1、 A D 本本节节主主要要任任务务：（1 1）函函数数项项级级数数的的一一致致收收敛敛判判别别法法； Cauchy Cauchy法法则则； 控控制制判判别别法法；- - 判判别别法法。（2 2）一一致致收收敛敛的的函函数数项项级级数数的的和和函函数数的的性性质质 连连续续性性、可可积积性性、可可导导性性12.()0()()()()nnmCauchyxNNmnNuxuxuxxD n nn n= =1 1一一 、 一一 致致 收收 敛敛 的的 判判 别别 定定 理理 （ 函函 数数 项项 级级 数数 一一 致致 收收 敛敛 的的收收 敛敛 原原 理理 ）u u在在 D D上上 一一 致致 收收 敛
2、敛 的的 充充 要要 条条 件件 是是 ：对对 任任 给给， 使使 得得时时 ， 对对 一一 切切成成 立立 。 ( )0( )( )( )nmnCauchysxDNNmnNsxsxxD 注注：函函数数序序列列一一致致收收敛敛的的收收敛敛原原理理是是：在在 上上一一致致收收敛敛的的充充要要条条件件是是：对对任任给给，使使得得时时， 对对一一切切成成立立。1212(1)( )( )( )( )( )D( ) .(3)0( )( )( )( )(4)0( )nnnmxxuxuxuxxNNmnNuxuxuxxDNN n nn n= =1 1n nn nn n= =1 1注注意意：以以下下几几条条等等
3、价价u u在在D D上上一一致致收收敛敛. .( (2 2) )部部分分和和函函数数列列s s在在上上一一致致收收敛敛于于某某个个函函数数 该该函函数数记记为为s s( (x x) )= =u u对对任任给给，使使得得时时， 对对一一切切成成立立. .对对任任给给，12n( )( )( )(5)( )D0.(6),()0nnnmnNxuxuxxDxxDx n nn nn n，使使得得时时， 余余和和函函数数 r r= = 对对一一切切成成立立. .余余和和函函数数r r在在上上一一致致趋趋于于任任意意点点列列有有r r（n n) ). .111)()(),()nnnnnnnnweierstra
4、ssuxxDuxaxDauxD 定定 理理 （判判 别别 法法 设设，满满 足足 且且收收 敛敛 ， 则则在在上上 一一 致致 收收 敛敛 . .1212121210( ) ()()()()()()()nnmnnmnnmmnnCauchyNNmnNaaauxuxuxuxuxuxaaauxD 证证 明明 ： 由由 于于 收收 敛敛 ， 由由 数数 项项 级级 数数 的的收收 敛敛 原原 理理 ，对对 任任 给给， 使使 得得时时 ， 有有 从从 而而 故故在在上上 一一 致致 收收 敛敛 。 cosnxsinnx,cosnxsinnxcosnxsinnx,nnnnnnnnnnaaaaaaaawe
5、ierstrassaa 例例：若若绝绝对对收收敛敛，则则与与在在上上一一致致收收敛敛。证证明明：因因为为， , , 而而收收敛敛由由判判别别法法，则则与与在在上上一一致致收收敛敛. . 111(, 1 2 3.,2(1 2 3.);2).kkkkiikkkpkkpkAbelabBbkaBBMka bMaa 引引 理理引引 理理 ） ， 设设、为为 两两 数数 列列 ，且且、且且 （ 1 1）单单 调调 ； （ ）有有 界界 ：、则则 （ 11111(, 1 2 3.().nnkkiippkkppkkkkkAbelabBbka ba BaaB 引引 理理变变 换换 ） ： 设设、是是 两两 数数
6、 列列 ， 记记 、则则 (x)x(x)(x)(x)();x(x)xnnnnnaaaaM xNa n nn n= =1 1n nn n= =1 1n nn n= =1 1定定理理( (A Ab be el l判判别别法法) ), ,若若b b( ( ) ), ,满满足足 ( (1 1) )关关关关于于n n单单调调, ,在在D D上上一一致致有有界界: :D D, ,n n ( (2 2) )b b( ( ) ) 在在D D上上一一致致收收敛敛. .则则b b( ( ) ), ,在在D D上上一一致致收收敛敛. .111:( ),0( )( ),( )( )( )2( )3,( )( )nmk
7、k nmkknmk nnnbxDNNmnNbxxDAbelax bxaxaxMxDCauchyax bxD 证证明明 由由在在 上上的的一一致致收收敛敛性性 对对任任给给，使使得得时时， 应应用用引引理理 得得 根根据据收收敛敛原原理理在在 上上一一致致收收敛敛。 (),( )( )(1)( ),0;(2)( )( ).( )( ).nnnnnnnDirichletax bxaxnbxsxDax bxD 定定理理判判别别法法若若满满足足关关于于 单单调调 且且一一致致收收敛敛于于的的部部分分和和序序列列在在 上上一一致致有有界界则则在在 上上一一致致收收敛敛111110,( ) ( )( )(
