1、机械控制工程基础第六章 系统的校正设计第一节 概述第二节 串联校正第三节 PID校正第四节 反馈校正第五节 系统校正设计的MATLAB实现校正的实质： 在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的附加机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。1、用附加装置重新改变系统零极点在s面的分布，使分布满足要求2、加入装置就是加入零极点，系统的根轨迹发生变化。3、零极点变化，系统的频率特性发生变化。附加装置称为校正装置，通常用GC(s)表示。一、校正的概念校正的实质：输出量串串联联补补偿偿元
2、元件件放放大大元元件件执执行行元元件件被被控控对对象象反反馈馈补补偿偿元元件件测测量量元元件件局部反馈为改善系统性能测量元件被控对象执行元件局部反馈放大元件串联补偿主反馈反馈补偿为改善系统性能输入量输出量二、校正方式校正方式串联校正)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sGc)(sGo反馈校正)(sR)(sC)(sH)(sE)(sGo)(sGc校正装置校正装置前馈校正干扰补偿校正按校正装置的连接方式分)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sG)(sGc)(sC)(sG)(sN)(sG)(sGc(b)对扰动的补偿(a)前馈校正+ +- - -+ +R(s)E(s)N(s)C(s)图3
3、-26 按扰动补偿的复合控制系统)(2sG)(1sG)(sGn第二节 串联校正图中，Gc(s)表示了串联校正装置的传递函数， G(s)表示系统不变部分的传递函数。工程上常用的串联校正有超前校正 ，滞后校正 ，滞后-超前校正一、相位超前校正相位超前校正的传递函数为 111)()(TsTssUsUsGioc上式所对应的bode图如下：由图可见，超前校正的主要特点是提供正的相移，故称相位超前校正。这一最大值主要发生在对数频率特性曲线的几何中心处，对应的角频率： Tddm1021则令，UiUo相位超前主要是发生在而且超前角最大值为TaT1,111arcsinaamT1m1T)s/(rad1m09000
4、 BL/d )s/(rad1mdec/dB20lg20lg10例例6-1 单位反馈系统的开环传函为单位反馈系统的开环传函为)2(4)(ssKsG若要使系统在单位速度输入下的稳态误差若要使系统在单位速度输入下的稳态误差ess=0.05，相位，相位裕度裕度不小于不小于50，幅值裕度，幅值裕度Kg（dB）不小于）不小于10 dB，试，试设计系统的校正装置。设计系统的校正装置。解解 该系统为该系统为I型系统。型系统。1）根据稳态误差要求，确定开环增益）根据稳态误差要求，确定开环增益KssHsGsesss211)()(11lim20=0.05得得K=10当当K=10时，系统满足精度要求，其开环传函为)1
5、5.0(20)2(4)(ssssKsG2）绘制校正前的）绘制校正前的Bode图图由由Bode图可知，相位裕度图可知，相位裕度=17，幅值裕度为，幅值裕度为，所以，所以系统稳定。但系统稳定。但未达到未达到50，不满足要求。不满足要求。3）增加相位超前校正装置，）增加相位超前校正装置，最大超前角为最大超前角为m= 2- 1+（510）=384）系数）系数为为24.0sin1sin1mm5）校正后的剪切频率）校正后的剪切频率c2dBLc2.61lg20)(2129sradc得6）确定校正装置的传函，由于）确定校正装置的传函，由于Tmc12可得转折频率为可得转折频率为s054.04.181227.04
6、1.411212TsTsTsTcc，为补偿校正造成的增益损失，将为补偿校正造成的增益损失，将放大器的增益提高放大器的增益提高1/0.24=4.17倍，倍，此时校正装置的传函为此时校正装置的传函为1054.01227.0)(sssGc作用：例、设单位负反馈系统原来的开环渐进幅频特性曲线和相频特性曲线如下图曲线L1、 1所示。它可以看作是根据给定稳态精度的要求，而选取的放大系数K所绘制的。由图可以看出，在20lg|G(j )|0范围内， G(j ) 对- 线有一次负穿越，原系统不稳定。这说明根据稳态精度要求所选取的K值会使系统的稳定性破坏，为了解决这一矛盾，给系统串入超前校正。为使校正环节的正相移
7、补偿在原系统的中频段，因此校正环节的转折频率1/aT 及1/T，原则上应分别设在原截止频率 c1的两侧。校正后系统的开环对数频率特性曲线如图中L2、 2所示。由于校正环节的幅频特性有一段正斜率，故使校正后的渐近幅频特性的中频段斜率变为-20dB/dec，而且截止频率增大到 c2；对照相频曲线来看，由于校正环节正相移的作用，使 c2附近的相频曲线明显上移。因此经校正后系统不仅稳定，而且还具有一定的稳定裕度，有效的改善了原系统的稳定性，并且可以使快速性有所提高。作用：正相移和正幅值斜率改善了中频段的斜率，增大了稳定裕量，从而提高了快速性，改善了平稳性。缺点：使系统高频段的幅频特性上移了20lgad
