1、 在本节课之前，我们研究过直线的在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线示着一条直线.创创 设设 情情 境境下面看一个具体的例子下面看一个具体的例子. 【1】求第一、三象限里两轴间夹角平分线的】求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系坐标满足的关系.点的横坐标与点的横坐标与纵坐标相等纵坐标相等.x - - y=0第一
2、、三象限第一、三象限角平分线角平分线 l得出关系得出关系：(1) l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x - - y=0的解的解;(2)以方程以方程 x-y=0的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 l上上.曲线曲线条件条件方程方程xyox- -y=0l分析特例归纳定义分析特例归纳定义满足关系：满足关系：(1)如果如果M(x0, y0 )是圆上的点是圆上的点, 那么那么M(x0, y0 )一定是这个方程的解一定是这个方程的解;【2】方程】方程表示如图的圆表示如图的圆, 图象上图象上的点的点M与此方程与此方程 有什么关系？有什么关系？222()()x ay br222()()xaybr那么以它为
3、坐标的点一定在圆上那么以它为坐标的点一定在圆上.(2)如果如果M(x0, y0 )是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，的解，oxy00( ,)M x y分析特例归纳定义分析特例归纳定义(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.定义定义:一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点上的点与一个二元
4、方程与一个二元方程 f(x , y)=0 的实数解建立了如下的实数解建立了如下的关系的关系:xyo任意曲线任意曲线C( , )0方方程程 f x y （纯粹性）（纯粹性）（完备性）（完备性）说明说明1.1.曲线的方程曲线的方程: :反映的是图形所满足的数反映的是图形所满足的数量关系量关系2.2.方程的曲线方程的曲线: :反映的是数量关系所表反映的是数量关系所表示的图形示的图形3.3.如果曲线如果曲线C C的方程是的方程是f(x,y)=0,那么点那么点P(P(x0 0, ,y0 0) )在曲线在曲线C C上的充要条件是上的充要条件是f(x0,y0)=0. 【3】用下列方程表示如图所示的曲线】用下
5、列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？对吗？为什么？(1)0;xy22(2)0;xy(3)|0.xyxyox- -y=0(1)解解:曲线曲线C上的点不全是方程上的点不全是方程 的解的解.例如例如点点A(2,2)不符合不符合“曲线上点的坐标都曲线上点的坐标都是方程的解是方程的解”这一结论这一结论. 0 xy不符合关系不符合关系(1)(1)(2)解解:以方程以方程x2- -y2=0的解为坐标的点不全在曲线上的解为坐标的点不全在曲线上.例如例如 B(2, - -2). 不符合关系不符合关系(2)(2) 【3】用下列方程表示如图所示的曲线】用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？对吗？为
6、什么？(1)0;xy22(2)0;xy(3)|0.xyxyox- -y=0(3)解解:曲线曲线C上的点不全是方程上的点不全是方程 |x| - -y=0 的解的解.例如例如点点C(2,2)不符合不符合“曲线上点的坐标都曲线上点的坐标都是方程的解是方程的解”这一结论这一结论. 不符合关系不符合关系(1)(1)以方程|x|-y=0的解为坐标的点不全全在曲线上，不符合关系不符合关系(2)(2)例如例如 D(-3,3)不在曲线上.解解:(1)不正确，不具备不正确，不具备(2)完备性，应为完备性，应为x=3, (2)不正确不正确,不具备不具备(1)纯粹性，应为纯粹性，应为y=1. (3)正确正确. (4)
7、不正确不正确,不具备不具备(2)完备性完备性,应为应为x=0(- -3y0).(1)过点过点A(3，0)且垂直于且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为|x|=3.(2)到到x轴距离等于轴距离等于2的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=2.(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为 |xy|=1.(4) ABC的顶点的顶点A(0,- -3)，B(1,0)，C(- -1,0)，D为为BC 中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程 x=0.例例1 .判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.变式训练：写出下列半圆的方程变式训练：写出下列半圆的方
8、程y-555555-5-5-5oxyxoyxo-5yxo55225yx 225yx ( 55)x225xy ( 55)y 225xy( 55)y 例例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的点的轨迹方程是的轨迹方程是xy=k.00(1)(,)证证明明： 如如图图，设设是是轨轨迹迹上上的的任任意意一一点点，M xyMxyo00,因因为为点点与与 轴轴的的距距离离为为与与 轴轴的的距距离离为为Mxyyx00,所所以以 xyk00(,)即即是是方方程程的的解解. .xyxyk 111(2)(,)设设点点的的坐坐标标是是方方程程的的解解，Mxyxyk 111
