1、矩形矩形的折叠问题的折叠问题（复习课）（复习课） 几何研究的对象是：几何研究的对象是：图形的形状、大小、图形的形状、大小、位置关系；位置关系； 主要培养三方面的能力：主要培养三方面的能力：思维分析能力、思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力；空间想象能力和逻辑推理能力； 折叠型问题的特点是：折叠型问题的特点是：折叠后的图形具折叠后的图形具有轴对称图形的性质；有轴对称图形的性质； 两方面的应用：两方面的应用：一、在一、在“大小大小”方面的方面的应用；二、在应用；二、在“位置位置”方面的应用。方面的应用。 折叠型问题在折叠型问题在“大小大小”方面的应用，通常有求方面的应用，通常有求线段的长，角的
2、度数，图形的周长与面积的变化关线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关系等问题。系等问题。一、在一、在“大小大小”方面的应方面的应用用1、求线段与线段的大小关系、求线段与线段的大小关系例例1 如图，如图，AD是是ABC的中线，的中线， ADC=45，把把ADC沿沿AD对对折，点折，点C落在点落在点C的位置，求的位置，求BC与与BC之间的数量关系。之间的数量关系。ABCDC解解 由轴对称可知由轴对称可知 ADC ADC , ADC= ADC=45, CD=CD=BDBC D为为Rt BC= 2 BD= BC 22练习练习1 如图，有一块直角三角形如图，有一块直角三角形纸片，两直角边纸片，两直
3、角边AC=6，BC=8，现将直角边现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，折叠，使它落在斜边使它落在斜边AB上，且与上，且与AE重重合，则合，则CD等于（等于（ ） (A)2 (B)3 (C )4 (D)5ACBDE例例2 如图，折叠矩形的一边如图，折叠矩形的一边AD，点，点D落在落在BC边上点边上点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，则，则EC的长是的长是 。BCADEF解解 设设EC=x，则，则DE=8-x，由轴对称可，由轴对称可知：知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因，又因AB=8，故，故BF=6，故，故FC=BC-BF=4。在。在RtFCE中，中，42+x2=(8-x)2，解
4、之得，解之得x=3B练习练习2 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，DC AB，将梯形对折，使点，将梯形对折，使点D、C分别落在分别落在AB上的上的D、C处，处，折痕为折痕为EF。若。若CD=3，EF=4，则则AD+BC= 。ABDCFEDC2练习练习3 如图，将矩形如图，将矩形ABCD纸片纸片对折，设折痕为对折，设折痕为MN，再把，再把B点叠点叠在折痕线在折痕线MN上，若上，若AB= 3，则，则折痕折痕AE的长为（的长为（ ）。）。 (A) 3 3/2 (B) 3 3/4 (C ) 2 (D) 2 3ABCDBNGMEC2、求角的度数、求角的度数例例3 将长方形将长方形ABCD的纸片，的
5、纸片，沿沿EF折成如图所示；已知折成如图所示；已知 EFG=55，则则 FGE= 。BCADFEDCG70练习练习4 如图，矩形如图，矩形ABCD沿沿BE折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上边上的的F点处，如果点处，如果 ABF=60，则则 CBE等于（等于（ ）。）。 (A)15 (B)30 (C )45 (D)60ABCDEFA3、求图形的全等、相似和图形的周长、求图形的全等、相似和图形的周长例例4 如图，折叠矩形如图，折叠矩形ABCD一边一边AD，使点使点D落在落在BC边的一点边的一点F处，已知折处，已知折痕痕AE=5 5 cm，且，且tan EFC=3/4. (1)求证：求证：AFB
6、FEC； (2)求矩形求矩形ABCD的周长。的周长。BADCEF练习练习5 如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿一对角线沿一对角线BD折叠一次（折痕折叠一次（折痕与折叠后得到的图形用虚线表与折叠后得到的图形用虚线表示），将得到的所有的全等三角示），将得到的所有的全等三角形（包括实线、虚线在内）用符形（包括实线、虚线在内）用符号写出来。号写出来。BADCEF练习练习6 如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCD，若把若把ABE沿折痕沿折痕BE上翻，使上翻，使A点恰好落在点恰好落在CD上，此时，上，此时，AE:ED=5:3，BE=5 5，求矩形求矩形的长和宽。的长和宽。ADCBEF答案：答案：AB
7、D CDB, CDB EDB, EDB ABD, ABF EDF.答案：矩形的长为答案：矩形的长为10，宽为，宽为8。4、求线段与面积间的变化关系、求线段与面积间的变化关系例例5 5 已知一三角形纸片已知一三角形纸片ABCABC，面积为，面积为2525，BCBC的长为的长为1010， B B和和 C C都为锐角，都为锐角，M M为为ABAB上的一动点上的一动点(M(M与与A A、B B不重合不重合) )，过点，过点M M作作MNBCMNBC，交，交ACAC于点于点N N，设，设MN=x. MN=x. (1)(1)用用x x表示表示AMNAMN的面积的面积S SAAMN。 (2)AMN(2)AM
