1、 本章叙述了两面投影体系和三面投影体系的形成规律，通过画点的三面投影，掌握点的投影规律以及点的投影与直角坐标的关系。并且学习直线的投影、了解直线上的点的特性以及两直线的相对位置，学会用直角三角形法求直线的实长。 A A点点A A的的水平投影水平投影 a 点点A A的的正面投影正面投影 a 点点A A的侧面的侧面投影投影 a V V 正投影面正投影面第一节第一节 点的投影点的投影点的投影点的投影aaaaxaYazH H 水平投影面水平投影面W W 侧立投影面侧立投影面WHaaa点的投影点的投影Ha aa VWXOYWaxazaYHaYWZYH45 角平分角平分线线ZYHa aa XOYWaxaY
2、HaYWaz点的三面投影图点的三面投影图点的投影点的投影点的投影点的投影A AaaaaxaYaz点的点的X X坐标等于点到坐标等于点到侧侧投影面的距离投影面的距离点的点的Y Y坐标等于点到坐标等于点到正正投影面的距离投影面的距离点的点的坐标等于点到坐标等于点到水水平投影面的距离平投影面的距离ZYHa aa XOYWaxaYHaYWaz1. aa X轴，aaz = aayH = XA点的投影点的投影2. aaZ轴， aax =aayW = ZA3. aax = aaz =YA1.1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直点的正面投影和水平投影的连线垂直x x轴，两个轴，两个投影都反映空间点的投影都反
3、映空间点的x x坐标。坐标。2.2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直点的正面投影和侧面投影的连线垂直z z轴，两个轴，两个投影都反映空间点的投影都反映空间点的z z坐标。坐标。3.3. 点的水平投影到点的水平投影到x x轴的距离等于侧面投影到轴的距离等于侧面投影到z z轴轴的距离，两个投影都反映空间点的的距离，两个投影都反映空间点的y y坐标。坐标。点的投影点的投影nnnm mk 点的投影点的投影OZYHXYWn n nmm m k kk 空间点空间点 三个坐标均不为零，其三个投影都不在投三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。影轴上。投影面上的点投影面上的点 一个坐标为零，两个投影分别
4、在两一个坐标为零，两个投影分别在两个投影轴上。个投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点 两个坐标为零，两个投影与投影轴上两个坐标为零，两个投影与投影轴上重合，另一投影在原点。重合，另一投影在原点。点的投影点的投影 已知已知D D点的两个投影点的两个投影d d 、d d ，求出求出其第三投影其第三投影d d 。点的投影点的投影dd d YHXYWZOZYHXYWaa a 1015b b b3010c O15c c20点的投影点的投影已知A点的坐标（20，15，10），B点的坐标（30，10，0） 。C点的坐标（15，0，0），作出三面投影图 。练习练习根据点的三面投影判断空间点的位置根据点的三面投影
5、判断空间点的位置第二节第二节 两点的相对位置两点的相对位置aaabbb两点相对位置两点相对位置ZYHb bb XOYWa a a两点相对位置两点相对位置ee（c）ec（d）cdd两点的相对位置两点的相对位置当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，对当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，对某一投影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的某一投影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的重影点。重影点。ZYHXOYWe ee c c (c)(d )d d C C点和点和D D点：点：X XC CX XD D，Z ZC C Z ZD D， Y YC CY YD D C C点在
6、点在D D点的正前方点的正前方C C点和点和E E点：点：X XC CX XE E，Y YC C Y YE E， Z ZE EZ ZC C C C点在点在E E点的正下方。点的正下方。C两点相对位置两点相对位置 例题例题 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a a a985b b b ZYHXYW两点相对位置两点相对位置第三节第三节 直线的投影直线的投影ABbbabaa直线的投影直线的投影ZXOYHYWbaabab直线的投影直线的投影1.1. 投影面倾斜线投影面倾斜线：和三个投影面都倾斜。和三个投影面都倾斜。 2.2. 投影面平行线：投影面平行线：平行于一个投影面且
7、与其他两个投影平行于一个投影面且与其他两个投影面倾斜。面倾斜。 正平线 水平线 侧平线3.3.投影面垂直线：投影面垂直线：垂直于一个投影面且与其他两个投影面垂直于一个投影面且与其他两个投影面平行。平行。 正垂线 铅垂线 侧垂线 直线的投影直线的投影ZYXa b aba b OAB a b、 a b 、a b 均小于实长；均小于实长；a b、a b 、a b 均均倾斜于投影轴；倾斜于投影轴；投影投影a b、 a b 、a b 不能反映不能反映 、 、 实际大小实际大小；直线的投影直线的投影ZYXaa b a b b Xa b a b baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1 ab OX ;