9、,而而正正是是点点到到纵纵轴轴、横横轴轴的的距距离离，xyM1,因因此此点点到到两两条条直直线线的的距距离离的的积积是是常常数数Mk1点点是是曲曲线线上上的的点点. .M(1),(2)由由可可知知，是是与与两两条条坐坐标标轴轴的的距距离离的的积积xyk (0)为为常常数数的的点点的的轨轨迹迹方方程程. .k k 1111,.则则即即x ykxyk 第一步，设第一步，设 M (x0,y0)是曲线是曲线C上任一点，上任一点， 证明证明(x0, y0)是是f(x, y)=0的解；的解；归纳归纳: : 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设第二步，设(x0,y0)是是
10、f(x,y)=0的解，证明点的解，证明点 M (x0,y0)在曲线在曲线C上上.练习练习1.下述方程表示的图形分别是下图中的哪下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？一个？0 xy |x|-|y|=0 x- |y|=011Oxy1111-1-111-1ABCDOxyOxyOxy表示表示C 表示表示D 表示表示B练习练习2.若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的是正确的,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( ) D(学案学案P.127 A2)A. 方程方程f(x,y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C B. 坐标满足坐标满足 f(x,y
11、)=0 的点都在曲线的点都在曲线C上上C. 方程方程f(x,y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C的一部分或是曲线的一部分或是曲线CD. 曲线曲线C是方程是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是的曲线的一部分或是 全部全部练习练习3.已知方程已知方程 mx2+ny2=4的曲线经过点的曲线经过点 则则 m =_, n =_.(1, 2), ( 2,1),AB 4545依据关系依据关系(2)(2)例例2.2.条件甲条件甲:“:“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x, ,y)=0y)=0的解的解”,”,条件乙条件乙:“:“曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x, ,y)=0
12、 y)=0 的图形的图形”,”,则甲是乙的则甲是乙的 ( )( )(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B) (B)必要非充分条件必要非充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D) (D)非充分也非非充分也非必要条件必要条件分析分析:由方程的曲线定义知由方程的曲线定义知 乙乙甲甲B1.设曲线设曲线C：在第一象限内到两坐标轴距离相：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹等的点的轨迹,方程方程logxy-1=0,则下列命题正确则下列命题正确个数为个数为 (1)(1,1)是曲线是曲线C上的点上的点,但但(1,1)不是方程的解不是方程的解(2)曲线曲线C上的点的坐标不都是方程的解上的点的坐标不
13、都是方程的解(3)以方程的解为坐标的点都是曲线以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点上的点(4)曲线曲线C是方程的曲线是方程的曲线 (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个C知知 识识 回回 顾顾2.方程方程 的曲线是图中的的曲线是图中的 1xyB4.若点若点M到到x轴的距离和它到直线轴的距离和它到直线y=8的距离的距离相等相等, 则点则点M的轨迹方程是的轨迹方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=46.如果点如果点(a,b)在曲线在曲线y=x2+3x+1上上,那么点那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)
14、y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是表示的曲线是 (A)一个点一个点 (B) (B) 两条互相平行的直线两条互相平行的直线(C) 两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 (D) 两条相交但不垂直的直线两条相交但不垂直的直线例例3.设设A, B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1, -1), (3,7),求线求线段段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. ( , ).解解：如如图图，设设是是线线段段的的垂垂直直平平分分线线上上的的任任意意一一点点，也也就就是是点点属属于于集集合合M x yABMPM MAMB
15、2222(1)(1)(3)(7)由由两两点点间间的的距距离离公公式式，点点适适合合的的条条件件可可表表示示为为Mxyxy270.上上式式两两边边平平方方，并并整整理理得得xyABlM(x, y)oyx111111127, 072),()2(yxyxyxM是方程的解，即的坐标设点)136(5) 1()28() 1() 1(,1212121212111yyyyyxAMBAM的距离分别是到点)136(5)7()24()7()3(121212121211yyyyyxBM的垂直平分线上。在线段即点所以ABMBMAM,11直平分线的方程。可知，方程是线段的垂由)2(),1 (坐标都是方程的解。垂直平分线上