8、B，这会削弱系统抗高频干扰的能力，因此在高频干扰比较严重的情况下，一般不用超前校正。 络来实现。可以通过下面的无源网111aTsaTssGcrucu1R2RCT1T10j假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为无源超前网络sCRRRsGsUsUcrc12211)()()(CsRRRR11221CsRRRRCsRR211212)1 ()/()()/()1 (2121212112RRCsRRRRRRCsRR2121RRCRRT时间常数1221RRRaCRaT1TsaTsasGc111)(2121RRCRRT时间常数221RRRa分度系数CRaT1TsaTs
9、asGc111)(注：jj采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降因此需要提高放大器增益加以补偿TsaTssaGc11)(倍rucu1R2RCa带有附加放大器的无源超前校正网络此时的传递函数超前网络的零极点分布1a故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数 决定。a可知改变a和T(即电路的参数CRR,21超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。T1T10j由于)的数值，22)(1lg20)(1lg20)(lg20TaTsGcarctgTarctgaTc)( 对应式 得TsaTssaGc11)(显然，超前网络对频率在 之间的输入信号有明显的微分作用，在该频
10、率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。TaT11至10-210-11001010510152010-210-11001010102030405060aT1T120dB/decarctgTarctgaTc)(2)(1) 1(TaTaarctgaTm1最大超前角频率求导并令其为零故在最大超前角频率处m具有最大超前角m m正好处于频率aT1与T1的几何中心TaT11与的几何中心为mmaTTaTlglg211lg21)1lg1(lg2122即几何中心为m画出对数频率特性如图所示二、滞后校正滞后校正的传递函数为 111bTsbTssGc上式所对应的波特图如下：设单位负反馈系统原
11、来的开环渐进幅频特性曲线和相频特性曲线如上图曲线L1、 1所示。它可以看作是根据给定稳态精度的要求，而确定的放大系数K所绘制的。由图可以看出，20lg|G(j )|在中频段截止频率 c1附近为-60dB/dec 顾系统动态响应的平稳性很差或不稳定，对照相频曲线可知，系统处于临界稳定情况。将系统串入滞后校正环节，并将滞后校正环节的转折频率1/T，1/bT设置在远离 c1的地方。这时校正后系统的开环对数频率特性如上图L2、 2所示。由于校正环节的相位滞后主要发生在低频段，故对中频段的相位特性曲线几乎无影响。因此校正的作用，使 c减小了，从而增大了稳定裕度，保证了稳定性和振荡性的改善，因此可以认为，
12、滞后校正是以牺牲快速性来换取稳定性和改善振荡性。同时由于校正后系统高频衰减了20lgbdB，因此校正后的系统具有较好的抑制高频干扰的能力。如前所述，系统的稳态精度取决于K、V。滞后校正没有起到直接提高稳态精度的作用，而是由于它的加入，使得系统可能在较大的放大系数时，不至于发生振荡性过大或不稳的现象，稳态精度的提高仍然是通过增大K的手段来实现的。设单位负反馈系统未校正时的对数频率特性如图中曲线L1、 1所示，校正网络Gc(s)对应的幅频特性如图中曲线L2所示。 Gc(s) G(s)对应的对数频率特性为曲线L3、 3。由图可见，加入Gc(s) 后并未改变低频段的斜率与高度，这说明稳态精度并未由于G
13、c(s) 的加入，使得 T-1幅频特性事先均有衰减，这样提供了通过增加开环放大系数，提高低频区幅频特性高度的可能性。增大放大系数，即将曲线L3上移，可得曲线L4 。曲线L4与L1相比，低频区的高度变高，而中频区、高频区不变。即稳态精度提高的同时基本上保持了其他性能不变。通常式 可通过下面的无源网络来实现 111bTsbTssGc1Rrucu2RCCRRT)(211212RRRb2.无源滞后网络1Rrucu2RC如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为sCRRsCRsGsUsUcrc11)()()(1221)(1212CsRRCsRCRRT)(21时间常数1212RRR