8、 )2bel( )( )2( ) 2( ) )6 ( )nnn kkii nn knkiii ni nnpkknnpknnaNnNaxBbBxb xb xMax bxM axaxMax b n n证证明明：由由于于l li im m( (x x) )= =0 0，使使时时，对对任任意意x xD D成成立立。令令 = =（x x) ) ( (k k= =1 1, ,2 2, ,3 3. . . . . .) ) , , 则则由由A A引引理理，有有 根根据据C Ca au uc ch hy y原原理理，1( )Dnnx 在在上上一一致致收收敛敛. . :,0,1.:,1,0,1 ,(0,1),0
9、,1nnnnnnnnaa xxnxxn NaxAbela x 例例 设设收收敛敛则则在在上上一一致致收收敛敛证证明明 因因为为关关于于 单单调调且且 又又收收敛敛当当然然关关于于一一致致收收敛敛由由判判别别法法在在上上一一致致收收敛敛。 :0,cossin0,2nnnaanxanx 例例 设设单单调调收收敛敛于于则则与与在在内内闭闭一一致致收收敛敛. . 11 :0(x),2(,0),21sin()sin122cos,min,2sinsin221cos()cos122sin,min,2cossin22irichlet,( )cosxnknknaxnxkxxxnxkxxDaxnxa 证证明明 因
10、因单单调调收收敛敛于于 当当然然关关于于 一一致致收收敛敛0 0又又任任取取则则x x时时, , 由由判判别别法法与与 ( )sin,2,0,2nxnx 在在上上一一致致收收敛敛 即即在在内内闭闭一一致致收收敛敛. . n 1sinsin,nxnx 例例: :讨讨论论在在上上的的一一致致收收敛敛性性. . sin sin.( )nxirichlet,nxnxa xD n nn nn nn n1 1证证明明: :令令a a = =, ,b b( (x x) )= =因因为为单单调调, ,且且l li im ma a = =0 0( (关关于于 一一致致) ), ,又又由由判判别别法法级级数数在在
11、上上一一致致收收敛敛. . 01:2 sin0,.3nnnx 例例讨讨论论在在的的收收敛敛与与一一致致收收敛敛性性 11:0,112102 sin2,333211,2sin0,3320,()2 sin32()200,nnnnnnnnknnnnk nknnk nxmnmnmxxxxxxrxrx 解解 对对任任何何总总可可找找到到使使时时 于于是是 又又收收敛敛 故故在在内内收收敛敛 取取由由于于 不不趋趋于于 ，于于是是在在非非一一致致收收敛敛。 ( )( )xx + +n nn=1n=1n n 例例: :设设u u在在x=a,x=a,与与x=bx=b收收敛敛, ,且且对对一一切切nN ,nN
12、,u u在在 a,ba,b 单单调调增增加加, , 证证明明: :在在a,ba,b上上一一致致收收敛敛. . 11( )( )( )( ),1,2. (*)( )( ),( ),( ),( )mmkkk nk nkk nxaxb nabu amnu bmnmnNu a n nn nn nn nn nn n1 11 12 22 21 12 21 12 2证证明明: :因因u u在在 a a, ,b b 上上递递增增, ,故故 u uu uu u 由由于于u u和和u u收收敛敛, ,对对存存在在N N = =N N ( ( ) ), ,N N = =N N ( ( ) )使使 N NN N令令N
13、 N= =m ma ax x N N , ,N N, ,则则时时, ,上上两两式式子子同同时时成成立立. . 由由( (* *) ), ,有有 111111( )( ),( )( )( ),auchy( )mmmkkk nk nmmmkkkk nk nk nuxu bxa buxu au bxa bx n n, , 于于是是 m ma ax x, ,由由C C收收敛敛法法则则, ,u u在在 a a, ,b b 上上一一致致收收敛敛. .二、一致收敛数列的性质二、一致收敛数列的性质 ( )( ),( ),nsxs xs xa b设设上上一一致致收收敛敛于于讨讨论论在在上上的的性性质质：连连续续
14、性性、可可导导性性和和可可积积性性。 ()( )( ),( ),( ),.nns xs xa ba bs xs xa b定定理理连连续续性性定定理理设设的的每每一一项项都都在在连连续续且且在在上上一一致致收收敛敛于于则则在在也也连连续续 0000000:,()(),0,1()(),3,1()()31 ()()3(),nNNNNxa bsxs xNsxs xxa bxxxxha bsxs xsxhs xhsxa bh 一一 致致证证 明明任任 取取由由故故存存 在在 自自 然然 数数使使 于于 是是 取取 有有 由由 于于在在连连 续续 所所 以以 存存 在在当当时时 有有 0000000000
