1、一、正项级数收敛性的一般判别原则1.1.定义定义: :1(1) 0nnnuu如果级数中各项均有，这种级数称为正项级数.1(2) 0nnnuu如果级数中各项均有，这种级数称为负项级数.(3)正项级数与负项级数,统称为同号级数.负项级数可以转化为正项级数来研究1110 nnnnnnnuuuu当时,=-，为正项级数2.2.基本定理基本定理: :部分和数列 为单调增加数列.ns121 (1)nnnuuuu设=+0,(1,2,)nun为正项级数,于是 其部分和1121nnnsuuuu+1nnsu+ns结合数列极限的单调有界定理,有基本定理基本定理: :0(1,2,),iui由由于于证证 所以所以Sn是递
2、增数列是递增数列. .而而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界单调数列收敛的充要条件是该数列有界( (单调有界单调有界 定理定理).).这就证明了定理的结论这就证明了定理的结论. . 定理定理12.5 nu正正项项级级数数收敛的充要条件是收敛的充要条件是:部分和部分和 nS数数列列有界有界, 即存在某正数即存在某正数M, 对一切正整数对一切正整数 n 有有.nSM注注: (1)叙述基本定理的逆否命题. (2)正项级数敛散性的所有的判别法,归根到底,都是根据这条简单的定理. 11:!nn Ex明1 证:证11!1 2nn 112n,于是 部分和11!nnksk1112nkk1 1 21 1 2n
3、1122n2, ,ns有上界11.!nn 11111:123ppppnnn E正级x2项数p 称为级数(广义调和级数),讨论其敛散性.:1. 1p 当解时, p 级数正好是调和级数11nn ,11nkk其部分和11123n1+.无上界2 . 1p 当时,11,pnn(1,2,)n ns其部分和112ppn1+112n1+.无上界11.pnn 3. 1p 当时, 由不等式:111111, (2)1 (1)pppnnpnn,于是 部分和112nppsn1+111111111121 23ppppp1+111111 (1)pppnn111111pppn1+11p1+,1pp,ns有上界11.pnn E
4、x :由中值定理证此不等式,:综上所述 有11 pnpn级数, 1p 当, 1p 当牢记!3. (2) 1p 法当时,oyx)1(1 pxyp1234由图可知111nnpppnndxdxxnn111123npppsn 2111nppndxdxxx 11npdxx 111111ppn 1 11p ns即 有界,.p 则级数收敛仅靠定义和定理仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则敛性判别法则. . 3.比较审敛法比较审敛法nnuv设设和和是是两两个个正正项项定
5、理定理12.6 (比较原则比较原则) 级数级数, , 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 (1)nnuv则则(i),;nnvu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛(ii),.nnuv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散证证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性散性, ,因此不妨设不等式因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立对一切正整数都成立. . nnnnSSuv现现在在分分别别以以和和记记级级数数与与的的部部分分和和. .由由(1)式可得式可得, ,对一切正整数对一切正整数 n, 都有都
6、有 (2)nnSS,lim,nnnvS若若收收敛敛 即即存存在在 则由则由(2)式对一切式对一切 n 有有 nulimnnnSSnS, 即正项级数即正项级数 的部分和数列的部分和数列 有有 界界, 由定理由定理12.5级数级数 nu收敛收敛, 这就证明了这就证明了(i). (ii)为为(i)的逆否命题的逆否命题, ,自然成立自然成立. .例例1 21.1nn考察的收敛性考察的收敛性解解 2,n由由于于当当时时 有有22111.1(1)nnnnn n因为正项级数因为正项级数 21(1)nn n 收敛收敛 (1例例5的注的注), 故由故由 比较原则和定理比较原则和定理12.3, 级数级数 211n
7、n 也收敛也收敛. 22,nnnnuvu v收敛 则级数收敛.收敛 则级数收敛.例例2 若级数若级数22|nnnnu vuv 22,nnuv证证 因为因为 , 而级数而级数 收敛，收敛， 根据比较原则根据比较原则, 得到级数得到级数 nnu v收敛收敛. 证明证明11,1(1)nn n11,1nn而级数发散11.(1)nn n级数发散注:应用比较审敛法须有参考级数,作为比较标准.重要参考级数重要参考级数: : 几何级数, P-级数, 调和级数.在实际使用上在实际使用上, ,比较原则的极限形式通常更方便比较原则的极限形式通常更方便. .,nnuv推论推论 (比较原则的极限形式比较原则的极限形式)