8、 a b OZ 2 a b =AB 3 反映反映 、 角的真实大小角的真实大小直线的投影直线的投影ZYXaa b a bb Xa b a b baOZYHYW AB投影特性：投影特性：1a b OX ; a b OYW 2 ab=AB 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小直线的投影直线的投影ZYXaa b a b b AB投影特性：投影特性： 1 a b OZ ; ab OYH 2 a b =AB 3反映反映 、 角的真实大小角的真实大小XZa b b baOYHYWa 直线的投影直线的投影ZYXbb (a )a b aABZXb (a )b aOYHYWa b投影特性：投影特性： 1 a
9、 b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OX ; a b OZ 3 ab = a b =AB直线的投影直线的投影ZYXb a(b)a a b Zb Xa b a(b)OYHYWa AB投影特性：投影特性：1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB直线的投影直线的投影ZYXABba a (b )ab ZXa (b )b aOYHYWa b投影特性：投影特性： 1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OYH ; a b OZ 3 ab = a b =AB直线的投影直线的投影MNCEA正平线侧平线水平线铅垂线侧垂线正垂线 分析立体上
10、各条直线的投影特性。BDF倾斜线直线的投影直线的投影正垂正垂侧侧平平倾倾斜斜正平正平 分析立体上各条直线的投影特性。直线的投影直线的投影bbaaXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(1)(1)结论结论:一般位置直一般位置直线线baXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(2)(2)ab结论结论:正平正平线线baXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(3)(3)a(b)结论结论:在水平面上的在水平面上的侧侧垂垂线线baXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(4)(4)a(b)结论结论:铅铅垂垂
11、线线baXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(5)(5)ab结论结论:侧侧平平线线baXoYWYHz 判断直线相对投影面的位置判断直线相对投影面的位置(6)(6)ab结论结论:在水平面上的直在水平面上的直线线ABbabaB1BB1=|zA-zB|第四节第四节 直线段的实长和对投影面的倾角直线段的实长和对投影面的倾角AB2=|yA-yB|B2实长与倾角实长与倾角AB1=abBB2=abXaabb|zA-zB|ab实长实长|zA-zB|实长实长 以直线在某一投影面上的投影长为一条直角边，再以直线段的两以直线在某一投影面上的投影长为一条直角边，再以直线段的两端点对该投影面
12、的坐标差为另一条直角边，所作的直角三角形的斜边端点对该投影面的坐标差为另一条直角边，所作的直角三角形的斜边为直线段的实长，斜边与投影长之间的夹角为直线对投影面的倾角。为直线段的实长，斜边与投影长之间的夹角为直线对投影面的倾角。实长与倾角实长与倾角Xaabbab实长实长|yA-yB|实长实长实长与倾角实长与倾角|yA-yB|例题例题 已知直线AB的实长L和a b 及a ，求水平投影ab 。aXa b ABL Lb1b2a b A0b0R RL L实长与倾角实长与倾角第五节第五节 点、直线与直线的相对位置点、直线与直线的相对位置 点在直线上，则点的各个投影必在直线点在直线上，则点的各个投影必在直线
13、的同面投影上；反之，点的各个投影在直的同面投影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。线的同面投影上，则该点一定在直线上。 点分割线段成定比，则分割两线段的各点分割线段成定比，则分割两线段的各个同面投影之比等于其两线段之比。个同面投影之比等于其两线段之比。点线位置点线位置ABbbabaacc”cZXabaOYHYWabbc c c点线位置点线位置A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b s Xabba已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s，求水平投影s。ZYHYWabssabasXs abbas点线位置点线位置1.平行
14、两直线2.相交两直线 3.交叉两直线4.例题 线线位置线线位置ZXcbaOYHYWabdabcddc 空间两平行直线的投影必定互相平行。空间两平行直线的投影必定互相平行。ABCDabcdH线线位置线线位置HABCDabcdkYWZXcbaOYHabdabcddc空间两相交直线的投影必定相交，且两直线交点的投影空间两相交直线的投影必定相交，且两直线交点的投影必定为两直线投影的交点。必定为两直线投影的交点。线线位置线线位置kk k KHABCDXcabdabcdabcd既不平行又不相交的两直线称为交叉直线。既不平行又不相交的两直线称为交叉直线。线线位置线线位置HABCDabcdXcabdabcd1