14、b分度系数CRbT2TsbTssGc11)(无源滞后网络1)(12122121CsRRCsRRRRR三、滞后超前校正综合超前、滞后校正的利弊，为了全面提高系统的动态品质，使系统稳态精度、快速性和振荡性均有所改善，可同时采用超前与滞后校正，并配合增益的合理调整。鉴于超前校正的转折频率应选在系统的中频段，而滞后校正的转折频率应选在低频段，因此可知滞后超前串联校正的传递函数的一般形式应为： 212121, 1, 1)1)(1 ()1)(1 (aTbTbasTsTsaTsbTSGC且有上式可由下图所示无源网络来实现。1Rrucu2R1C2C无源滞后-超前网络传递函数为2211221111)()()(s
15、CRsCRsCRsUsUsGrcc1)() 1)(1(212211222112211sCRCRCRsCRCRsCRsCRbabaTTTTsTsTsTsT2121,) 1)(1() 1)(1(11CRTa22CRTb21CRTababbaTTTTT21具有以下关系，可以证明满足上式的设2121,取TTTTTTab1,1,21aTaTaTTab)1)(1 () 1)(1()(1saTsTasTsTsGbabac上式前一部分为相位超前校正。后一部分为滞后校正。GC(S)对应的波特图所下图所示。由图中可以明显看出，在不同的频段呈现的滞后、超前校正作用第三节 PID校正- -)(sR)(sE)(sM)(
16、sC)1 (sKp(a) PD控制器（1）比例-微分（PD）控制规律 pdCKSKSGPD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号相当于超前校正，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个 的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。1在工业自动化设备中，也经常采用电动或气动单元构成的组合型校正装置，由比例单元（P），kp，微分（D）单元，kds及积分（I）单元(Tis)-1可组成PD、PI、及PID三种校正器。 11TSKSKKKSGppdpC（2）比例-积分（PI）控制规律具有积分比例-积分控制规律的控制器
17、，称为PI控制器。-)(sR)(sE)(sM)(sC1sT K i p PI控制器 SSKTTSTKSGPiiipC111相应于滞后校正（3）比例（PID）控制规律具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称为PID控制器。 STSKTSKTSTSKKSGipidiidpC112-)(sR)(sE)(sM)(sCPID控制器STSKKidp1增加一个极点，提高型别，稳态性能两个负实零点，动态性能比PI更具优越性I积分发生在低频段，稳态性能(提高)D微分发生在高频段，动态性能(改善)两个零点一个极点其作用相应于滞后超前校正串联校正的理论设计方法串联校正的理论设计方法有频率域方法和根轨迹法。下面以串联
18、超前校正与串联滞后校正为例，介绍这两种方法的原则步骤。一、串联校正的频率域方法频率域设计的基础是开环对数频率特性曲线与闭环系统的品质的关系。在设计时依据的指标是V、K、 c、 、h等。因此在应用时首先需要把对闭环系统提出的性能指标，通过转换关系式，近似的用开环频域指标表示。校正设计的任务：选择合适的校正装置的传递函数Gc(s)，使得Gc(s) G(s)在所要求的增益下的波特图变成期望的形状，从而保证闭环系统具有所要求的动态品质。举例说明超前校正和滞后校正的情况例：系统的结构图如下)(sR)(sC)(sG)(sE)(sG c 11 . 0ssk要求设计Gc(s)和调整k，使得系统在r(t)=t作
19、用下的稳态误差ess 0.01，且相位裕度 450，截止频率 c 40 。解： Gc(s)的设计和k的调整步骤如下：jj根据稳态误差要求k。未加校正时，系统r(t)=t作用下的稳态误差，可由终值定理求出。kerss1因此要求ess 0.01，则k 100，取定k=100 。根据取定得k值，做出未校正系统的开环渐近对数幅频特性和相频特性曲线，如图中曲线L1、 1所示。 c=31， =1800+(-900-arctan3.1)=17.90无论 c与 均未满足要求选取校正环节。由于满足稳态要求时， c与 均比期望值小，因此要求加入的Gc(s) ，能使校正后的系统截止频率和相稳定裕度同时增大，为此选取
20、超前校正。确定校正环节的Gc(s)参数。a、T待定， a、T确定的原则是：最大相位超前角 m发生在新的截止频率 c处，这里 c 40。因此应有 m= c40校验校正后的结果，加入Gc(s) 后的开环传递函数为于是,01136. 044416lg20TaTaa可选 c =44，可得 =44时，L1上的幅频为-6dB，因此校正环节提供了的6dB增益。 0371414arcsin,101136. 0104544. 0mCSSSG 11 . 0101136. 0104544. 0100SSSSSGSGC对应的波特图中的曲线L2、 2校正后的 =1800+(-900-arctan4.4)+370=49.
