1、对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模衍射理论镜面上的基尔霍夫积分方程) , () , ,(),(dsyxvyxyxKyxvmnmnmn求解基尔霍夫积分方程),(yxvmnmn光强衰减相位延迟镜面上振幅与相位分布光强衰减相位延迟镜面上振幅分布镜面上振幅与相位分布等相位面光束宽度损耗计算附加位相谐振频率高阶模谐振频率共焦腔腔镜曲面半径传输过程中任意位置的模式分布行波场光束宽度等相位面的变化远场发散角什么是对称共焦腔什么是对称共焦腔对称共焦腔两个两个球面球面镜镜的曲率半的曲率半径径相等且等于腔相等且等于腔长长的的谐谐振腔振腔称为称为对称对称共焦腔。共焦腔。此此时两个镜时两个镜面的焦点重合且面的焦
2、点重合且处处于腔的中心。于腔的中心。0 01 212121ggRLggLRR，满足，什么是对称共焦腔什么是对称共焦腔对称共心腔（-1,-1）平平腔（1,1）g2g1-1-1101对称共焦腔 考虑一个由线度为考虑一个由线度为2a 2a的正方形球面镜构成的对称共焦腔的正方形球面镜构成的对称共焦腔 R=L方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式22 aLLaaL，满足条件x2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laaaaaay12121122 ( , , ,) x y x yPPP PP PP P由于是轴对称关系，用直角坐标系（x,y,z)讨论。方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式
3、2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laa方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式LyyLxxLLyyLxxLyyLxxLLyyLxxLLyyxxPP2) (2) ( 818121211 1 ) () ( 2244222222221其中LyxLyxLRyxRPP2 )( )(12222222211LyxPP2 22222同理方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laa方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式LyyxxLLyxLyxLyyLxxLyxyx 222) (2) ( ) , , 222222（ ) , ( ),( dyd
4、xeyxveLiyxvLyyxxikaaaamnikLmnmn 为所应满足的积分方程式方形镜共焦腔自在现模方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式 ) , (),( 1dseyxLiyxSikmnmnmnNLaLkacacyYacxX22, 22法进行变数代换，取按照傅伊德和戈登的方方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式nmmnnm1 (Y)(X)G F),( yxvmn令 dd2 (1) YXeYFeXFie YGXF cccciYYniXXmikLnmnm 式，得代入方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式行变量分离的交错乘积项，可以进和式中不存在YX d)2(d)2( 1/
5、21/2cciYYnikLnncciXXmikLmmYeYGeiYGXeXFeiXF题下述两个积分本征值问求解方程式等价于求解方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式.) 1 ,() 1 ,( )2( 0,1,2,.n ) 1 ,(2c0,1,2,.m ) 1 ,(2c (1)(1)(1)n(1)m为径向长椭球函数和其中cRcRcRicRionomonnomm) 1 ( ),()2/(nmnmnmkLiikLmneieyxv相对应的本征值为：与方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式 ) 1 ,() 1 ,(4 ,2) 1 ,() 1 ,(2c ,(1)(2)2)1(1)(1)21(1
6、)(1)nmkLionomnmiikLnmonomnmecRcNReiNceicRcR又得中代入将方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式 为角向长椭球函数。其中：)ay(c,S)c(c,Y/S)ax(c,S)c(c,X/S ononomom,., ,n m, cc,Y/Scc,X/S(Y) (X)GF(x,y) vconomnmmn210 (4) 为为有限值时，本征函数在方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式 可以证明，当N1时，角向长椭球函数可表示为厄米多项式和高斯函数的乘积 厄米厄米高斯近似高斯近似 )2()2( )()(),( /2)(22222Lyxnmmnayxcnmmn
7、mneyLHxLHCeyacHxacHCyxv镜面上的自再现模式：其中，Cmn为常系数方形球面镜共焦腔方形球面镜共焦腔的的模式模式，）（阶厄米多项式为210 )2()!2( !) 1( 1 )( )( 20222mXkmkmedXdeXHmXHmkkmkXmmXmmm厄米多项式厄米多项式方形球面镜共焦腔自再现模的特征方形球面镜共焦腔自再现模的特征 镜面上场的振幅分布镜面上场的振幅分布 ),( 1,(X)H0,nm /0000022LyxeCyxv得出基模的场分布函数因为取处在离中心的距离为 / 22Lyxr场的振幅下降到中心值的场的振幅下降到中心值的1/e的光斑半径为共焦腔基模在镜面上定义/
8、0Ls方形球面镜共焦腔自再现模的特征方形球面镜共焦腔自再现模的特征 举例mm25. 0m6328. 0cm30NeHemm84. 1m6 .10m1CO002ssLL，激光器：，激光器：方形球面镜共焦腔自再现模的特征方形球面镜共焦腔自再现模的特征 2022220, 00, 00, 00, 0syxecEEI镜面上的光强分布镜面上的光强分布22222222) 22) 01011010ososyxosyxosmnyeC(x,yvxeC(x,yvTEM的振幅分布同样可得出高阶横模的高阶横模高阶横模22222224) )224() 111122020ososyxosyxosxexyC(x,yvxexC
