(1 (111
5、)(xxaaxxaxaxxxaaxg析）（或用二次函数图象分0) 1)(11()(2xxaxaxg0) 1 ()(), 1 )(gxgxg增，所以在xxfln)(证（证（2 2）：在（）：在（1 1）中）中考察所求式取等只有则取)1, 1(ln2121,21xxxxxa)1()(.)1 ()2()0() 1 ()0()0() 1 (.)2() 1()1()() 1(2) 1ln()(nfnffffffffnfnfnfnfnnnnfnn令部分部分，考虑把右边拆成左边) 1(22121) 1(21)1ln(21ln) 1(2) 1ln(1) 1()(1, 0)0(kkkkkkkkkkkkkkkkk
6、kkfkfkf所以只需证注意得证。，则令取等只有对照结论) 1(221)1(2121)1ln(1)1, 1(ln2121kkkkkkkkkkkkxxxxxx练习：练习：*1、求证：、求证：证证1 1：证证2 2：令：令再证再证再取再取n=2,3,.,nn=2,3,.,n累加得证。累加得证。2、求证：、求证：证：证：*3、求证：、求证：证：证：得证。32)111 (32nnn此题思想重要！此题思想重要！三、对偶放缩三、对偶放缩 基本结论：基本结论：糖水不等式糖水不等式例例1 1、求证：、求证：证：证：例例2 2、求证：、求证：证：证：练习：练习：1、求证：、求证：312)1211).(511)(
7、311 (nn证：略。证：略。证证1 1：先通项放缩，再考虑求和。：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：、求证：1122642) 12(531.642531423121 nnn121121) 12(4322321) 12(75326422642) 12(5312 nannnannnnannn考虑右端裂成考虑右端裂成n n份为份为)1 ()2(.)2() 1()1()() 1 ()(112ffnfnfnfnffnfn只需只需1212) 1()(121nnnfnfn分析法可证。分析法可证。证证2 2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。：先考虑求和，再考虑裂项放缩。nnnnnnanaananannnnnna
8、 2) 12()22(2212)22(2642) 12)(12(53111nnnnaana2) 1(211)22(2)22()22(2(.)64()42(.1111322121nnnnnanaanannaaaaaaaaS121nan同前放得太大。11213222nnnS适合。112132222332123)22(264) 12)(12(53211 nnnSnnnnnan四、裂项放缩四、裂项放缩 裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是转化成差形结构转化成差形结构f(n)-
9、f(n-1)f(n)-f(n-1)累加求和累加求和解决问题。解决问题。一般思路是一般思路是配积取倒凑差配积取倒凑差。基本结论：基本结论：的列项思路：的列项思路：往往往往 ，加强就可以证明。，加强就可以证明。基本结论：基本结论： ( (一一) )分母整式型裂项分母整式型裂项（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）例例1 1、求证：、求证：(1)(1)(2)(2)* *(3)(3)证证(3)(3)：证证(3)(3)：* *例例2 2、求证：、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩。例例3 3、求证：、求证：证：证：3212112143132121)2)(1(1) 1(121.nnnn
10、41)2)(1(12121nn左练习：练习：证：证：na2212)(aaa.)(23213aaaa221).(nnaaaa11annnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaanf.1.1).)(.().()(2112121121221121121121321212111.11).1.1(.)11()11(aaaaaaaaaaaaaaaaaaannn左1 1、设、设为正数列，求证：为正数列，求证：证：证：2) 1(),1(nbnnann1251.112211nnbababa)2(125)11212161nn（左* *2 2、求证：求证：)111(21) 1(21) 12)(1(11nnnnnn
11、bann也成立，综上得证。1n ( (二二) )分母根式型裂项分母根式型裂项（1 1）（2 2）（3 3）)111( 2)1(12) 1(12213kkkkkkkkkkkkkkk)111(213kkk31k)111(2kk即即，同理，同理)111(2.1) 1(2) 1() 1(2) 1(1kkkkkkkkkkkk基本结论：基本结论：例例1 1、求证：、求证：* *(1)(1)(2)(2)证（证（2 2）：）：)111(2)1(12) 1(12213kkkkkkkkkkkkkkk)111(213kkk323)111.3121211 (21nnnS例例2 2、求证：、求证：证：注意观察不等式两端