21、80 满足要求上例中，如果没有截止频率 c 的要求 只是要求ess和 也可以选取滞后校正，具体做法如下。jj根据稳态误差的要求调整k，选取k=100 根据取定得k值，做出未校正系统的开环渐近对数幅频特性和相频特性曲线，如图中曲线L1、 1所示。选取校正环节。由于满足稳态要求时， 相稳定裕度 不符合要求，选取相位滞后校正确定校正环节的Gc(s)参数。b、T待定，又于滞后校正参数的选择原则是：他的两个转折频率都应当在低频区，因而Gc(s)的相位滞后对中频区的影响较小。所以可由幅频特性曲线L1和相频特性曲线 1共同来选择校正后截止频率 c。由于相频曲线 1在 =8时离-1800线的距离为510，故可
22、初步选定 c=8。在 c=8处，幅频特性曲线L1的高度为22dB，要求加入校正后幅频特性为零分贝。根据图应有：08. 00lg201bLbc为了使滞后校正部分的相位滞后特性对 c=8处影响不大，所以校正环节的转折频率(bT)-1应设置在远离 c的低频区，工程上常取在远离 c十倍频程的地方，即：(bT)-1=0.1 c将b、 c带入上式，可得T=15.625,由此可得校正的传递函数 1625.15125. 1100SSSGC对应的波特图中的曲线L2、 2校正后的 =1800+(-900+arctan10-arctan0.8-arctan125) =46.10 满足要求二、串联校正的根轨迹方法根轨
23、迹设计的基础是闭环零、极点与系统品质之间的关系，为了简便起见，闭环的品质通常是通过闭环主导极点来反映的。因此在设计开始需要把对闭环性能指标的要求，通过转换关系式，近似地用闭环主导极点在复平面上的位置来表示。闭环设计的主要任务是：选择合适的校正装置的传递函数Gc(s)，使得由Gc(s) G(s)所得的闭环根轨迹，在要求的增益下的主导极点，与期望的主导极点一致，从而保证闭环系统具有要求的动态性能指标。下面举例说明超前校正和滞后校正的情况。例：设系统的结构图如下所示)(sR)(sC)(sG)(sE)(sG c 2ssk图中k*=2k。要求设计串联超前校正环节Gc(s)，使得系统阶跃响应满足以下要求，
24、超调量 0.16，调节时间ts2s。0160, 5 . 016. 0%100%2或极点的阻尼角小于超调量对于二阶系统：e解：作出未加校正时系统的根轨迹图，如下：xx0-2p1从左图中的原点o，作600的阻尼线，它和未加校正的闭环根轨迹交于A点AA点的位置是-1+j3由二阶系统时域指标的估算公式可知，这时2231, 5 . 05 . 35 . 3nst不符合题意要求这说明单纯通过增益k的调整，不能同时满足 、ts的要求。需加入校正环节的零、极点，以改变闭环根轨迹的走向，经过以上分析，原系统主要是快速性达不到要求，故可选取超前校正，做法如下：jj选取期望的闭环主导极点在保证 的要求下，在上图中取点
25、B，B点的位置为-2+j32B验算表明B点所对应的 =4，因而ts可为1.75s，符合题意要求，故B点可作为期望的主导极点。注意B点的选择不是唯一的。计算主导极点处的相角差额如果不加入校正，B点不在原来系统的根轨迹上，因为它不满足根轨迹的相角条件。事实上，由原来系统的极点-2、0向B点所引向量与实轴的夹角，分别为900和1200，因此B点的相角与奇数倍的1800相差300，这个差角称为B点的相角差额。要使B点位于校正后的根轨迹上，就要求加入的校正环节的零点和极点能在B处补上300的差额。xx0-2p1AB1200选取超前校正的参数a、T系统串联入超前校正，就增加了系统的开环零点-(aT)-1和
26、极点-T-1，它们在复平面上的位置分别用字母Z、P表示。Z、P的选取必须在B点处补上上述300的相角差额，即满足 BZO- BPO=300满足上式的Z、P可以有无穷多种取法。介绍一种使a取最小的法则，如图所示，由B点作平行于实轴的直线BLL作 OBL的等分线BE,在E点的两侧取Z、P，使得 PBE= ZBE=150EZPX300满足 BZO- BPO=300的要求，并且可使OP/OZ=a最小，即在给出300差额的所有a中，这时a最小。根据上面使a取最小的法则，可求出OP=5.3,OZ=2.85,所以a=1.86，T=0.189。这样Gc(s)为 SSTSaTSSGC189. 0135. 011
