1、解：根据毕解：根据毕萨定理萨定理 各电流元产生的各电流元产生的2sin4rIdldBo dBB 2sin4rIdlo ctgrlo drdlo2sin sin/orr .Poroyl r例例1. 载流长直导线，其电流强度为载流长直导线，其电流强度为I，试计算导线旁，试计算导线旁 任意一点任意一点P的磁感应强度的磁感应强度? BBd方向垂直纸面向里。方向垂直纸面向里。1 取任意电流元取任意电流元lId其在其在P点产生的磁场为：点产生的磁场为：)cos(cos421 oorI2 1 2 IBd方向为方向为rlId lId7 若导线无限长：若导线无限长：)cos0(cos4 oorIBoorI 2
2、不一定要不一定要 ， L只要只要 。Lro 则：则： 1=0， 2= 结论结论：(2)磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆，磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆， 其方向与电流方向成右手螺旋关系其方向与电流方向成右手螺旋关系。(1) 载流长直导线周围载流长直导线周围B与与ro成反比。成反比。rEo 2 类比类比.Poroyl r1 2 I lId讨论)cos(cos421 oorIB8解：把铜片划分成无限个宽为解：把铜片划分成无限个宽为dx 的细长条，每条有电流：的细长条，每条有电流：dxaIdI dIrdBo 2 dxayIo cos/2 由对称性知：由对称性知：0 ydByadx例例2. 一条
3、无限长传送电流的扁平铜片，宽为一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略，厚度忽略， 电流为电流为I，求离铜片中心线正上方，求离铜片中心线正上方y处处P点的点的? BdBBd rx y P.该电流在该电流在P点产生的磁场为：点产生的磁场为：I cosdBdBx dxayIo 2cos2 tanyx dydx2sec dyayIo22sec2cos xdBB daIo 2 aIo 其中：其中：yaarcaIo2tan 方向平行方向平行X轴轴当当y a 时时yIBo 2 当当y 0 或或 xR时：时：33222xISxIRBoo 3）轴线以外的磁场较复杂，）轴线以外的磁场较复杂， 可定性给出磁
4、感应线可定性给出磁感应线，电流与电流与B线仍服从右手螺旋关系。线仍服从右手螺旋关系。SN定义：磁偶极矩定义：磁偶极矩磁磁偶偶极极子子nISPm NS n与与I的方向的方向 成右手关系成右手关系若有若有N匝线圈，总磁矩为：匝线圈，总磁矩为：mmpNnNISP 即即:32 xPBmo 比较：比较：32xPEo (延长线上延长线上)IoR.PxBB讨论讨论11例例4 一个塑性圆盘，半径为一个塑性圆盘，半径为R，圆盘表面均匀分布电，圆盘表面均匀分布电 荷荷q, 如果使该盘以角速度如果使该盘以角速度 绕其轴旋转，试证：绕其轴旋转，试证：(1)盘心处盘心处RqBo 2 (2)圆盘的磁偶极矩圆盘的磁偶极矩4
5、2qRPm Rrdr证：证：(1)将盘看成一系列的宽为将盘看成一系列的宽为dr的圆环构成的圆环构成rdIdBo2 每一环在中心产生的磁场：每一环在中心产生的磁场：dtdQdI rdr 2dq 2ds RorrdrdBB02 Ro 21 Rqo 2 RqBo2 (2)mmdPP SdI Rrdrr02 441R 42qRPm 2Rq RIBo2 12例例5. 一长螺线管轴线上的磁场一长螺线管轴线上的磁场? B已知：导线通有电流已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为，单位长度上匝数为n。dlr12l解：在管上取一小段解：在管上取一小段dl， 电流为电流为dI=nIdl ， 该电流在该电流在P点的磁
6、场为：点的磁场为： 232222RlnIdlRdBo 2sindRdlRctgl 222Rlr P.32or2RIB dnIdBosin2 则：则： dnIdBBosin2 21coscos2 nIo . . . . sinRr 1 2 13P点不同，点不同，B不同。不同。1) 若管长若管长LR，管内有很大一，管内有很大一 部分场是均匀的。部分场是均匀的。2)nIBLo ,0,213) 对半无限长螺线管对半无限长螺线管nIBo 21 2)、 3)在整个管内空间成立！在整个管内空间成立！管内为均匀场管内为均匀场讨论讨论:管外空间管外空间B 0dlr12l P. . . . .l2L2L B 21