15、01()()3,()()()()()()()()111, ()333NNNNNNsxhsxhs xhs xs xhsxhsxhsxsxs xs xx 于于 是是时时 有有 故故在在连连 续续 n 1sinsin,nxnx 注注意意1 1：例例: :讨讨论论在在上上的的一一致致收收敛敛性性. . :0,cossin0,2nnnaanxanx 例例 设设单单调调收收敛敛于于 则则与与在在内内闭闭一一致致收收敛敛. . n1:,0,1.0,1cossin0,2sinsins()Rnnnnnnnnaa xa xanxanxxnxx 例例设设收收 敛敛 则则在在上上 一一 致致 收收 敛敛尽尽 管管 函
16、函 数数 解解 析析 式式 没没 有有 求求 出出 来来 ， 可可 以以 知知 道道 函函 数数 s s( (x x) )= =在在上上 连连 续续 ； s s( (x x) )= =与与 s s( (x x) )= =在在上上 连连 续续 ；在在上上 连连 续续 。0000000n0n000n0lim ( )(),( )lim( )lim( )s (),lims ()(),()lims ()lim lim( )lim lim( )lim lim( )lim limxxnnnxxnnnnxxnnxx nnxxnxx ns xs xs xsxsxxxs xs xxsxsxsxs 注注意意2 2:
17、 :此此定定理理条条件件下下, ,有有 由由于于，带带入入上上式式左左边边， 又又得得到到，从从而而得得到到。0( )lim lim( )nnxxxsx 。 001110001()()()()()(),lim()(),lim()(),lim()(),lim limnnnnnnkknnnnnnxxnnxxnuxuxuxuxxuxxuxuxuxxux n nn nn n推推 论论 : :设设的的 每每 一一 项项在在 a a, ,b b 上上 连连 续续 , ,在在 a a, ,b b 上上 一一 致致 收收 敛敛 于于 s s( (x x) ), ,则则 s s( (x x) )在在 a a,
18、,b b 连连 续续 . .注注 : :注注 意意 讨讨 论论 级级 数数相相 当当 于于 讨讨 论论 函函 数数 列列（ 部部 分分 和和 列列 ） s s在在 此此 推推 论论 条条 件件 下下 , ,由由 于于s ss s故故00011()lim lim()lim()lim()nnnxxnnxxxxnnsxsxuxux 推推 出出 。 bbbaaa( )( ),( ),( ),. lim( )( )lim( )nnnnnnsxsxa ba bs xs xa bsx dxs x dxsx dx 定定理理( (逐逐项项积积分分定定理理):):设设的的每每一一项项都都在在连连续续 且且在在上上
19、一一致致收收敛敛于于则则在在可可积积 且且。 ( ),( )( ),( ),ns xa ba bs xs xa bs xa b证证明明：由由都都在在连连续续，且且在在上上一一致致收收敛敛于于，应应用用连连续续性性定定理理得得到到在在连连续续，所所以以在在可可积积。 bbbaaa11()()().()()()nnnnnnnuxuxuxs x dxux dxux dx 推推论论: :设设的的每每一一项项在在 a a, ,b b 上上连连续续, ,在在 a a, ,b b 上上一一致致收收敛敛于于s s( (x x) ), ,则则s s( (x x) )在在 a a, ,b b 可可积积 且且 。
20、bbaababbaabbbbaaaabaa()lim()()lim()lim()lim()lim()()lim()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnns xsxs x dxsx dxsx dxsx dxsx dxsx dxsx dxsx dxs x dxsxs xdxsxs xdx 由由 于于， 所所 以以（ 这这 是是 一一 个个 数数 哦哦 ！ ） 。（ 数数 列列 的的 极极 限限 哦哦 ！ ） 下下 证证 明明 ：。 由由 于于b, bbaa1ba1( )( )2( )( )s( )( )( )( )s( )( )1.1nnnnnnnnnuxuxuxuxxux dx
21、s x dxuxxux dxx n nn=0n=0注注意意：以以上上结结论论实实质质上上指指出出：当当（1 1）的的每每一一项项在在 a,ba,b 上上连连续续, , （ ）在在 a,ba,b 上上一一致致收收敛敛于于s(x),s(x),即即可可以以导导出出 。即即已已知知和和，可可以以求求的的和和。常常见见的的和和x x 121351:-1,1,( 1)11arctan2135nnnxxxxxxn 例例 证证明明当当时时 成成立立。 1222n212n22n2222n21:-1,1 ,1 s ( )( 1)1()1111 s ( )1()11111 lim 10,( ),1 nkknknnn