8、N沿沿MNMN折叠，设点折叠，设点A A关于关于AMNAMN对称的点为对称的点为A A，AAMNMN与四边形与四边形BCMNBCMN重叠部分的面积为重叠部分的面积为y.y.试求出试求出y y与与x x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量X X的取值范围；的取值范围；当当x x为何值时，重叠部分的面积为何值时，重叠部分的面积y y最大，最大为多最大，最大为多少？少？练习练习7 如图，把一张边长为如图，把一张边长为a的正的正方形的纸进行折叠，使方形的纸进行折叠，使B点落在点落在AD上，问上，问B点落在点落在AD的什么位置时，的什么位置时，折起的面积最小，并求出这最小值。折起的面积最
9、小，并求出这最小值。ABCDMEGNABCDMEGNFO解：解： 如图，设如图，设MN为折痕，折起部为折痕，折起部分为梯形分为梯形EGNM，B、E关于关于MN对对称，所以称，所以BEMN，且，且BO=EO，设，设AE=x，则，则BE= 。由由RtMOB ，得：，得： ，BM= = = .作作NFAB于于F，则有，则有RtMNF ,FM=AE=x,从从而而CN=BM-FM= = 。S梯形梯形BCNM= 。=(x-a/2)2+3/8 a2 . 当当x=a2 时，时，Smin=(38 )a2.例例6 将长方形将长方形ABCD的纸片，的纸片，沿沿EF折成如图所示，延长折成如图所示，延长CE交交AD于于
10、H，连结，连结GH。求证：。求证：EF与与GH互相垂直平分。互相垂直平分。BCADFEDCGH二、在二、在“位置位置”方面的应用方面的应用 由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。1、线段与线段的位置关系、线段与线段的位置关系证明：证明：由题意知由题意知FHGE，FGHE， 。又又 ，四边形四边形 是是 ，FE与与GH互相垂直平分。互相垂直平分。2、点的位置的确定、点的位置的确定例例7 已知：如图，矩形已知：如图，矩形AOBC，以以O为坐标原点，为坐标原点，OB、OA分别分别在在
11、x轴，轴，y轴上，点轴上，点A坐标为坐标为(0,3)，OAB=60，以，以AB为轴对折后，为轴对折后，使使C点落在点落在D点处，求点处，求D点坐标。点坐标。OABCDx y 解由题意知，解由题意知，OA=3，OAB=60，OB=3tan60=33 .RtACB RtADB, AD=AC=OB=33 .OABCDExy过点过点D作作Y轴垂线，垂足为轴垂线，垂足为E，在直角三角形在直角三角形AED中，中，ED= ，AE= ，故，故OE= 。故点故点D的坐标为（的坐标为（3/23 ，- 3/2）。）。练习练习8 如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90，沿着沿着B点的一条直线点的一
12、条直线BE折折叠这个三角形，使叠这个三角形，使C点与点与AB边上的边上的一点一点D重合。当重合。当A满足什么条件时，满足什么条件时，点点D恰好是恰好是AB的中点？写出一个你的中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证认为适当的条件，并利用此条件证明明D为为AB中点。中点。ABCED条件：条件：A=30证明：证明：由轴对称可得，由轴对称可得，BCE BDE， BC=BD ，在在ABC中，中， C=90 ，A=30 ， BC= AB ， BD = AB ，即点即点D为为AB的中点。的中点。1 1、如图，将矩形、如图，将矩形ABCDABCD沿沿AEAE折叠，使点折叠，使点D D落落 在在BCBC
13、边上的边上的F F点处。点处。（1 1）若）若BAFBAF6060，求，求EAFEAF的度数；的度数；（2 2）若）若ABAB6cm6cm， ADAD10cm10cm， 求线段求线段CECE的的 长及长及AEFAEF的的 面积面积. .2 2、如图，矩形纸片、如图，矩形纸片ABCDABCD中，现将中，现将A A、C C重合，使重合，使纸片折叠压平，设折痕为纸片折叠压平，设折痕为EFEF。ABECDFG（1 1）连结）连结CFCF，四边形，四边形AECFAECF是是什么特殊的四边形？为什么？什么特殊的四边形？为什么？（2 2）若）若ABAB4cm4cm，ADAD8cm8cm，你能求出线段你能求出
14、线段BEBE及折痕及折痕EFEF的的长吗？长吗？3 3、在平面直角坐标系中，矩形、在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的两边的两边OAOA、OCOC分别落在分别落在x x轴，轴，y y轴上，且轴上，且OA=4OA=4，0C=30C=3。（1 1）求对角线）求对角线OBOB所在直线的解析式；所在直线的解析式；OCABxy3 3、在平面直角坐标系中，矩形、在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的两边的两边OAOA、OCOC分别落在分别落在x x轴，轴，y y轴上，且轴上，且OA=4OA=4，0C=30C=3。（2 2）如图，将）如图，将OABOAB沿对角线沿对角线OBOB翻折得到翻折得到OBNOBN，ONON与与ABAB交于点交于点M M。OCABxy 试求直线试求直线MNMN的解析式的解析式. . 判断判断OBMOBM是什么三角形，并说明理由；是什么三角形，并说明理由；