7、coscos2 nIBo14例例6. 求两个以相同速度求两个以相同速度v并排运动电子之间的并排运动电子之间的 相互作用力。相互作用力。vve1e2解：设两电子相距为解：设两电子相距为re2处的磁场：处的磁场：31|4rrveBo e2受力：受力：|12BveF 2224 rveo .12F同理：同理：1221FF 21F34rrvqBo 16例例7. 半径为半径为R的无限长圆柱载流直导线，电流的无限长圆柱载流直导线，电流I沿轴线沿轴线 方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任 意点意点P的的B=？Bd Bd Bd解：先分析解：先分析P点的方向点的方向
8、oPB OP.sd sd I由电流对称分布可知：由电流对称分布可知：取过取过P点半径为点半径为 r =op 的圆周的圆周L，L上各点上各点B大小相等，方向沿切线大小相等，方向沿切线r R时时 由安培环路定理得：由安培环路定理得： iIl dB0 oBdll dB0cosrB 2 Il dB0 又又rIB 20 若若rR oBdll dB0cos同理：同理：rB 2 sdjl dB0 而而s220rRI rRIB202 rBR与毕萨与毕萨定理结定理结果一致果一致L24例例8.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的 电流线密度为电流线密度为 i，求
9、平面外一点，求平面外一点 B=？i. . . . . . . . .l d l d Bd Bd Bdabcd解：解：由对称可知由对称可知iB 并且离板等距离处的并且离板等距离处的B大小相等。大小相等。过过P点取矩形回路点取矩形回路abcdL其中其中ab、cd与板面等距离。与板面等距离。 cddabcabl dBl dBl dBl dBl dB00cdBabB abB 2 ioI 而而abio iBo 21 .P与与P点到平板的距离无关。点到平板的距离无关。iiBo 0 BiB0 ii0 00B25例例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径 为
10、为R，环上均匀密绕，环上均匀密绕N匝线圈，设通有电流匝线圈，设通有电流I。解：解： 由于电流对称分布，与环共轴由于电流对称分布，与环共轴的圆周上，各点的圆周上，各点B大小相等，大小相等，方向沿圆周切线方向。方向沿圆周切线方向。取以取以o为中心，半径为为中心，半径为r的圆周为的圆周为L当当R1 r R2 oBdll dB0cosrB 2 iI0 而而NI0 rNIB 20 若若 rR2 iI0 NINI 0 0 0 BIR1R2R当当 R管截面管截面 R即即 r RnIB0 RNn 2 . . . .or26 例例 在氢原子内在氢原子内, ,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 求它们之间电相互
11、作用和万有引力求它们之间电相互作用和万有引力, ,并比较它们的大小并比较它们的大小. .m103 . 511解解N101 . 8 416220ereFN107 . 347-2pegrmmGFkg101 . 931emkg1067. 127pm2211kgmN1067. 6GC106 . 119e391027.2geFF例例2、电荷、电荷Q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的球体内，求它的静电能。的球体内，求它的静电能。解：设球体的电荷是从无穷远处（电势为零处）一点一点移来，一层一层地从里到外逐渐分布而成，当移来的电荷为q时，半径为r，（电荷密度不变）这时，球面上的电势是再从无穷远处移来dq，放
12、到半径为r的球面上，外力反抗q的电场力所要作的功为Vdq，于是静电能的增量为rqV04dqrqdW04因为334rqdrrdq34所以dqrqdW04代入drrdW42034积分便得RQdrrdWWR02042020334 例题：例题：带电 Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀电介质球壳(er 及各半径如图)，求 (1) 电介质内外的电场； (2) 导体球的电势； (3) 电介质表面的束缚电荷。 解 ：(1)场强分布 求 D：取高斯面如图由 QSdDS经对称性分析erPPS1S2R1R2erPPS1S2R1R2同理求E：同理erPPS1S2R1R2（2）求导体球的电势(3)电介质表面的束缚电荷