9、(x,yvXXX10XHXXH212422XXHXHmXXX2Xe22)(eHEmXXX高阶横模高阶横模2 : EI 光强XXX厄米高斯光束厄米高斯光束 a）厄米多项式的零点决定了场的节线； b）厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随x,y增大而单调下降的特性，决定了场分布的外形轮廓 由于m阶厄米多项式有m个零点，因此模沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。 mnTEM高阶横模高阶横模-厄米高斯光束厄米高斯光束12 , 12 00nmsnssms斑半径：镜面上的高阶横模的光高阶横模高阶横模-厄米高斯光束厄米高斯光束镜面上场的相位分布由自再现模的幅角argvmn(x,y)决定因为长椭球函数是实
10、函数，所以argvmn(x,y)=0，各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面。镜面上场的相位分布镜面上场的相位分布 利用自在现的概念理解！利用自在现的概念理解！21010210102221141 1121 1 11 c,Rc,NRc,Rc,Rc TEM)(n)(m)(n)(mnmmnmnmn模的单程功率损耗为：共焦腔自再现模单程损耗单程损耗 的增加而迅速的下降；随，单值地由菲涅耳数确定而的具体几何尺寸无关，）共焦腔模的损耗与腔的损耗大得多；腔模面腔模的损耗又比共焦现模的损耗大得多；平衍射损耗比平面腔自再均匀平面波的夫琅和费Nmn 2 ) 1 增大。的增高而迅速随相同时，不同横模
11、的） , 3 nmNmn单程损耗单程损耗 arg1arg : nmmnmn 的总相移为共焦腔在腔内一次渡越的整数倍不同横模的相移之差为：附加相位超前量；几何相移；：其中2 2) 1( nmkLmn2) 1(nmkL单程单程相移和谐振频率相移和谐振频率 : 22 1 (1)22mnmnqqcqmnL 由谐振条件得谐振频率为属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为 Lcmnqqmnq21而属于同一纵模的相邻两个横模之间的频率间隔则为 qmnq)qnmnqmnq)nqmmLcLc21221212211(1(单程单程相移和谐振频率相移和谐振频率)1)(1(qnm)1()1(qnmqnm)1( nqm
12、)1()1( qmn)(2qmnmnq)1( -qmn单程单程相移和谐振频率相移和谐振频率损损耗耗上上并并不不简简并并。频频率率上上简简并并, ,: :注注# # . , : )1)(3)(1()1()2()1)(2()1)(1(等qnmqnmqnmqnmmnqTEMTEMTEMTEMTEMeg 共焦腔模在频率上是高度简并的,(2q+m+n)相同的所有模式都具有相同的谐振频率,都是简并模。单程单程相移和谐振频率相移和谐振频率方形球面镜共焦腔的行波场方形球面镜共焦腔的行波场 考察方形镜共焦腔中任意一点的场已知镜面上的场分布菲涅耳基尔霍夫衍射积分腔内任意点的场 zyxizwyxnmmnmnmnyz
13、wxzwzwwEAzyxE,)(00ee2H2H, 222式中 fznmzfzyxzkzyxfLwLzwfzwzwmnarctg12,2211222202020方形球面镜共焦腔的行波场方形球面镜共焦腔的行波场 对比 zyxizwyxnmmnmnmnyzwxzwzwwEAzyxE,)(00ee2H2H, 222行波场行波场腔镜位置的场分布腔镜位置的场分布22/22 ( , )()() xyLmnmnmnvx yCHx Hy eLL 0 /wL 为共焦腔基模在镜面上的光斑半径22200022 ( , )()() xywmnmnmnvx yCHx Hy eww电场强度处的模在腔内任一点：其中 ),(
14、TEM),( mnzyxzyxEmn化常数：与模阶次有关的归一：与坐标无关的常量mnAE0为镜的焦距：共焦腔长2LfL方形球面镜共焦腔的行波场方形球面镜共焦腔的行波场 振幅分布振幅分布 方形球面镜共焦腔行波场的振幅分布为 )(00222e2H2H,zwyxnmmnmnyzwxzwzwwEAzyxE其中基模的振幅分布为 )(000000222e,zwyxzwwEAzyxE 1 22202fzwzw振幅分布振幅分布 0000 1,z0 022 2 :2 sswLwwwLzfLwfw ）在共焦腔中心 即处，光斑最小：（ ）：。）在共焦腔镜面上，时（）高高斯斯光光束束的的束束腰腰半半径径讨论讨论定义：
15、某一模式在腔内所扩展的空间范围称为模体积模体积模体积 对称共焦腔的基模模体积为 20220222020003232)1 (22)(2sLLwLLdzfzLdzzwV高阶模模体积则为 000200121212123232 VnmwnmLwwLVsnsmsmn举例举例共焦腔CO2激光器：L=1m，2a=2cm，=10.6m22cm314 LaV激活介质的体积为22000cm1 . 732 LV基模体积为%26. 2000VV等相位面分布等相位面分布0,0,0,zzyxfznmzfyxzzkzyxmnarctg12,2222代入 022020222220222zRyxzfzyxzfzyxzz抛物面抛
16、物面 20001zfzzR等相位面分布等相位面分布讨论讨论 00 0010100020000zzzzzzfzzRz时，当，得时，由）当因此，等相面是凹面向着腔中心的球面LfLRLfz22 2 20时，）当此时，等相面与反射镜面重合 RzRz时，当时，）当 00 300此处，等相面是平面 fzzfzR0200 014，得）由因此，反射镜是曲率最大的等相面讨论讨论讨论讨论 定义：基模远场发散角是双曲线的两根渐近线之基模远场发散角是双曲线的两根渐近线之间的夹角。间的夹角。 zzz)(2lim 0.)(2是光斑的直径z远场发散角远场发散角基模高斯光束远场发散角z zx ,yx ,y0 2= 0s0 0 fL= 2远场发散角远场发散角02202 2 )1 (22lim fzfzLzrad103 . 2 m6328. 0cm30NeHe3-0，激光器：共焦腔L., 级发散角具有毫弧度数量共焦腔基模光束的理论可见举例远场发散角远场发散角00m0012n ,12m :,TEM n方向性变差而增大高阶模的发散角随阶次振荡时多模光束具有良好的方向性单模运转时以远场发散角远场发散角