8、 设设 是两个是两个 正项级数正项级数, ,若若 lim,(3)nnnulv则则(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散(ii)0,;nnlvu当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛(iii),.nnlvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散证明证明( )limnnnuilv由0,2l对于1,N1,nN当时22nnullllv 13()22nnnllvuvnN即由比较原则, 得证.( )lim0nnnuiiv由10,对于2,N2,nN当时11nnuv 2()nnnvuvnN即1nnv 由1nnu 得证.(iii),l 若若则对于正数则对于正数1,
9、 , 存在相应的正存在相应的正数数N, ,当当 n N 时时, , 都有都有 1.nnnnuuvv或或于是由比较原则知道于是由比较原则知道, 若级数若级数nv发散发散, 则级数则级数 nu也发散也发散. 解解)1(13lim1 3nnnnsin1lim1nnn1,所以原级数发散.)2(1lim13nnn1,11,3nn收敛故原级数收敛.比较标准调和级数比较标准几何级数11,nn 而*例例5 判断正项级数判断正项级数 12 sin1nnn的敛散性的敛散性.1sinlim1,1nnn12 sin1nnn21n解解 因为因为 故可将故可将 与与进进 行比较行比较. . 由于由于 12 sin122(
10、1sin)12 sin21limlimlim1nnnnnnnnnnnnnn12(1sin)lnlime,nnnn注意到注意到 2111lim 1sinlnlim 1lnnnnnnonnnn221lnlim0,nnnonn所以所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根据比较原则根据比较原则, 原级数收敛原级数收敛.二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的而得到的, , 但在使用时只要根据级数一般项本身的但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判断特征就能作出判断. .定理定理12.7( (达朗贝
11、尔判别法达朗贝尔判别法, 或比式判别法或比式判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且存在某正整数且存在某正整数0(01).Nqq及及常常数数0(i),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式1,(5)nnuqu则级数则级数 nu收敛收敛.0(ii),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式11,(6)nnuu.nu则则级级数数发发散散证证(i)(5)1n不不妨妨设设不不等等式式对对一一切切成成立立, ,于于是是有有32121,.nnuuuqqquuu把前把前n-1个不等式按项相乘后个不等式按项相乘后, ,得到得到132121nnnuuuquuu11.nnuu q或或者者由于当由于当0 q
12、N 时时, , 有有 1.nnuqqu 1,1,qq当时 根据的取法,有当时 根据的取法,有由上述不等由上述不等式式的左半部分及比式判别法的的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数得正项级数 nu是收敛的是收敛的. . 1,1,qq 若则有若则有 根据上述不等式的左半部分根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的及比式判别法的 (ii), 可得级数可得级数 nu是发散的是发散的. ,qNnN若若则则存存在在当当时时有有11,nnuu.nu所所以以这这时时级级数数是是发发散散的的解)1(11(1)!1!nnunun11n0 (),n 11!nn故级数收敛.(),n )2(11(1)! 101