13、 求 P： erPPS1S2R1R2 求、q： 外表面 内表面 此题所给系统也可看作三层均匀带电球面。由均匀带电球面内、外的场强结果，用场强叠加原理可得， 介质内 q内的场强抵消了Q的部分场强。 介质外 q内、 q外的场强相互抵消。 erR1R2Q常量dtdB例题例题：在半径为：在半径为R无限长螺旋管内部的磁场无限长螺旋管内部的磁场B随时间作线性变化随时间作线性变化 ，求管内外的，求管内外的感生电场。感生电场。解：变化磁场所激发的感生电场的电场线是与螺变化磁场所激发的感生电场的电场线是与螺线管同轴的同心圆，线管同轴的同心圆，E处处与圆切线相切，且在处处与圆切线相切，且在同一条电场线上同一条电场
14、线上E的大小处处相等。的大小处处相等。tBEtBEtBEEEEE解：任取一电场线作闭合回路，可求出离轴线为任取一电场线作闭合回路，可求出离轴线为r处的感生电场处的感生电场E的大小为：的大小为：SSiSdtBrESdtBrEEdll dE212感（1）当rR，dtdBRSdtBS2所以所以dtdBrRE22r所以REO【例【例1】载有电流】载有电流 I 长直导线的平面内有一长方形线圈，长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为边长为 l1 和和 l2 ( l2/I )，t=0 时与时与 I 相距为相距为 d，若从，若从 t=0 开始开始以匀加速度以匀加速度 移动线圈，移动线圈，v0=0，求，求 t
15、时刻线圈内的动生电时刻线圈内的动生电动势。动势。dI1l2l45aBv22)2122(245cosd)(,:1220211latdIatlvBlBvt 左边：左边：方向相反方向相反小相等、小相等、上下两边感应电动势大上下两边感应电动势大时刻的位置时刻的位置虚线表示虚线表示解法解法【例【例1】载有电流】载有电流 I 长直导线的平面内有一长方形线圈，长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为边长为 l1 和和 l2 ( l2/I )，t=0 时与时与 I 相距为相距为 d，若从，若从 t=0 开始开始以匀加速度以匀加速度 移动线圈，移动线圈，v0=0，求，求 t 时刻线圈内的动生电时刻线圈内的动生电动
16、势。动势。dI1l2l45aBv小小顺时针方向，随时间减顺时针方向，随时间减右边：右边：总总 22)2122(245cos212210212 latldIatlvB【例【例1】载有电流】载有电流 I 长直导线的平面内有一长方形线圈，长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为边长为 l1 和和 l2 ( l2/I )，t=0 时与时与 I 相距为相距为 d，若从，若从 t=0 开始开始以匀加速度以匀加速度 移动线圈，移动线圈，v0=0，求，求 t 时刻线圈内的动生电时刻线圈内的动生电动势。动势。dI1l2l45aBv1 dd4242ln2d2222120424220212结果同解法结果同解法：用法拉
17、第定律：用法拉第定律解法解法tatdatldIlxlxIBatldatdB 【例例2】均匀磁场均匀磁场 中，在直角坐标系框架上有一长导体中，在直角坐标系框架上有一长导体棒棒PQ，若其夹角，若其夹角 的均匀变化的均匀变化，且在，且在PQ转动过程中转动过程中P点点保持不动，求保持不动，求 = 0 时棒中的时棒中的动生电动势。动生电动势。 PQRbt dd20cos0)cos(21d0 bBlBlbPQ 解：解：【例例3】两块长为两块长为 l、宽为、宽为 b 的平行导体板相距为的平行导体板相距为 a ( al、b )，若导体板内通有均匀分布但方向相反的电流，求导，若导体板内通有均匀分布但方向相反的电
18、流，求导体组的自感系数。体组的自感系数。lbaIIblaLLIlabISBbIjjjBB000000 2121 故有故有两平面之间的磁通量为两平面之间的磁通量为两平面之间为两平面之间为抵消，抵消，可知两平面的外面相互可知两平面的外面相互面的磁场分布，面的磁场分布，解：根据无限大电流平解：根据无限大电流平【例【例4】如图所示】如图所示( t=0 时刻时刻)，一无限长直导线与一矩形，一无限长直导线与一矩形线圈共面，直导线中通有电流线圈共面，直导线中通有电流 I=I0e-kt ( I0、k 为正常数），为正常数），矩形线圈以速度矩形线圈以速度 v 向右作平动，求任一时刻向右作平动，求任一时刻 t 矩