22、nnxxxxxxxxxxxuxx 证证明明 对对任任意意取取 0 0 使使x x- -1 1+ +1 1- -由由于于而而故故在在 - -1 1+ +1 1- -上上一一致致收收敛敛于于于于是是 xx12212220001112111x212011( 1)( 1)1( 1) =21( 1)1 =arctan,-1,1 . 211xkknnnnnnnnnndttdttdttxnxdtx xnt 1231.:-1,1,(1)11ln (1)23nnnxxxxxxn 例例 证证 明明当当时时成成 立立 1111110011101:-1,1 ,0,-1,1-, ( 1)-1,1-1( ),11( 1)
23、( 1)1( 1)1 ln(1),-1,11nnnnxxnnnnnnxnnxxxxs xxdttdtxtnxdtxxnt 证证明明 对对任任意意取取使使易易知知在在上上一一致致收收敛敛于于利利用用逐逐项项积积分分定定理理 有有 。 :( )(1) ( )(1,2,3),;(2)lim ( )( )(),;(3)lim ( )( )(,);( ), ( )( ),lim ( )lim( )nnnnnnnnnns xs x na bs xs xxa bs xxxa bs xa bddds xxs xs xdxdxdx 定定理理 设设满满足足在在上上连连续续可可导导点点态态在在上上一一致致则则在在可
24、可导导且且即即 00:(3),( ),( )lim( )lim( )( )( )( ),( ),( )( ).xxnnnnnxa bx dxsx dxsxs as xs as xsxx 证证明明 连连续续性性定定理理及及知知在在上上连连续续又又由由逐逐项项积积分分定定理理 有有 由由于于左左边边可可导导 故故可可导导 且且 11111().(1)( )(1,2,3),;(2) ( ),( );(3)( ),( ).( )( ),( )( ).( )( ).nnnnnnnnnnnux na buxa bs xuxa bxs xuxa bs xxdduxuxdxdx 推推论论 逐逐项项求求导导定定
25、理理 设设满满足足在在上上连连续续可可导导在在点点态态收收敛敛于于在在一一致致收收敛敛于于则则在在可可导导 且且即即 111( )( )2( )3( ),( ).( ),( )s( )( )( )s( )( )nnnnnnnnnnnuxuxuxuxa bxxuxxuxuxxux n nn n注注意意：以以上上结结论论实实质质上上指指出出：当当（1 1）的的每每一一项项在在 a,ba,b 上上连连续续可可导导, , （ ）在在 a,ba,b 上上点点收收敛敛于于s(x),s(x),（ ）在在一一致致收收敛敛于于推推出出s (x)=s (x)=即即可可以以导导出出 s (x) s (x)。相相当当
26、于于可可以以两两边边求求导导！即即已已知知和和，可可以以求求的的和和。常常见见的的和和x x1.1x =0=0 2321-1,1 23(1)nnxxnxxxxx 例例: :证证明明: :对对一一切切, ,成成立立 0101111111111,-1,11()()-1,1()(nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxnxxnxnpnpxxxnxx 证证 明明 : :首首 先先 我我 们们 知知 道道 : : = =因因 为为 , ,对对 0 0 p p 1 1, ,当当- -p p, ,p p 时时 , ,有有 而而收收 敛敛 , ,故故在在- -p p, ,p p 一一 致致 收收 敛敛 , ,
27、故故 对对, ,可可 选选 0 0 p p N, xD,( )( ).N=1n N, xD,(x )(x );N=nn N, xD,(x )(x );N=nn N, xD,(x )(x );nnnnnsxDs xsxs xssssss 证证明明 反反设设在在 上上非非一一致致收收敛敛于于，所所以以对对于于任任意意 ，使使得得 取取，使使得得 取取，使使得得 取取，使使得得 kkkk-1knnn00N=nn N, xD,(x)(x);()()kkkkkknnnnnnssxxDsxs x 取取，使使得得 所所以以得得到到点点列列，有有。 mmmmm000NN0NN11N, , .( )( ),0,