12、结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。)1212(21)1(2nnnnn为需证结构为需证结构累加得证。累加得证。例例3 3、求证：、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。)111(2) 1(1nnnn为需证结构为需证结构)111(2.1) 1(2) 1() 1(2) 1(1kkkkkkkkkkkk累加得证。累加得证。例例4 4、求证：、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成证：注意观察不等式两端结构，裂成n n份比较。份比较。累加得证。累加得证。练习：练习：证：证：) 11(21.114122454432nxxxx
13、xxnn1 1、设、设，11x为偶数）（为奇数）nnnnxn1(，求证：，求证：nnnnnxxnn2241141) 12)(12(11424244122显然成立nnnnn11121) 11(21.3221(2nnn）左* *例例1 1、数列、数列 满足：满足：求求 的整数部分。的整数部分。解：解： ( (三三) )其他结构裂项其他结构裂项例例2 2、 求证：求证：证：证：)121121(23) 12)(12(223123)2(222332234211211nnnnnnnnnnnnT累加得证。累加得证。分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行调
14、整。所以调整。所以配积取倒凑差配积取倒凑差是裂项的基本思想方法。是裂项的基本思想方法。例例3 3、(2015(2015重庆重庆22)22)：背景：背景：递归数列，数列不等式。递归数列，数列不等式。策略：策略：递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新数列，数列单调性数列，数列单调性( (有界性有界性) )，放缩法。，放缩法。解析解析(1)(1)解析解析(2)(2)解析解析(2)(2)(.)()(0001231211kkkaaaaaaaa)11.1111(113002010000kakakakkkk13121312)11.1111(113000000201000
15、100kkkkkakakakkkakk22131200010nkakkka又12121212)11.1111(113000000201000100kkkkkakakakkkakk* *例例4 4、(2015(2015浙江浙江20)20)：背景：背景：递归数列，数列不等式。递归数列，数列不等式。策略：策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。裂项求和，放缩法。解析解析(1)(1)解析解析(2)(2)11322121)(.)()(nnnnaaaaaaaS) 1(21212211nnanSnnn练习：练习：证：证：) 11(21.1121
16、naaan* *1 1、设、设1111naaann，求证：求证：1111111nnnnnnnaaaaanaa) 11(2211.1121121121naaaaaaaaaaannnnn证：证：645.21nbbb2 2、设、设22)2(12nnnannbna，求证：，求证：)2(11161)2(44161)2(41222222nnnnnnnnbn645)211 (161)2(1) 1(1()211(161)2(1.31()1.211(161.2222222221nnnnbbbn证：证：)2(211.1111121naaan3 3、设、设21121aaaannn，求证：求证：nnnnnnnnaaa
17、aaaaa111)1 (11)1 (1111111nnnaaa)11(.)11()11(13221nnaaaaaaS中1111211nnaaa)2 , 1 (131Saan解解(1)(1)：na）求（14 4、设、设1).(21111aaaanann，12.1) 1(211ananaannannnn作差)2( nnan)( 1,1,212211knbbbabbbnnnknn求证：满足：）（).(2111nnaaana)2)(.(2) 1(111naaaannn适合11anan所以证证(2)(2)：nnnbbkbb2111,21增0.11nnnbbbb系放缩，寻找递归不等关直接求通项不易，只有k
18、bbbbkbkbbnnnnnnn111111121kkkkbbbbbbbbkkkkk12) 1)(1(1)11(.)11()11(1112211)( 111knbkkbnk五、等比放缩五、等比放缩 等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一个常数，转化为等比数列求和处理。个常数，转化为等比数列求和处理。 基本结论：基本结论：*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证：证：.)121()21()221)(21()121)(21(2211212211iiiii