19、形线圈中矩形线圈中的感应电动势。的感应电动势。dbI12avvtd xxdXO)11(2eln2eln2ed20000000vtadvtdbvIvtdvtadkbIvtdvtadbIxbxIktktktvtadvtdB 量量一时刻通过线圈的磁通一时刻通过线圈的磁通解：建立坐标系，求任解：建立坐标系，求任【例【例4】如图所示】如图所示( t=0 时刻时刻)，一无限长直导线与一矩形，一无限长直导线与一矩形线圈共面，直导线中通有电流线圈共面，直导线中通有电流 I=I0e-kt ( I0、k 为正常数），为正常数），矩形线圈以速度矩形线圈以速度 v 向右作平动，求任一时刻向右作平动，求任一时刻 t 矩
20、形线圈中矩形线圈中的感应电动势。的感应电动势。dbI12avvtd xxdXOvtdvtadkbIvtdvtadbIvtadvtdbvIbvBbvBktktBkt ln2eln2e)11(2e00000021 感感动动和感生电动势分开求和感生电动势分开求本题也可将动生电动势本题也可将动生电动势例题例题1：分析书上习题：分析书上习题12.32xdx 2ddd xnqIxIB2dd0 IxISPmddd2 等效圆电流！等效圆电流！例题例题2：一长为：一长为l=0.9m，带电量，带电量q=110-10C的均匀带电细棒，的均匀带电细棒，以速度以速度v=1m/s沿沿X轴正向运动，当细棒运动到与轴正向运动
21、，当细棒运动到与Y轴重合时，轴重合时，细棒下端与坐标原点细棒下端与坐标原点O的距离的距离a=0.1m，如图所示，求原点的，如图所示，求原点的磁感应强度。磁感应强度。aYlvOX方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里解：解：2003090sind4d ,ddd4d yqvBylqqrrvqB T100 . 1)11(4d416020 laalvqyylvqBlaa 例题例题3：分析书上习题：分析书上习题12.19)(22aRIj 2012rjrB rkjB 201 )(202rkjB dkjrrkjBBB 2)(20021 例题例题4：分析书上习题：分析书上习题12.27lBIFdd2 2100210
22、010221d2sinsin2dIIIIRIRIFx 2102IIFFx 例题例题5：无限长直导线载有电流：无限长直导线载有电流I1，垂直纸面向外，一段载有，垂直纸面向外，一段载有电流电流I2的导线的导线MN置于同一平面内，相对位置如图所示，求导置于同一平面内，相对位置如图所示，求导线线MN所受的安培力。所受的安培力。OYXNM1I2IcabOYXNM1I2Icab解：分析可知左边解：分析可知左边a段的段的受力方向垂直纸面向外，受力方向垂直纸面向外，右边右边b段的受力方向垂直段的受力方向垂直纸面向里纸面向里22102cxIB 222102d2sinddcxxxIIxBIF 2222100222
23、10ln4d2dcacIIcxxxIIFFa 左左222210022210ln4d2dccbIIcxxxIIFFb 右右OYXNM1I2Icab解：分析可知左边解：分析可知左边a段的段的受力方向垂直纸面向外，受力方向垂直纸面向外，右边右边b段的受力方向垂直段的受力方向垂直纸面向里纸面向里2222210ln4cacbIIFFF 左左右右合合222221022210ln4d2dcacbIIcxxxIIFFba 合合或者左右两段综合考虑可得到：或者左右两段综合考虑可得到：例题例题6：分析书上习题：分析书上习题12.212001jBB 2002jBB 2210BBB 012 BBj hlS 取一小面积
24、元取一小面积元jSBjlhBIhBF000 0212202 BBjBSF 例例1.长直导线通有电流长直导线通有电流I，在它附近放有一，在它附近放有一 矩形导体回路矩形导体回路. 求求： 1）穿过回路中的）穿过回路中的 ； 2）若）若I=kt（k=常）回路中常）回路中 i=？ 3）若）若I=常数，回路以常数，回路以v向右运动，向右运动， i =？ 4）若）若I=kt，且回路又以，且回路又以v向右运动时，求向右运动时，求 i=？解解：设回路绕行方向为顺时针，设回路绕行方向为顺时针，1） baldrB baldrrI 20abl Iln20 2） I=kt时，在时，在t时刻时刻，abtlkln20
25、dtdi 0ln20 ablk 逆时针方向逆时针方向abIldrr3）I=常数，常数，t 时刻，此时回路的磁通：时刻，此时回路的磁通： drrIl 20vtavtbIlo ln2 dtdi 0)()(2 vtbvtavballo 顺时针方向顺时针方向a+vtb+vt64）综合）综合2）、）、3），），t时刻回路的磁通：时刻回路的磁通：vtavtbtklo ln2 dtdi vtavtbvtbvtavtabklln20 ablkiln2)20 vtbvtavballi )(2)30 此题若这样考虑此题若这样考虑：而而：sdBd .20ldrrI 则则：dtdi dtdrlrIo 2 vlrIo