28、N( )( ).2( )( ).2( )()( )( )( )2M()(kkkkkknnnmnnnnnnxxxa bssnNsssssxxsxssssxs m m由由于于点点列列是是有有界界点点列列，所所以以存存在在收收敛敛子子列列设设limlim由由于于limlim所所以以对对上上面面的的存存在在 ，当当时时，特特别别有有由由于于在在 连连续续，而而，故故 lim= lim=，故故存存在在，当当mMmM 时时，mmmmm002212NN0)2M()( ),2()()()( )()( ).kkkkknnnnns xsMsxs xsxss xs ，由由于于s(x)s(x)在在 点点连连续续, ,
29、故故存存在在，当当mMmM 时时，所所以以mmaxMmmaxM时时 kkkkmmmmkkmmkknnNnn0nn0nn0(x)(x)(x)(x).(x)(x).(x )(x ).( ),kkmknnnnsssssssssxa b k k这这样样一一来来，当当n n N N时时，( (由由单单调调性性) )有有从从而而可可得得到到这这与与相相矛矛盾盾反反设设错错误误。则则在在闭闭区区间间上上一一致致收收敛敛于于s s( (x x) )。 :( ),(1)( )(1,2,3),;(2) ( ),;(3),( );( ),nnnnu xa bu x na bs xa bxa bu xu xa b n
30、 n= =1 1n n= =1 1n n= =1 1D Di in ni i定定理理的的级级数数形形式式设设在在闭闭区区间间上上点点收收敛敛于于s s( (x x) ), ,且且满满足足在在上上连连续续在在上上连连续续对对固固定定，是是正正项项级级数数或或者者负负项项级级数数则则在在闭闭区区间间上上一一致致收收敛敛于于s s( (x x) )。1212(1)()()()()()D() .(3)0( )()()()(4)0nnnmxxuxuxuxxNNmnNuxuxuxxDN n nn n= =1 1n nn nn n= =1 1判判定定定定理理总总结结：以以下下几几条条等等价价u u在在D D
31、上上一一致致收收敛敛. .( (2 2) )部部分分和和函函数数列列s s在在上上一一致致收收敛敛于于某某个个函函数数该该函函数数记记为为s s( (x x) )= =u u对对任任给给，使使得得时时， 对对一一切切成成立立. .对对任任给给，12n( )()()()(5)()D0.(6),()0nnnNmnNxuxuxxDxxDx n nn nn n，使使得得时时， 余余和和函函数数 r r= = 对对一一切切成成立立. .余余和和函函数数r r在在上上一一致致趋趋于于任任意意点点列列有有r r（n n) ). .111)()(),()nnnnnnnnw eierstra ssuxxDuxa
32、xDauxD 定定 理理 （判判 别别 法法设设，满满 足足 且且收收 敛敛 ， 则则在在上上 一一 致致 收收 敛敛 . . (x)x(x)(x)(x)();x(x)xnnnnnaaaaM xNa n nn n= =1 1n nn nn n= =1 1n n= =1 1定定理理( (A Ab be el l判判别别法法) ), ,若若b b( ( ) ) , ,满满足足( (1 1) )关关关关于于n n单单调调, ,在在D D上上一一致致有有界界: :D D, ,n n( (2 2) )b b( ( ) ) 在在D D上上一一致致收收敛敛. .则则b b( ( ) ) , ,在在D D上上
33、一一致致收收敛敛. . (),( )( )(1)( ),0;(2)( )( ).( )( ).nnnnnnnDirichletax b xaxnb xsxDax b xD 定定理理判判别别法法 若若满满足足关关于于 单单调调 且且一一致致收收敛敛于于的的部部分分和和序序列列在在 上上一一致致有有界界则则在在 上上一一致致收收敛敛000D0bbbaaaDD( )( )(lim lim( )lim ( )lim lim( )D lim( )( )lim( )2( )( )( )( )(nnnxx nxxnxxnnnnnnsxs xsxs xsxxsx dxs x dxsx dxsxs xsxx 上
34、上一一致致收收敛敛上上收收敛敛上上一一致致收收敛敛性性质质总总结结: :(1)(1)设设主主要要条条件件），则则有有，；，a,bD;a,bD;（ ）设设， 主主lim( )( )lim( )Dnnnndddsxs xsxxdxdxdx要要条条件件）则则有有，。000D1011bbbaaa11D1D1( )( )(lim( )lim ( )lim( )D ( )( )( ), ( )( );( )( )nnnnxxxxxxnnnnnnnnnnuxs xuxs xuxxux dxs x dxux dxuxs xuxx 上上一一致致收收敛敛上上收收敛敛上上一一致致收收敛敛(3)(3)设设主主要要条条件件），则则有有 ，；a,bD;a,bD;（4 4） 设设11( )( )( ).D.nnnnddduxs xux xdxdxdx主主要要条条件件），则则有有作业作业 P82P82：1 1（4 4）（）（5 5）（）（6 6）6 6
