1、 1.3.2 球的体积和表面积 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？ 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？ 思考思考1:1:怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形，
2、怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象H 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的“极限”思想已知球的半径为已知球的半径为R,用用V表示球的体积表示球的体积.AO334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是思
3、考思考2:2:球面不能展开成平面图形，所以求球的表面球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式式分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321iViSOO.42RS从而思考思考3:3:经过球心的截面圆叫做大圆，其面积是什么？它与经过球心的截面圆叫做大圆
4、，其面积是什么？它与球的表面积有什么关系？球的表面积有什么关系？ 球的表面积等于球的大圆面球的表面积等于球的大圆面积的积的4 4倍倍. .(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. .(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍. .(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 . .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 . .2422:134:1 影响球的表面积
5、及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径就是球的半径. . 例例2 2 圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径. .求证：求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23例例3 3 长方体一个顶点上的三条棱长分别是长方体一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,3,4,5,且它的八个且它的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是_._.ABCDD1C1A1OB1正（长）方体的外接球的直径正（长）方体的外接
6、球的直径等于正（长）方体的体对角线。等于正（长）方体的体对角线。O变式变式ABCC1A1OB1O正方体的内切球的直正方体的内切球的直径等于正方体的边长。径等于正方体的边长。正方体的棱切球的直径正方体的棱切球的直径等于正方体的面对角线。等于正方体的面对角线。例例4 432414如图，表面积为正四棱柱（即底面是正方形的长方体）的高是，求这个正四棱柱的表面积.的球，其内接64232 14576S表1.1.球的体积和表面积的推导方法：球的体积和表面积的推导方法： 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和 2. 2.影响球的表面积及体积的只有一个元影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径素，就是球的半径. .