26、2dtdi 这样就有这样就有:2）, 0 v0 i 3）vlrIi 20vlrkti 204）错在那里？错在那里？7例例2. 弯成弯成 角的金属架角的金属架COD, 导体棒导体棒MN垂直垂直OD以恒定速以恒定速 度度v在金属架上向右滑动，且在金属架上向右滑动，且t=0. x=0，已知磁场的，已知磁场的 方向垂直纸面向外，求下列情况中金属架内的方向垂直纸面向外，求下列情况中金属架内的 i: 1）磁场）磁场B分布均匀，且磁场不随时间变化。分布均匀，且磁场不随时间变化。 2）非均匀时变磁场）非均匀时变磁场，B=kxcos t。解解：设回路绕向逆时针设回路绕向逆时针1） t 时刻时刻，x =vt 。S
27、B xtgxB 21vBOCDMNx.2122 tgtBv dtdi tgtBv 2方向与绕向相反，方向与绕向相反，只出现在只出现在MN上上。此处可直接利用均匀场此处可直接利用均匀场：SB dtdi dtdSB tgxdtdB221 tgtBv 2BdSSdBd 0 82） B不均匀不均匀SB SdBd SdB xdxxtgtkx0cos tgtkx cos313 .cos3133ttvktgt dtdi 2333cossin31tvtktgtvttgk , 0 i , 0 i 与绕向相同与绕向相同。与绕向相反与绕向相反。vBOCDMNxxdx9iE例例4.在例在例3中中,如图放入一边长为如图
28、放入一边长为l 的正方形导体回路的正方形导体回路oabc。求：求：1）回路各边的感应电动势；）回路各边的感应电动势； 2） i总总； 3）回路内有静电场吗？）回路内有静电场吗？ 若有哪点（若有哪点（c与与a）电势高。）电势高。解：解：1）iEoa iEoc 0 ocoa baiabldE badlE cos badldtdBr cos2 badldtdBl2baldtdBl2 221ldtdB 同理：同理：221ldtdBbc acbo2） i总总= ab+ bc或：或： SBdtd dtdBS 注：注：根据对称性：根据对称性：1），），2）的计算可以倒过来进行。）的计算可以倒过来进行。r l
29、 dEii l ddtdBrEi2 dtdBl2 dtdBl2 dtdi 总总173）有静电场！在哪里。）有静电场！在哪里。oabc ab= bc会使会使正电荷在正电荷在c点，点，聚集而聚集而a点有点有负电荷积累负电荷积累Uac=Ua Uc= i IiRi, 0 ocoa acbo等效电路等效电路结论一致结论一致22RRdtdBli 0212 dtdBlacUU 或或: Uaoc=Ua Uc=0 IiRi0。取半径为取半径为r,厚度为厚度为dr的圆筒的圆筒,其电动势其电动势dtddi 2rBdtd .2dtdBr 其上电阻为：其上电阻为：drhrR 2RddIii rhdrdtdBr 22 d
30、rdtdBhr 2 iidIIBh总电流：总电流：.412dtdBha 产生的热功率：产生的热功率： dPP 2idIR2481 dtdBha20例例6. 均匀磁场均匀磁场B中中ab棒沿导体框向右以棒沿导体框向右以v运动，运动， 且且dB/dt=0, 求其上的求其上的 i。解：由定义解：由定义 baabl dBv vBdlvBl 用法拉第定律：用法拉第定律：dtdi sBdtd dtdsB lxdtdB dtdxBl Blv labvxx232. 动动的计算的计算例例7. 在真空中，有一无限长直导线电流在真空中，有一无限长直导线电流I 旁，有一半旁，有一半 圆弧导线以圆弧导线以v 向右运动。已
31、知向右运动。已知 r，R。 求求 Ek、 QP， P与与Q 哪点电势高？哪点电势高？IPQRrvB dl解：解： 1）在导线上任意）在导线上任意dl处的处的Ek cosRrr BvEk rIv 20 cos20RrIv 距电流为距电流为r：vB 2） l dEkQP dlRrIv coscos20.4121220 RrRrtgRrrIv 方向向上方向向上dl=Rd 3） i从从QP，UPUQ。能否用直线能否用直线PQ来代替来代替PQ？显然：显然： PQQPRrIv 220否！否！ . Lil dBv 25例例8. 金属杆金属杆oa长长L, 在匀强磁场在匀强磁场B中以角速度中以角速度 反时针反时
