1、2.2 2.2 唯一性定理唯一性定理一一、泊松方程和边界条件、泊松方程和边界条件二、唯一性定理的内容二、唯一性定理的内容三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义主要内容主要内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2 , 1(2miii一、泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为假定所研究的区域为V V，在一般情况下，在一般情况下V V内可以内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。线性各向同性。 设设V V内所求电势为内所求电势为 ，它们满足泊松方程，它们满足泊松方程iSSnSndSnQSSS两类边界条件：两类边界条件： 边界边
2、界S S上，上，为已知，若为为已知，若为导体导体= =常数。常数。 边界边界S S上，上，为已知，为已知，给定（给定（）定总电荷定总电荷Q Q。它相当于。它相当于若是导体要给若是导体要给机动 目录 上页 下页 返回 结束 ijijSiiSjjnn内边界条件内边界条件为为边值关系边值关系注：注：在实际问题在实际问题中，因为导体内中，因为导体内场强为零，可以场强为零，可以不包含在所求区不包含在所求区域域V内。导体内。导体面面上上的的边界条件边界条件可可视为视为外边界条件。外边界条件。ijijSjSiijijSiiSjjnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 nji ：V内两介质分内两介质分界 面
3、上界 面 上 自 由自 由电荷为零电荷为零二、唯一性定理二、唯一性定理1均匀单一介质均匀单一介质2电场）唯一确定。电场）唯一确定。S分布已知，分布已知，满足满足若若V边界上边界上已知，或已知，或V V边界上边界上已知，则已知，则 V V 内场（内场（ 静静区域内区域内Sn证明：证明： 211222假定泊松方程有两个解假定泊松方程有两个解，有有 S1S2SSn1Sn2在边界上在边界上Sn21令令022122机动 目录 上页 下页 返回 结束 SnSn102Sn由格林第一公式由格林第一公式 VSSddV)(2021SSS令令 则则VSSddV)(2202VdV0)(20SSSd0由于由于0)(2积
4、分为零必然积分为零必然有有021常数常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 0S21（1）若给定的是第一类边值关系）若给定的是第一类边值关系 即即常数为零常数为零。电场唯一确定且电场唯一确定且电势也是唯一确定的。电势也是唯一确定的。虽虽不唯一，但电场不唯一，但电场0Sn2121,E（2）若给定的是第二类边值关系）若给定的是第二类边值关系 常数常数，相差一个常数，相差一个常数，是唯一确定的。是唯一确定的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 介质分区均匀（不包含导体）介质分区均匀（不包含导体）i2SSnijijSjSiijijSiiSjjnn已知，已知， 成立，给定区域成立，给定区域或或。在
5、分界面上，在分界面上，或或V 内内（证明见书（证明见书P60）sv123区域区域V V内电场唯一确定内电场唯一确定机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 均匀单一介质中有导体（证明见均匀单一介质中有导体（证明见教材教材）Q2Q1SS1S2V（或（或 Q1、Q2 ）为已知，则为已知，则区域区域 VSSn1Sn2Sn已知已知，或或、内电场唯一确定。内电场唯一确定。当当0E，求求 内的内的电势电势。导体中导体中V机动 目录 上页 下页 返回 结束 dSnQs三、唯一性定理的意义2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松
6、方程采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过通过提出尝提出尝试解，试解，然后验证是否然后验证是否满足方程和边界条件满足方程和边界条件。满。满足足即为即为唯一唯一解，若不满足，可以加以修改解，若不满足，可以加以修改。 1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电电 场强度场强度指明了方向。指明了方向。机动 目录 上页 下页 返回 结束
7、四、应用举例1. 半径为半径为a的导体球壳接地的导体球壳接地 壳内中心放置一个点电荷壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。求壳内场强。0S解：点电荷解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地放在球心处，壳接地02)0(R因而腔内场唯一确定。因而腔内场唯一确定。Q0S不满足不满足已知已知点电荷产生的电势为点电荷产生的电势为 RQ014机动 目录 上页 下页 返回 结束 aQS014但但它在边界上它在边界上要使边界上任何一点电势为要使边界上任何一点电势为0 ，RQ04aQ04设设020S它满足它满足根据唯一性定理，它是腔内的根据唯一性定理，它是腔内的唯一唯一解解。)(430aRRRQE可见腔内场与腔外电
8、荷可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷无关，只与腔内电荷Q有关。有关。机动 目录 上页 下页 返回 结束 Q解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势坐标与假定电场也具有球对称性，则电势坐标与,无关。无关。0因电荷分布在有限区，外边界条件因电荷分布在有限区，外边界条件导体表面电荷导体表面电荷Q已知，已知，电电场唯一确定。设场唯一确定。设BRA3RRARA)(03aRRRA02R0R0B 满足满足，2. 带电荷带电荷Q 的半径为的半径为a a 的导体球放在均匀无限大的导体球放在均匀无限大介介 质中，求空间电势分布。
9、质中，求空间电势分布。在导体边界上在导体边界上SSaRAaaAdSRAdSRQ44222机动 目录 上页 下页 返回 结束 3两种均匀介质两种均匀介质（ 和和 ） 充满空间，一充满空间，一半半 径径 a 的带电的带电Q导体球放导体球放 在介质分界面上（球心在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电在界面上），求空间电 势分布。势分布。1212aQ)(44aRRQQA)(43aRRRQEEEEnP),(120利用利用QQP) 1(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 21RQ4场对称场对称 对称性分析：对称性分析：21场仍对称！场仍对称！在两介质分界面上：在两介质分界面上：021nnEE012p
10、nnEE0p束缚电荷只分布在导体与束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在空间也具有对称性。而在介质分界面上介质分界面上 ，所以可考虑球外所以可考虑球外电场仍具电场仍具有球对称性。有球对称性。21EE试试探探解解002222212111drcdrc12aQP2E1ES2S1机动 目录 上页 下页 返回 结束 给定，所以球外场唯一确定。给定，所以球外场唯一确定。0解：解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区外边界为无穷远，电荷分布在有限区导体上导体上Q212211S
11、arSardSrdSrQ121222SSccdSdSaa22122222ccaaaa122 ()c 确定常数确定常数0021ddrSS21ccc21在介质分界面上在介质分界面上 )(221QcrQ)(2211rQ)(2212下半空间下半空间上半空间上半空间)()(421arrQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 导体球面上面电荷分布：导体球面上面电荷分布：2212222)(2aQrar下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布1101) 1(P2102) 1(P束缚电荷分布束缚电荷分布：其他实例：其他实例：Q左半空左半空间电势？间电势？Q球壳外球壳外空间电空间电势？势？机动 目录 上页 下页 返回 结束