13、0!nnnnunun110n 1!.10nnn故级数发散)3(1(21) 2limlim(21) (22)nnnnunnunn1,比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法211,(21) 2nnn211,nn级数收敛11.2(21)nnn故级数收敛例例6 6 级数级数22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于由于 1233limlim1,144nnnnunun根据推论根据推论1，级数收敛，级数收敛. .例例7 讨论级数讨论级数1(0)nnxx 的敛散性的敛散性.解解 因为因为 11(1)1(),nnnnunxnxx nunxn
14、根据推论根据推论1, ,当当 0 x 1时级数发时级数发 n散散; 而当而当 x = 1 1时时, 所考察的级数是所考察的级数是, 它显然也是它显然也是 发散的发散的. . 2( 1)3,22nnnnnuv Ex4Ex4,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 性作出判断性作出判断. 例如级数例如级数211,nn和和它们的比式极它们的比式极 1211(),nnunun限都是但收敛限都是但收敛(1例例5), 1n而而却是发散的却是发散的(1例例3).若某
15、级数的若某级数的(7)式的极限不存在式的极限不存在, ,则可应用上、下极则可应用上、下极限来判别收敛性限来判别收敛性. . 若若(7)中中q = 1, ,这时用比式判别法不能对级数的敛散这时用比式判别法不能对级数的敛散 *推论推论2设设nu为正项级数为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若则级数收敛若则级数收敛1(ii)lim1,;nnnuqu若则级数发散若则级数发散*例例8 研究级数研究级数22211(8)nnnnbbcb cb cb cb c的敛散性的敛散性, 其中其中 0 b c.解解 由于由于1,nnb nuuc n为为奇奇数数, ,为为偶偶数数11lim, lim,nnnnnn
16、uucbuu故有故有于是当于是当c 1 1时时, ,级数级数(8)发散发散; ; 但当但当b 1 N, 有有 .nnlul 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论. . 推论推论1( (根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式) 设设 nu为正项级为正项级 数数, ,且且例例9 研究级数研究级数 2( 1)2nn的敛散性的敛散性.解解 由于由于2( 1)1limlim,22nnnnnnu 所以级数是收敛的所以级数是收敛的. .若在若在(11)式中式中 l =1, ,则根式判别法仍无法对级数的敛则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断散性做出判断. 例
17、如例如211,nn对和对和都有都有2111(),nnunnn 但但是是收收敛敛的的 而而却却是是发散的发散的. . 若若(11)式的极限不存在式的极限不存在, 则可根据根式则可根据根式nnu的上极限的上极限 来判断来判断. . *推论推论2 设设nu为正项级数为正项级数, 且且lim,nnnul则当则当 (i) l 1 时级数发散时级数发散. . *例例10考察级数考察级数22nnbcbcbc的敛的敛 散性，其中散性，其中01.bc解解 由于由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 故故lim1,nnnuc因此级数是收敛的因此级数是收敛的. 1limlim,nnnnnnucub
18、11limlim01,nnnnnnubuc如果应用比式判别法如果应用比式判别法, 由于由于 我们就无法判断其收敛性我们就无法判断其收敛性.1limnnnuqulim.nnnuq根据第二章总练习题根据第二章总练习题 4 (7), 当当 时时, 必有必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数, 也能也能 由根式判别法来判别由根式判别法来判别, , 亦即根式判别法较之比式判亦即根式判别法较之比式判 别法更为有效别法更为有效. 例如级数例如级数2( 1),2nn 由于由于 222121332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362
19、mmmmmmuu故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 但应用根但应用根 式判别法却能判定此级数是收敛的式判别法却能判定此级数是收敛的( (例例9).).那么那么, , 是是 否就不需要比式判别法了？请看下面例子否就不需要比式判别法了？请看下面例子. .例例11 判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解解 (i) 因为因为 212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnunnunn 2(1)1lim1,(21)(22)4nnnn 由比式判别法，原级数为收敛由比式判别法，