32、针 绕点绕点o转动，求杆中感应电动势的大小、方向转动，求杆中感应电动势的大小、方向。Boa Ll dBvd )(dllB LdllB0 221BL 解法一：解法一：oa SB )(212 LB 221BLdtd 方向：方向：解法二：任意时刻通过扇形截面的磁通量解法二：任意时刻通过扇形截面的磁通量根据法拉第电磁感应定律根据法拉第电磁感应定律:ll dv棒两端的电位差棒两端的电位差:221LBVoa 26 思考：思考：1）半径为）半径为L 的金属圆盘以的金属圆盘以 转动转动? oaoaV 2）以下各种情况中）以下各种情况中 =？B27 Loa（2）互感的计算）互感的计算r12解：解：分析分析:,1
33、21212iiM 很难很难算出！算出！2112rniMo 圆环中圆环中: 12 12 B B1 1 r2 = o on i1 r2 设螺线管通有设螺线管通有i1，则，则B1= 0 0ni1。dtdiMM 112iM 221iM dtdidtdiiiM221112221112 例例9. 长直螺线管单位长度上有长直螺线管单位长度上有n 匝线圈，另一半径为匝线圈，另一半径为r 的圆环放在螺线管内的圆环放在螺线管内, 环平面与管轴垂直。求环平面与管轴垂直。求M？注：注：1o 原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁 通量通量 M = /i。2o 互感在电工和
34、无线电技术中应用广泛互感在电工和无线电技术中应用广泛 如如:变压器，互感器变压器，互感器互感往往也是有害的互感往往也是有害的但很多实际问题中但很多实际问题中M很难算出。很难算出。30(2) 自感自感L的计算的计算例例10. 计算一螺线管的自感计算一螺线管的自感,截面积为截面积为S,长为长为l,单位长单位长 度上的匝数为度上的匝数为n，管中充有，管中充有 的磁介质，求的磁介质，求L。解：解： 设螺线管通有设螺线管通有I 的电流的电流,IL Vn 2 nVL, 则管内磁场为则管内磁场为 B= nI管内全磁通管内全磁通: =N =NBS =N nIS = n2 I lSV=lS注：注：除线圈外，任何
35、一个实际电路都存在电感，输电除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当于单匝回路，回路上有分布电感。线相当于单匝回路，回路上有分布电感。33例例11. 两根平行输电导线，中心距离为两根平行输电导线，中心距离为d，半径为，半径为a， 求：两导线单位长度上的分布电感（求：两导线单位长度上的分布电感（da）。）。解：解：如图，设导线中有电流如图，设导线中有电流I。单位长度上的磁通量：单位长度上的磁通量： sdB adaodrrI 2aadIo ln IL aado ln adoln ad dIIrdr adaodrrdI 2343. 磁能与自感系数磁能与自感系数若已知若已知L反之，已知反之，已
36、知Wm L 。221LIWm 两根平行输电线相距为两根平行输电线相距为 d，半径为，半径为 a，若维持，若维持 I 不不变。（前已求得，单位长度上的自感变。（前已求得，单位长度上的自感 ）2）磁能改变多少？增加或减少）磁能改变多少？增加或减少, 说明能量来源？说明能量来源？例例12.求：求：1）当）当dd时，磁力作的功。时，磁力作的功。.ln0adL dIId1）单位长度受力单位长度受力rIIIlBF 20. 0ln222020 ddIdrrIrdFAdddd解：解：F222121LIILWWWdd adadIlnln2102ddI ln220 02）能量从何而来！能量从何而来！42dtdL
37、导线移动时，会产生感应电动势导线移动时，会产生感应电动势 i i。而要维持。而要维持I I不不变，电源力必须克服变，电源力必须克服 L L作功，从而将外电源的能量转变作功，从而将外电源的能量转变为磁能增量和磁力作功两部分。以下作出定量证明：为磁能增量和磁力作功两部分。以下作出定量证明：dtdLIdtdiL 外电源克服外电源克服 L L作功，则作功，则 L L作负功。作负功。 dqAL外外 IdtdtdLI LLdLI2 LLI 2 adadIlnln002ddI ln20.WA 磁磁力力ddIA ln220磁力磁力ddIW ln220 Li 0能量守恒能量守恒.ln0adL 43WmL解：设电
