1、函数极值和函数极值的求法经济数学在微观经济学中的运用.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称
2、为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x极值和极值点极值和极值点二、函数极值的求法一元函数 设设)(xf在在点点 0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . ( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是
3、它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x图形xyo0 x xyo0 x xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)充分条件充分条件 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值; ;(2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(
4、的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求极值求极值二元函数的极值二元函数的极值1、无约束极值、无约束极值定义定义对于该邻域内任一点对于该邻域内任一点)y,x(, 若恒有不等式若恒有不等式)y,x(f)y,x(f).00 1 则称该函数在点则称该函数在点 P 处有处有极大值极大值),(00yxf)y,x(f)y, x(f).00 2 则称该函数在点则称该函数在点P 处有处有极小值极小值),(00yxf极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值.如如,函数函数2243yxz在点在点)0 , 0(处
5、取得极小值处取得极小值.)(222yxz在点在点)0 , 0(处取得极大值处取得极大值.),(yxfz 在点在点),(00yxP某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理(必要条件必要条件) 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx处偏导数处偏导数存在存在,并取得极值并取得极值, 则则000000 )y,x(f,)y,x(fyx证明证明:不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处取得处取得极大值极大值.则则,)y,x(f)y,x(f00 , 特别地特别地,取取0yy 有有)y,x(f)y,x(f000 在在
6、x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,000 )y,x(fx同理同理,000 )y,x(fy,使使0 )y,x(fx0 )y, x(fy 同时成立的点同时成立的点,)y, x(fz 的的驻点驻点.称为函数称为函数 考虑一元函数考虑一元函数)y,x(f0充分条件f (x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： (1) AC B 20时具有极值，且当A0时有极小值； (2) AC B 20时没有极值； (3) AC B 20时可能有极值，也可能没有极值步骤：步骤：yxff)( ，求求1（2）求出驻点）求出驻点( x0 , y0 )（3）求出
7、在驻点）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值处对应的二阶偏导数值A,B,C求函数求函数)y,x(fz 极值的方法和步骤极值的方法和步骤.2、条件极值、条件极值 （拉格朗日乘数法）（拉格朗日乘数法）求函数求函数)y,x(fz 在条件在条件0 )y,x(g下的极值。下的极值。拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：（1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:),( yxg)y,x(f),y,x(L (为常数为常数)(2). 联立联立 000)y,x(gLgfLgfLyyyxxx 解得解得, yx则点则点),(yx可能为极值点可能为极值点.(3). 再讨论再讨论. (根据实际问题的实际意义可
8、以判断根据实际问题的实际意义可以判断.)求函数求函数)z ,y,x(fw 在条件在条件0 )z , y,x(g下的极值。下的极值。（1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:),( z ,yxg)z ,y,x(f), z ,y,x(L (为常数为常数)(2). 联立联立 0000)z , y,x(gLgfLgfLgfLzzzyyyxxx 解得解得 , z , y,x推广推广 求函数求函数)z ,y,x(fu 在满足条件在满足条件00 )z , y,x(h,)z , y,x(g下的极值下的极值.构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:)z ,y,x(h)z ,y,x(g)z ,y,x(f)z ,y,x(F21 0000021212121)z , y,x(hF)z , y,x(gFhgfFhgfFhgfFzzzzyyyyxxxx 联立联立解得解得),(zyx