16、每一点的由求方程的过程可知，) 1 (1.设曲线设曲线C：在第一象限内到两坐标轴距离相：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹等的点的轨迹,方程方程logxy-1=0,则下列命题正确则下列命题正确个数为个数为 (1)(1,1)是曲线是曲线C上的点上的点,但但(1,1)不是方程的解不是方程的解(2)曲线曲线C上的点的坐标不都是方程的解上的点的坐标不都是方程的解(3)以方程的解为坐标的点都是曲线以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点上的点(4)曲线曲线C是方程的曲线是方程的曲线 (A)1个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个C知知 识识 回回 顾顾2.方程方程 的曲线是图中的的曲线是图中的
17、 1xyB3.以下各题中以下各题中,方程为曲线的方程的是方程为曲线的方程的是 (1)方程：方程：|x| =3,曲线：经过点曲线：经过点A(3,0)且垂直于且垂直于x轴轴的直线的直线 (2)方程：方程： 曲线：与第一、三象曲线：与第一、三象限角平分线距离为限角平分线距离为1的点的轨迹的点的轨迹20 xy (3)方程：方程：|y| -x=0，曲线：到，曲线：到x轴的正半轴与到轴的正半轴与到y轴的距离相等的点的集合轴的距离相等的点的集合(4)方程：方程：x2y2=4,曲线：与以原点为圆心曲线：与以原点为圆心,半半径分别为径分别为1、3的两圆相切的圆的圆心的轨迹的两圆相切的圆的圆心的轨迹 4.若点若点
18、M到到x轴的距离和它到直线轴的距离和它到直线y=8的距离的距离相等相等, 则点则点M的轨迹方程是的轨迹方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=46.如果点如果点(a,b)在曲线在曲线y=x2+3x+1上上,那么点那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是表示的曲线是 (A)一个点一个点 (B) (B) 两条互相平行的直线两条互相平行的直线(C) 两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 (D) 两条相交但不
19、垂直的直线两条相交但不垂直的直线(1)(1)解析几何研究研究问题的方法是什么？解析几何研究研究问题的方法是什么？ (2)(2)如何求曲线的方程？如何求曲线的方程？ (3)(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价请对求解曲线方程的五个步骤进行评价. .各各步骤的作用步骤的作用, ,哪步重要哪步重要, ,哪步应注意什么？哪步应注意什么？ 1.直接法直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于达，可将条件直接写成关于“x, y”的关系式的关系式.例例2. 两个定点两个定点 A(- -3, 0), B(3, 0), 点点M到这两个定点的距到这两个定
20、点的距离的平方和为离的平方和为26, 求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.( , ),解解: :设设M x y2222(3)(3)26,xyxy 2226 .则则点点属属于于集集合合MPM MAMB224.化化简简, ,整整理理得得 xy【变式训练【变式训练2】已知点】已知点M到到F(0,1)和直线和直线l: y=- -1的距离相等的距离相等,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.21.4yx 所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是224.xy(课本课本P.37 A3)1.直接法直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于达，可将条件直接写成关于“x
21、, y”的关系式的关系式.【变式训练【变式训练2】已知点】已知点M到到F(0,1)和直线和直线l: y=- -1的距离相等的距离相等,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.22|1|(1)yxy21.4yx 求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：例例3若曲线若曲线 上有一动点上有一动点P，O点为坐标原点，点为坐标原点，M为线为线段段OP的中点，求点的中点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.2214xy(学案学案P.130 A8)解解: 设点设点M的坐标是的坐标是(x , y), 点点P的坐标是的坐标是(x0 , y0),由于点由于点M是线段是线段OP 的中点的中点,00,22xyxy于是有于是有 x
22、0=2x, y0=2y. 把代入把代入, 得得动点动点P在在曲线曲线 上运动上运动,所以有所以有 2214xy22001.4xy22(2 )(2 )1,4xy整理整理, 得得2241.xy所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是2241.xy【变式训练【变式训练3】过原点的直线与圆】过原点的直线与圆C: x2+y2- -6x+5=0 相相交于交于A, B两点两点, 求弦求弦AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.C解解:设已知圆的圆心为设已知圆的圆心为C, M(x, y),则则C( 3 , 0),因为因为,MAMB .CMAB1.则则有有CMABkk 1(3,0).3且且yyxxxx 化简得化简
23、得2230(3,0).且且xyxxx当当 x=3 时时, y =0,点点(3,0)符合题意符合题意;当当 x=0 时时, y =0,点点(0,0)不符合题意不符合题意;222230,650 xyxxyx 解方程组解方程组2 55,.33得得xy 所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是22530 ,3.3xyxx2.2.代入法代入法: :利用动点利用动点P0 (x0, y0)是定曲线是定曲线f(x,y)=0上的动点上的动点,另一动点另一动点P(x, y)依赖于依赖于P0 (x0, y0),那么可寻求关系式那么可寻求关系式x0= f(x,y), y0=g(x, y)后代入方程后代入方程f(x0,