38、缆通有电流解：设电缆通有电流I，则两圆柱面间的磁场为：则两圆柱面间的磁场为：rIBHrIB 2,2HdVBWm 2122IWLm abr 同轴电缆，两圆柱面半径分别为同轴电缆，两圆柱面半径分别为a、b，充满，充满 磁介质磁介质 ，求单位长度，求单位长度Mm与与L。例例13. rdrrIrI22221。abIln42 abIIln4222 abln2 221LIWm 22IWLm 44 例例14. 一矩形金属线框，边长为一矩形金属线框，边长为a、b (b足够长足够长)，线框质，线框质 量为量为m,自感系数为自感系数为L, 电阻忽略电阻忽略，线框以初速度，线框以初速度v0 沿沿 x轴方向从磁场外进
39、入磁感应强度为轴方向从磁场外进入磁感应强度为B0 的均匀磁场中，的均匀磁场中， 求求: 矩形线圈在磁场内的速矩形线圈在磁场内的速 度与时间的关系式度与时间的关系式 v=v(t) 和沿和沿 x 轴方向移动的距离与时间的关系式轴方向移动的距离与时间的关系式 x=x(t) o0B x解法一解法一：线圈的一部分进入：线圈的一部分进入 磁场后，线圈内有磁场后，线圈内有 动，动， 自自。) 1 (00 dtdILavB)2(0aIBdtdvm 0222 vdtvd mLaB2202 联立联立abov45tCtCv cossin21 oovCvvt 2 , 0 时时当当tCtCdtdv sincos21 m
40、aIBo 00 It时时，当当00cos1 C01 Ctvvo cos tvxo sin )2(aIBdtdvmo 根据：根据：方程的通解：方程的通解：o0B xabov46解法二：解法二：2220212121LImvmv 0 dtdILIdtdvmv即即代入上式代入上式将将(1) 0avBdtdIL )2(00 aIBdtdvmo0B xabov47cbadB例例1. 长直螺线管内充满均匀磁介质长直螺线管内充满均匀磁介质 r 单位长度上的匝数为单位长度上的匝数为n，通有电通有电 流流I 。求管内的磁感应强度和磁。求管内的磁感应强度和磁 介质表面的面束缚电流密度。介质表面的面束缚电流密度。解：
41、解：IabnHab nIH 则：则：HBro HMm 又：又：nMi HMm nIir) 1( 顺磁质顺磁质，1 r 抗磁质抗磁质, 1 r nI nIr)1( Ii Ii | Mn LiLIl dHBI因管外磁场为零，取图示的回路因管外磁场为零，取图示的回路根据：根据：. .10任意载流导体在磁场中所受的合力为：任意载流导体在磁场中所受的合力为： LBlIdF0所以所以安培力是洛仑兹力的宏观表现；安培力是洛仑兹力的宏观表现；洛仑兹力是安培力的微观来源。洛仑兹力是安培力的微观来源。安培力的实质：安培力的实质： 磁场通过洛仑兹力而施于导体的作用力。磁场通过洛仑兹力而施于导体的作用力。洛仑兹力洛仑
42、兹力 建立建立横向电场横向电场使导体受电场力作用使导体受电场力作用例例1.在均匀磁场在均匀磁场B中有一弯曲导线中有一弯曲导线ab，通有通有I电流，电流，求其受磁场力。求其受磁场力。解解： 由安培定律由安培定律 baBlIdFBLIab Bl dIba 方向垂直板面向外方向垂直板面向外LabB安培定律安培定律若若l与与B均在板面内均在板面内则则 F=I LabBsin IBlIdFd 15例例2.求两平行无限长直导线通有相同电流的相互作用力。求两平行无限长直导线通有相同电流的相互作用力。a1I2I12B22l dI解解：1）求）求F12 122212Bl dIFaIB 21012方向垂直方向垂直
43、.2l dI 2102122dlaIIF同理：同理： 1201212dlaIIF2）单位长度的受力）单位长度的受力：;221012aIIf .221021aIIf 两力大小相等，方向相反：两力大小相等，方向相反：21/II为吸引力为吸引力21II 为排斥力为排斥力.0 LBlIdF在在I2上取电流元上取电流元I2dl2I2dl2处的磁场为：处的磁场为： 21022dlaII指向指向I1指向指向I2 12012dlaII12F21F结论结论：16求下列电流之间的相互作用：求下列电流之间的相互作用：IIBlIdF 18例例1. .图中所示为一沿图中所示为一沿 x 轴放置的轴放置的“无限长无限长”分
44、段均分段均匀带电直线，电荷线密度分别为匀带电直线，电荷线密度分别为+ +（x 0）和）和 （x 0），则），则 oxy 坐标平面上点（坐标平面上点（0，a）处的场强）处的场强 E E 为：为：( A ) 0 ( B )ia20( C )ia40( D )jia20 B yxa,0o C 例例2 2 如图所示，一个带电量为如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正的点电荷位于正立方体的立方体的 A 角上，则通过侧面角上，则通过侧面 abcd 的电场强度的电场强度通量等于：通量等于： abdcAq（A）q / /60 ; ; （B）q / /120 ； （C）q / /240 ; ; （D）q /