20、原级数为收敛. . 11,222limlimlim1122nnnnnnnnnnnunn (ii) 因为因为由根式判别法由根式判别法, 原级数为收敛原级数为收敛. 注注 由于极限由于极限2( !)lim(2 )!nnnn很难求很难求, 所以上例中的所以上例中的 (i) 不采用根式法不采用根式法. . :判别下列正项级数Ex5的敛散性ln11112(1) , (2) , (3) ,313lnnnnnnnnnnn212( 1)11(4) 1, (5) .22nnnnnn :(1)解limnnnulim31nnn1,31;31nnnn (2) limnnnu1limlnnn0,11;lnnnn (3)
21、 limnnnuln2lim3nnn2,ln12;3nnn (4) limnnnu11lim12nnn2e1,21111;2nnnn (5) limnnnu2( 1)lim2nnn 1,22( 1).2nn 三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, ,局局 限性较大限性较大, , 所以还需要建立一些更有效的判别法所以还需要建立一些更有效的判别法. .1( )f x dx级数与无穷积分之间,联系十分密切.事实上,1( )f x dx1lim( )nnf x dx111lim( )nknkkf x dx11( )kkkf x dx进一步研究,
22、我们有1( ),f x dx 如则11( )kkkf x dx 定理定理12.9 (积分判别法积分判别法)设设1,)f为为上非负减函数上非负减函数, 那么正项级数那么正项级数+1( )( )df nf xx与反常积分与反常积分同时同时收敛或同时发散收敛或同时发散. . 证证 由假设由假设1,)f 为为上非负减函数上非负减函数, 对任何正数对任何正数 A, ,f 在在1, A上可积上可积, ,于是于是1( )( )d(1),2,3,.nnf nf xxf nn依次相加可得依次相加可得11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n若反常积分收敛若反常积分收敛
23、, ,则由则由(12)式左边式左边, ,对任何正整数对任何正整数m, , 有有111( )(1)( )d(1)( )d .mmmnSf nff xxff xx根据定理根据定理12.5, 级数级数( )f n收敛收敛.11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n反之反之, 若若( )f n为收敛级数为收敛级数, 则由则由(12)式右边式右边, 对任对任 一正整数一正整数 m(1)有有11( )d( ).(13)mmf xxSf nS10( )d,1.Anf xxSS nAn+111.2( )d.f xx根据定理得反常积分收敛根据定理得反常积分收敛因为因为
24、f (x)为非负减函数为非负减函数, 故对任何正数故对任何正数 A, 都有都有用同样方法用同样方法,可以证明可以证明+1( )( )df nf xx与与是同时是同时 发散的发散的. .例例12 讨论讨论1.ppn级数的敛散性级数的敛散性1( ),01,)pf xpx当当时时在在解解 函数函数上是非负减函上是非负减函 +1d11pxppx数,反常积分在时收敛,时发散.故数,反常积分在时收敛,时发散.故11,01pppn由由积积分分判判别别法法得得当当时时收收敛敛 当当 0p时发散时发散. 至于至于的情形的情形, 则可由收敛的必要条件则可由收敛的必要条件知它也是发散的知它也是发散的. .例例13
25、讨论下列级数讨论下列级数2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )ppnnnnnnn的敛散性的敛散性.解解 2d,(ln )pxxx研究反常积分由于研究反常积分由于+22ln2dd(ln )d(ln )(ln )pppxxuxxxu1,1pp当当时时收收敛敛时时发发散散, ,根根据据积积分分判判别别法法得得级级(i)1,1.pp数数在在时时收收敛敛时时发发散散3(ii),(ln )(lnln )pdxxxx对于考察反常积分同样可对于考察反常积分同样可1p 推得级数推得级数 (ii) 在在 p 1时收敛时收敛, 在在 时发散时发散. 四、小结正正项项级级数数审审敛敛法法4.充要