27、1调整开环增益为了使校正后闭环主导极点位于B点，应当适当选取开环增益。校正后B点处的根轨迹增益K*B应满足模值条件11BPBPBOBZKB式中BP1为B到-2点的距离。将BZ=3.57,BP=4.78,BO=4,BP1=23代入上式，可求出K*B =18.55，而K*B与开环增益的关系为KKKB7 . 3189. 05 . 035. 0为了使校正后的主导极点位于B，开环增益K应取02. 57 . 355.18K作出校正后闭环系统的根轨迹图校正后系统的开环传递函数为 SSSSSGSGC189. 0115 . 035. 0102. 5上述设计中，根据a取最小的法则来选取a、T，这样做得好处是，如果
28、采取无源网络来实现Gc(s)时，因为a比较小，附加的增益补偿比较容易实现。但是a、T一旦确定，B点处对应的开环增益就确定了。如果B点的开环增益有确定的要求，那么就不可根据上述原则来选取a、T。因为校正后的根轨迹增益K*B与开环增益的关系仍为aKTKaTKB22这时可用试探法来选取a、T首先选取Z，根据300相角差额的要求可得P点，从而BZ,BP,OZ,OP均可确定，由 可求出a和K*B，代入可计算出k验证k是否满足稳态要求。这样的做法往往要多次反复试凑才能得到合适的a、T1,1BPBPBOBZKaOZOPB串联滞后校正的根轨迹方法串联滞后校正参数的选取原则：使它的两个转折频率位于低频区。若从零
29、、极点的角度来看，引入滞后校正就是使开环增加了一对零、极点，它们是位于s平面原点附近的一对偶极子且极点比零点更加接近原点。例：结构图如下)(sR)(sC)(sE 6212sssk)(sG c要求设计滞后校正Gc(s)和调整开环增益，使系统在使得系统在r(t)=t作用下的稳态误差erss0.25，且阶跃响应的超调量 %20%解：作出未加校正时系统的根轨迹，如下图所示。3.46xxx-2-6cDj要求超调量小于20%，可取系统的阻尼比 =0.5。由原点作600的阻尼线，与根轨迹交于B点，B点在复平面上的位置为-0.75+0.75 j,3600B =0.56 .14BDBCBOKB故B点对应的K值为
30、22. 112BKKB点处的根轨迹增益为 jj根据系统稳态要求选取开环增益。由终值定理可求出等速输入下的稳态误差erssKerss1因此要满足erss0.25的要求，k应取大于4的值，由B处的增益计算可知，单纯调整开环增益不能同时满足erss与 的要求。加入滞后环节的目的在于，使校正后的闭环根轨迹通过B点，且在B点处对应的K值大于4，例如K=5。确定滞后校正环节的参数b、T。由B点偏离BO线80角作一直线，交横坐标轴为E点，如下图所示。在E点的右侧取一点，例如，坐标为-0.2的地方，作为滞后环节零点的位置，即有2 . 01bT因为校正环节的极点位于零点和原点之间，故加入这一对偶极子后，B点仍近
31、似满足校正后的幅角条件，从而保证了B点近似的在校正后的根轨迹上。为了保证校正后B点对应的开环增益为5，可根据校正前后B点对应的开环增益之比来选取b，并可计算出T。49.20,244. 0522. 1Tb因为B点的根轨迹增益在校正前后基本不变，所以开环增益之间的比值为b。这样可得校正环节的传递函数为 149.201998. 4SSSGC作出校正后的根轨迹图。校正后系统的开环传递函数Gc(s) G(s)为 0488. 0622 . 06 .141167. 015 . 0149.201998. 45SSSSSSSSSSGSGC作出根轨迹后如左图所示，图中虚线框出的部分为原点附近的根轨迹形状。由图上可知，当K取5时，闭环有一个极点远离虚轴，有一个极点与零点-0.2构成闭环偶极子，闭环主导极点位于B附近，即有阻尼 =0.5左右，满足超调量的要求。第五节 系统校正设计的MATLAB实现 频率法校正是借助bode图进行校正。当系统动态性能不能满足要求时，可以对伯德图在剪切频率附近提供一个相位超前角，达到系统稳定裕度的要求，而保持低频部分不变，即采用相位超前校正。当系统稳态性能不能满足要求时，可以对bode图保持低频段不变，将中频段与高频段的幅值加以衰减，使之在中频段的特定点处达到系统对稳定裕度的要求，即采用相位滞后校正。当系统的动态性能与稳态性能均不满足要求时，则采用相位滞后超前校正。