24、y0)=0 中中, 得到动点得到动点P的的轨迹方程轨迹方程.ExyOABCMl 解解:设设M (x, y),所求轨迹方程为所求轨迹方程为22320 xyxy在已知圆在已知圆内部一段弧对应的方程内部一段弧对应的方程.OFC CF (2) FC ) 1 ( 曲线可以看作是由点组成的集合，记作曲线可以看作是由点组成的集合，记作C. 一个二元方程一个二元方程 f(x,y)=0 的解可以作为点的坐标，的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F. 已知已知ABC，A(- -2，0)，B(0，- -2)，第三个顶点，第三个顶点C在曲线在曲线y=3
25、x2- -1上移动，求上移动，求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程.同类变式同类变式 【2】已知直线】已知直线y=kx+1与圆与圆x2+y2=4相交于相交于A, B两点两点, 以以OA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OAPB,则则点点P的轨迹方程是的轨迹方程是_.22(1)1xy MPBAxoy 【2】已知直线】已知直线y=kx+1与圆与圆x2+y2=4相交于相交于A, B两点两点, 以以OA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OAPB,则则点点P的轨迹方程是的轨迹方程是_.22(1)1xy例例3.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4, 3) , 端点端点
26、A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的的轨迹方程轨迹方程. 解解:设点设点M的坐标是的坐标是(x , y),点点A的坐标是的坐标是(x0 , y0), 由于点由于点B的坐标是的坐标是(4,3), 且且M是线段的中点是线段的中点,0043,22xyxy于是有于是有x0=2x- -4, y0=2y- -3. BOyAxM把代入把代入,得得(2x- -4+1)2+(2y- -3)2=4,整理整理, 得得2233()()1.22xy 所以点所以点M的轨迹是以的轨迹是以 圆心圆心,半径长是半径长是1的圆的圆.3 3(, )2 2端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2
27、=4上运动上运动,所以有所以有 (x0+1)2+y02=4. BOyAxMxoyEBCDA关键关键:找到几何关系找到几何关系解：设点解：设点M（x，y）为圆上任意一点）为圆上任意一点 12PMPM111( ,)P x yC222(,)P xy圆的方程即圆的方程即M的轨迹方程的轨迹方程( , )M x y121kk 12121yyyyxxxx 1212()()()0 xxxxyyyy几何关系几何关系法法P.124 A5关键关键:找到几何关系找到几何关系依题意有依题意有 |OPa22xya222xya几何关系几何关系法法xyBP(x,y)OAAB中点轨迹为以原点为圆心，中点轨迹为以原点为圆心，a为
28、半径的圆为半径的圆 解：设点解：设点AB中点为中点为P（x，y）P.124 B2例例3若曲线若曲线 上有一动点上有一动点P，O点为坐标原点，点为坐标原点，M为线为线段段OP的中点，求点的中点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.2214xy(学案学案P.130 A8)BAMxyONFMxyOMPyOMxyOABNFMxyO.,01| ),(,01| ),(22是是表示的曲线表示的曲线，则，则曲线是曲线是表示的表示的则则设集合设集合BABAxyyxByxyxA .0)1)(2的曲线的曲线画出方程画出方程 yxyx四、定义强化理解阶段四、定义强化理解阶段多种表征、深化内涵多种表征、深化内涵 曲线可以看作是
29、由点组成的集合，记作曲线可以看作是由点组成的集合，记作C. 一个二元方程一个二元方程 f(x,y)=0 的解可以作为点的坐标，的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F. 【思考】如何用集合【思考】如何用集合C和和F间的关系来表述间的关系来表述“曲线曲线的方程的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”定义中的两个关系，进而定义中的两个关系，进而重新表述重新表述“曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”的定义的定义.FC CF (2) FC ) 1 (关系指点集关系指点集C是点集是点集F的子集；的子集；关系指点集关系指点集F是点集
30、是点集C的子集的子集.【3】说明过】说明过A(2,0)平行于平行于y轴的直线与方程轴的直线与方程|x|=2的关系的关系直线上的点的坐标都满足方程直线上的点的坐标都满足方程|x|=2.满足方程满足方程|x|=2的点的点不一定不一定在直线上在直线上.oxy2A分析特例归纳定义分析特例归纳定义结论结论:过过A(2,0)平行于平行于y轴的直线轴的直线不是不是 |x|=2.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无
31、例外.（纯粹性）（纯粹性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）（完备性）.由曲线的方程的定义可知由曲线的方程的定义可知:如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么点，那么点P0(x0 ,y0)在曲线在曲线C 上的上的 充要条件充要条件 是是f(x0, y0)=0 1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