19、)121()21(11i) 3(6112114134.)21()21(31132nSn*例2、求证：所以所以左=（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证法证法1 1：611611321nSSSS2122212122121212111111nnnnnnnnaa例2、求证：其余同法1证法证法2 2：例3、求证：所以左证：证：313131131131311212122121nnnnnnaa)2( 33112.2)31(.2)31(231212nSnn3321nSSS例4、求证：证：证：416201165145145122nnnnnbnnnnnn1625)16(16254163)16(16
20、2522233411 bT234869.)1611612534232（时，nTn例5、求证：证法证法1 1：证法证法2 2：练习：练习：证：证：21 nan）（1 1、设、设3, 1121anaaannn，求证：，求证：21312)2(1)(12211121naknkkkaakaaakaknnnkkkkkk所以成立所以成立即）假设成立）数学归纳法（2111.1111221naaa）（121)(11)(21nnnnnnanaaaaaf）结论，联系（）注意结构考虑（1111122) 1(1211121nnnnnnnaaaaaa）（21.161814121111左nna解：解：nnnaPGaa，求）
21、若（112 2、设、设5,62111aaaaannn211.11321naaa）求证：（1134112kkkaak为奇数时，）求证：（1 -11 -11 -16)1 (61nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa）（为常数qaaaannnn1 -116)1 (3216或111315231522nnnnnaaqaa，等比，首项时，111)2(10321033nnnnnaaqaa，等比，首项时，1)2(3nna联立解得0)23)(23(3)23(784)23)(23(34867342312313411211111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaak为奇数时，）（1
22、13411kkkaa所以11341123kkkaak为奇数时，）由（2191194.3434341.1164221naaan为偶数，则若。综上为奇数，则若211.112111.111.112112121nnnnaaaaaaaaaan六、二项式定理放缩六、二项式定理放缩 二项式定理将二项式定理将n n的指数形式和幂形式结合起来，的指数形式和幂形式结合起来，只取展开式的有限项就建立了不等关系。只取展开式的有限项就建立了不等关系。 基本结论：基本结论：例1、求证：证：证：例2、解：解：例3、证明贝努利不等式证法证法1 1：函数法：函数法证法证法2 2：二项式定理法：二项式定理法但不能说明但不能说明x
23、 x在在-1,0-1,0的情况。的情况。证法证法3 3：数学归纳法：数学归纳法*例4、求证：证：证：2.)1(11)11 (221nCnCnnnnnnnnnnnnCnCnCnCn)1(.)1()1(11)11 (33221121!1121!1)1(!) 1).(2)(1()1(kkkknknknnnnnnnknkknnnnnC321111.)21(2111)11 (2nn所以综上得证。综上得证。练习：练习：证：证：1 1、设、设2, 1nNna求证：求证：)0(1)1 (1)1 ()1 (1xnxxnxxxaxannnn即证令naan11已证。即贝努利不等式，前面证证1 1：2 2、求证：、求
24、证：), 0,(2)2(Nnbababannn显然成立1n)(0)(2)(22Ababannnnn 时，即证).(2).)()(2)(2222110210nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbCbaCbaCaCCCCCbababa0)()()(kkknknknknkkknnnknknkknnkknknknnnbabaCbababaCbaCbaCCba因为成立，得证求和从)(0Ank证证2 2：yxbyxaybaxba,22，令时显然成立，21nn得证。因为)0()2(.)()(212444222xbaxyxCyxCxyxyxbannnnnnnnnnn证：即证证：即证3 3、求证：、求证：n
25、nn2ln)211ln(2ln3ln2)211 (23nn23.)21(211)211 (221nCnCnnnnnnnnnnnnCnCnCnCn)21(.)21()21(211)211 (33221kkkknnknnnnnnnknkknnnnnC)21(12122212!1)21(!) 1).(2)(1()21(2.)21(211)211 (2nn所以综上得证。综上得证。4 4、解解(1)(1)：111nnanaa，证证(2)(2)：nnnnnnnnCnCnCnCn)1(.)1()1(11)11 (33221kkknkkknanCknknnnnnnnknkknnnnnC)1(!1121!1)1(!) 1).(2)(1()1(5 5、(2013(2013湖北湖北) )设设n n是正整数，是正整数，r r是正有理数是正有理数解解(1)(1)：证证(2)(2)：rrrrrnnrnnrnnnrn)11 (11) 1()11 (1) 1() 1(11成立。时验证成立，所以，因为)(1)2(111)11 (Annnrnrnr立。成立，综上不等式组成同理证)(B