45、 /360 .(A)rq04(B)RQrq041(C)rQq04(D)RqQrq041 B 例例3 3. .真空中一半径为真空中一半径为 R 的球面均匀带电的球面均匀带电 Q，在球，在球心心 o 处有一带电量为处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心电势零点，则在球内离球心 o 距离的距离的 r 的的 P 点处点处的电势为：的电势为：例例4 4. .半径为半径为 r 的均匀带电球面的均匀带电球面 1，带电量为，带电量为 q；其外；其外有一同心的半径为有一同心的半径为 R 的均匀带电球面的均匀带电球面 2，带电量为，带电量为 Q ，则此两球面之间的
46、电势差，则此两球面之间的电势差 U1 U2 为：为：(A)Rrq1140(B)rRq1140(C)RQrq041(D)rQq04 A RqrqRQRqRQrqUU00021414141例例5 5一一“无限大无限大”带负电荷的平面，若设平面所带负电荷的平面，若设平面所在处为电势零点，取轴垂直带电平面，原点在带电在处为电势零点，取轴垂直带电平面，原点在带电平面处，则其周围空间各点电势随距离平面的位置平面处，则其周围空间各点电势随距离平面的位置坐标变化的关系曲线为坐标变化的关系曲线为: :ADUoxoUCxxoAUoBUx A 例例6 6. .半径为半径为 R 的均匀带电球面，总电量为的均匀带电球面
47、，总电量为 Q，设，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势电势 U ，随离球心的距离，随离球心的距离 r 变化的分布曲线为：变化的分布曲线为：UoRrrU1U(A)URr(B)rU1oURr(C)rU1oURr(D)21rUoURr(E)21rUo例例7 7. .下面说法正确的是下面说法正确的是 D (A)等势面上各点场强的大小一定相等；等势面上各点场强的大小一定相等；(B)在电势高处，电势能也一定高；在电势高处，电势能也一定高； (C)场强大处，电势一定高；场强大处，电势一定高；(D)场强的方向总是从电势高处指向低处场强的方向总是从电势高处
48、指向低处. .例例8 8. .已知一高斯面所包围的体积内电量代已知一高斯面所包围的体积内电量代数和数和 ，则可肯定：，则可肯定：0iqA.A. 高斯面上各点场强均为零。高斯面上各点场强均为零。B.B. 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。C.C. 穿过整个高斯面的电通量为零。穿过整个高斯面的电通量为零。D.D. 以上说法都不对。以上说法都不对。 C 高斯面高斯面例例9：两同心均匀带电球面，带电量分别为两同心均匀带电球面，带电量分别为 q1、 q2, , 半径分别为半径分别为 R1 、R2 , , 求各区域内的场强和电势。求各区域内的场强和电势。o1R1q2q
49、解：解：在三个区域中的任意点分别作同心球面在三个区域中的任意点分别作同心球面高斯球面，设面内电荷为高斯球面，设面内电荷为 q q，则，则IIIIII2R0qsdES024qrErrqE4120高斯面高斯面o1R2R1q2qIIIIIIrrqE41200,11qRr时当01E121,2qqRrR时当rrqE412102212,3qqqRr时当rrqqE4122103上述结果可直接由均匀带电球面电荷的场和叠加原理得出。上述结果可直接由均匀带电球面电荷的场和叠加原理得出。高高斯斯面面o1R2R1q2qIIIIIIRqVrqV0041:41:内外的电势分布均匀带电球面电势分布电势分布可由叠加原理和场强
50、积分可由叠加原理和场强积分二法求出。下面用一法求解。二法求出。下面用一法求解。2210321220102122011014141414141RrrqqVRrRRqrqVRrRqRqV例例1：带正电的导体带正电的导体 A ，接近不带电的导，接近不带电的导体体 B ，导体，导体 B 的电势如何变化。的电势如何变化。答案：答案：升高。升高。例例2：两导体板分别带电两导体板分别带电 Qa、Qb。求各表。求各表面的电荷面密度。面的电荷面密度。3124AQBQ解：解：SSQA21SSQB43AB在导体极板内，取在导体极板内，取 A、B 两点，由静电两点，由静电平衡条件平衡条件040302012222AE0