26、条件充要条件5.比较审敛法及其极限形式比较审敛法及其极限形式6.比值审敛法及其极限形式比值审敛法及其极限形式7.根值审敛法及其极限形式根值审敛法及其极限形式3.按基本性质按基本性质;1.;,则级数收敛则级数收敛若若SSn2.;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun8.积分审敛法积分审敛法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, , 如如 果级数的通项收敛速度较慢果级数的通项收敛速度较慢, , 它们就失效了它们就失效了, 如如 p级数级数. . 拉贝拉贝(Raabe)判别法是以判别法是以 p p 级数为比较对象级数为比较对象, , 这类级数的通项收敛于
27、零的速度较慢这类级数的通项收敛于零的速度较慢, , 因此较比式因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细或根式法在判断级数收敛时更精细. .*四、拉贝判别法 111,nnunru;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式111,nnunu.nu则则级级数数发发散散0(i),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式定理定理12.10 (拉贝判别法拉贝判别法) 设设 nu为正项级数为正项级数, 且存且存 0.Nr在在某某正正整整数数及及常常数数.1pr 由由于于1001111(1)(1)limlimlimpppnxxxpxnrrxrn1,pr1111,1.nnn
28、nuurnrpuun由得选使得由得选使得证证 (i)故存在正数故存在正数N, 使对任意使对任意n N ，都有，都有 111.prnn11111111.pppnnununnn1111nnNnNnnNuuuuuuuu这样这样 于是于是, 当当n N 时，有时，有 1211pppNnnNunnN (1)(1)1.ppNppNNNunun11,.nppun因为时收敛 所以是收敛的因为时收敛 所以是收敛的1111(ii)11,1,nnnnuunnuunn由得于是由得于是131212nnnnnuuuuuuuu212112nnunn21.un1,.nun因因为为发发散散 故故是是发发散散的的推论推论(拉贝判
29、别法的极限形式拉贝判别法的极限形式)设设 nu为正项级数为正项级数, 且极限且极限1lim1nnnunru(i)1,;nru当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nru当当时时 级级数数发发散散1 3(21)(14)2 4(2 )Snn存在存在, 则则当当s =1, 2, 3时的敛散性时的敛散性.例例14 讨论级数讨论级数解解 无论无论s =1, 2, 3哪一值哪一值, ,级数级数(14)的比式极限的比式极限 1lim1nnnuu所以用比式判别法无法判别级数所以用比式判别法无法判别级数(14)的敛散性的敛散性. 现现应用拉贝判别法来讨论应用拉贝判别法来讨论. . 当当 s =1时时, ,因因
30、 121111(),22222nnunnnnnunn 21221(43)111(),2222nnunnnnnnunn故级数故级数(14)是发散的是发散的. 当当s = 2时时, 利用极限形式利用极限形式, 有有无法对级数无法对级数(14)的的作出判断作出判断. . 但由于但由于由拉贝法的非极限形式知级数由拉贝法的非极限形式知级数(14)发散发散. . 当当 s =3时时, ,3121lim1lim122nnnnunnnun2122(43)4311,48422nnunnnnnunnn23(12187)3lim222nnnnn所以级数所以级数(14)收敛收敛.根式法更广泛根式法更广泛, , 但当但
31、当 r =1 时仍无法判别时仍无法判别. . 而从例而从例12 似乎可以得出这样得结论：没有收敛得似乎可以得出这样得结论：没有收敛得“最慢最慢”的的 收敛级数收敛级数. . 因此任何判别法都只能解决一类级数的因此任何判别法都只能解决一类级数的 收敛问题收敛问题, ,而不能解决所有级数的收敛问题而不能解决所有级数的收敛问题. .当然我当然我 们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法, ,但这个过程是无限的但这个过程是无限的. .从上面看到从上面看到, , 拉贝判别法虽然判别的范围比比式或拉贝判别法虽然判别的范围比比式或 复习思考题 1.设设nu 为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正 nv limnnnvu 项级数项级数,使得使得. 也就是说没有收敛也就是说没有收敛 得最慢的级数得最慢的级数. .是否存在发散得最慢的级数？是否存在发散得最慢的级数？1,1nnuu 有有,nu nN 2.如果正项级数如果正项级数满足对一切满足对一切(1)?nnnuu 或或能能否否得得出出收收敛敛3.3.总结判别法使用规律总结判别法使用规律. .