15、 (2 )123(4)4 3 1(2)线线位置线线位置交叉直线中交叉直线中重影点重影点的投影及可见性判别的投影及可见性判别Xcabdabcd 判断两直线的相对位置121(2)线线位置线线位置Xcabdabcdk kABAB、CDCD平行平行ABAB、CDCD交叉交叉dacboYWYHzb 判断两直线的相对位置线线位置线线位置dcdbaacxcdbaacx11dc 1db1线线位置线线位置ABCH当当相交相交的两直线互相垂直，且其中有一条直线为投影面平行线，则两的两直线互相垂直，且其中有一条直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影必定互相垂直。此投影特性称为直线在该投影面上的投影必定互相垂
16、直。此投影特性称为。反之反之，如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条，如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为投影面平行线，则两直线在空间也必定互相垂直。直线为投影面平行线，则两直线在空间也必定互相垂直。交叉两直线也符合此投影特性交叉两直线也符合此投影特性线线位置线线位置abcXbabaccXbaabddABCHabcDdcc 求AB、CD两直线的公垂线。kee线线位置线线位置kffeeaabbcXddc过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 线线位置线线位置X已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影。mm线线位
17、置线线位置bdkackbdacb 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaamnXmn线线位置线线位置1. 1. 工程制图中广泛应用的表达方法是正投影法。工程制图中广泛应用的表达方法是正投影法。 2. 2. 已知点的三个坐标（已知点的三个坐标（x x，y y，z z）即可确定点在空间的位置。）即可确定点在空间的位置。3. A3. A点在三投影面体系中的投影规律为点在三投影面体系中的投影规律为4. 4. 已知点的两个投影不能确定点在空间的位置。已知点的两个投影不能确定点在空间的位置。5. 5. 点的一个投影与原点重合，则该点一定在
18、投影轴上。点的一个投影与原点重合，则该点一定在投影轴上。 6. 6. 点的两个投影分别在两个投影轴上，则点一定在投影面上。点的两个投影分别在两个投影轴上，则点一定在投影面上。7. 7. 点的三个投影有可能在三个投影轴上。点的三个投影有可能在三个投影轴上。8. A8. A、B B两点如两点如X XA A X XB B , Y , YA A Y Z ZB B , , 则则A A点在点在B B点的点的左、后、上左、后、上 （1）a a X轴轴（2 ）a a Z轴轴（3 ） aax = a az = ya 9. 9. 如空间两个点仅对某一投影面有重合投影，则该两点的如空间两个点仅对某一投影面有重合投影
19、，则该两点的 坐标值中有几个相同。坐标值中有几个相同。A.A.一个一个 B.B.两个两个 C.C.三个三个 10. 10. 已知已知C C（1515，2020，2020）、）、 D D（1515，2525，2020）两点，则该两）两点，则该两点在点在 投影面上重影，投影面上重影， 点是可见的点是可见的 点是不可见点是不可见的。的。11. 11. 倾斜线的三个投影都不反映实长和对投影面的倾角。倾斜线的三个投影都不反映实长和对投影面的倾角。12. 12. 一直线的两个投影分别平行两个投影轴，则该直线在空一直线的两个投影分别平行两个投影轴，则该直线在空间一定平行包含这两个投影轴的投影面。间一定平行包
20、含这两个投影轴的投影面。 13.13.平行侧投影面的直线一定是侧平线。平行侧投影面的直线一定是侧平线。14.14.平行线有一个投影反映实长，垂直线有两个投影反映实长。平行线有一个投影反映实长，垂直线有两个投影反映实长。15. 15. 在投影图上反映倾角在投影图上反映倾角和和的是的是 ，反映倾，反映倾角角和和的是的是 ，反映倾角，反映倾角和和的的是是 。 VDCB 侧平线侧平线水平线水平线正平正平线线1616. . 在两投影面体系中，已知直线段在两投影面体系中，已知直线段ABAB的的投影的的投影ab、 a b ，利，利用直角三角形法求实长及用直角三角形法求实长及倾角，其一直角边为倾角，其一直角边
21、为 ，另其一直角边为另其一直角边为 ，斜边为线段，斜边为线段 ，斜边与，斜边与 边反映倾角边反映倾角 。 17.17.点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其两线段之比。其两线段之比。18.A18.A点投影点投影a、a 分别位于直线分别位于直线BCBC的投影的投影bc 、 bc上，则上，则A A点一定在直线点一定在直线BCBC上。上。 19.19.两直线两直线ABAB、CDCD的水平投影分别的水平投影分别ab cd， a b c d ，则两则两直线在空间一定平行。直线在空间一定平行。20.20.两直线在三个投影面上的投影都相交，则两直线在空间一两直线在三个投影面上的投影都相交，则两直线在空间一定相交。定相交。21.21.两直线在空间互相垂直，则在投影图上的投影也一定互相两直线在空间互相垂直，则在投影图上的投影也一定互相垂直。垂直。21.21.ABAB与与BCBC垂直，垂直， BCBC平行平行V V面，则在哪个投影图上面，则在哪个投影图上ABAB与与BCBC的投的投影。影。 A.HA.H面面 B.VB.V面面 C.WC.W面面 abza-zb实长实长 BEND
