1、相似三角形习题课相似三角形习题课一、基本图形一、基本图形 几何图形大都是由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速准确地识别相似三角形，从而顺利地找到解题的思路和方法。平行平行ABCDE如图，若如图，若DEBC，则，则ADEABC.A型型X型型ABCED 例例1 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，E是是AB延长线上一点，连结延长线上一点，连结DE，交，交AC于于点点G,交交BC于点于点F，则图中相似三角形，则图中相似三角形（不含全等三角形）共有（不含全等三角形）共有 对。对。AGFECBD5如图，若如图，若 ，则，则AEDABC.EDCBAAED=BADE=
2、CABAEACADEDCBA 例例2 如图，如图，D、E分别为分别为ABC的边的边AC、AB上的点，上的点，BD、CE相交于点相交于点O，且，且ABD=ACE，试问，试问ADE与与ABC相似吗？相似吗？如果相似，请说明理由如果相似，请说明理由.OEDCBAEDCBA(E)DCBADCBA如图，若如图，若 ，则，则ACDABC.ACD=BADC=ACBACADACABACACAD2即：DCBA 例例3 如图，如图，ABC=ACD，AD=8，BD=6，则，则AC= . 例例4 如图，已知如图，已知CD是直角是直角ABC斜边斜边上的高，求证：上的高，求证：ABCACDCBD.ABCDABCDABCA
3、CDABCCBDACDCBDBCABBDBCACABADACCDADBDCDBDADCD2ABADAC2ABBDBC2射影定理：射影定理：若若CD是是RtABC斜边斜边上的高上的高,则：则：射影图：射影图： 例例5 如图，如图，RtABC中，中，CAB= AEBC于点于点E，BE：EC=1:3，AB=4，求求BC的长的长.090ECBAEDCBAEDCBAEDCBABCAAEAAD如图，如图， ，若，若 ，则，则AEDABC.BAD=CAED=CE=B 例例6 如图，如图，1=2，3=4，试说明试说明ABCDBEEDCBA4321一、基本图形一、基本图形 通常能在复杂图形中辨认出上述基本图形，
4、或能通常能在复杂图形中辨认出上述基本图形，或能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，就能使问题得以解决就能使问题得以解决.ABCDEABCEDEDCBAEDCBADCBAABCDEDCBA二、判定三角形相似的二、判定三角形相似的解题思路解题思路 根据已知条件，灵活运用相似三角形的六种判定方法解题.1) 1)先找两对内角对应相等先找两对内角对应相等( (对平行线型找平行线对平行线型找平行线) )；2)2)再找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否成比例再找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否成比例( (对直角三角形也可看斜边和一组直角边是否成比
5、例对直角三角形也可看斜边和一组直角边是否成比例) )； 3) 3)若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例. .a)已知一对等角找另一对等角(判定定理3)找夹边成比例找夹边成比例(判定定理2)b)己知两边成比例找夹角相等找夹角相等(判定定理2)找第三边也成比例找第三边也成比例(判定定理1)c)已知一对直角找另一对等角(判定定理3)找两边成比例找两边成比例(判定定理3或4)d)两等腰三角形找顶角或底角相等(判定定理3)找底和腰成比例找底和腰成比例(判定定理1) e)e)相似形的传递性相似形的传递性 若若1 12 2，2 23 3，则，则1 13 3
6、三、证明比例式或三、证明比例式或等积式的方法等积式的方法三点定形法等线代换法等比代换法等积代换法（一）三点定形法（一）三点定形法l即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。（一）三点定形法（一）三点定形法例例1 1：已知：已知: :如图如图,ABC,ABC中中,CEAB,BFAC.,CEAB,BFAC.求证求
7、证: : （判断（判断“横定横定”还还是是“竖定竖定”？ ）例例2 2：如图，如图，CD是是RtABC的斜边的斜边AB上的高，上的高，BAC的平分线分别交的平分线分别交BC、CD于点于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。吗？说明理由。分析方法：分析方法：1 1）先将积式化成）先将积式化成_2 2）_（ “ “横定横定”还是还是“竖定竖定”？ ）（一）三点定形法（一）三点定形法例例3 3：已知：如图，：已知：如图，ABCABC中，中，ACB=90ACB=900 0，ABAB的的垂直平分线交垂直平分线交ABAB于于D D，交，交BCBC延长线于延长线于F F。求证：求证：CDCD2 2=DE
8、=DEDFDF。 分析方法：分析方法：1 1）先将积式）先将积式化为化为_2 2）_（ “ “横定横定”还是还是“竖定竖定”？ ）（一）三点定形法（一）三点定形法（二）等线代换法（二）等线代换法l遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例例4：如图：如图3，A
9、BC中，中，AD平分平分BAC， AD的垂直平分线的垂直平分线FE交交BC的延长线于的延长线于E求证：求证：DE2BECE（二）等线代换法（二）等线代换法（三）等比代换法（三）等比代换法l当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。（三）等比代换法（三）等比代换法例例5：如图：如图4，在，在ABC中，中，BAC=90，ADBC，E是是AC的中点，的中点，ED交交AB的的延长线于点延长线于点F求证：求证：（四）等积
10、代换法（四）等积代换法l思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。（四）等积代换法（四）等积代换法例例6：如图：如图5，在，在ABC中，中，ACB=90，CD是斜边是斜边AB上的高，上的高，G是是DC延长线上一点，延长线上一点，过过B作作BEAG，垂足为，垂足为E，交，交CD于点于点F求证：求证：CD2DFDG四、相似三角形中的辅四、相似三角形中的辅助线助线 作平行线作垂线作延长线作中线（一）作平行线
11、（一）作平行线例1：如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求BE：EF的值.DABCEFDABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.则，1AEDEFEPE, 2DCBDPFBPPE=EFBP=2PF=4EF，所以所以BE=5EFDABCEFnn解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，则2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk2
12、kDABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2ky?y5y，则DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE（二）作垂线（二）作垂线l例2：如图从平行四边形ABCD顶点C向AB和ADl的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，l求证：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N （1） （2） 又
13、AN=CM 又 （1）+（2）（三）作延长线（三）作延长线l例5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCDl的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形lAHCD的面积为21，求HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比加以解决。化为相似三角形的面积比加以解决。 解：解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC：SSPADPBC 19SSPCHPBC12：四边形SSP
14、ADAHCD 27四边形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1227（四）作中线（四）作中线l例4：如图，中，ABAC，AEBC于E，D在ACl边上，若BD=DC=EC=1，求AC。DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC 32AC解：解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1） 又 又 EC=1 由（1）（2）得， （2） MACDBC小结：小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
