1、同理可得各阶微分关系，如同理可得各阶微分关系，如22sinsincoscosrrrrxsinsinsinsincoscoscoscosrrrrrrrr22222222211cossincossinsinsincoscossinrrrrrrrr 22222222222sincossin2sincossincosrrrrrrr 22x2222222222222sincoscos2sincoscossinrrrryrrr 222222222222cossinsincossincoscossinsincosx yrrrrrrr 222222222211xyr rrrr 二二. . 极坐标系下的平衡微分
2、方程极坐标系下的平衡微分方程1. 1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系直角坐标与极坐标系下的应力分量关系如图，根据应力状态的定义，如图，根据应力状态的定义， 过过P点分别以点分别以 r 方向和方向和 方向为法线的截面方向为法线的截面上的应力上的应力 r、r r ， 作为在极坐作为在极坐标系下的应力分量。标系下的应力分量。（1）极坐标系下的应力分量和体力分量）极坐标系下的应力分量和体力分量ryOxrPrrr（2）应力分量的坐标转换）应力分量的坐标转换 视视 P-r 为旧坐标，为旧坐标，P点的应力状态为点的应力状态为 r、r r ；视视 O-xy 为新坐标，求为新坐标，求P点的应力分量点的应力
3、分量 x、y、xy yx 。 由应力状态的坐标转换公式由应力状态的坐标转换公式i jij i ij jll r称为径向应力，称为径向应力， 称为环向向应力。称为环向向应力。ryOxrPFbFbr00000rrijrr cossin0sincos0000ijl 代入计算得代入计算得22cossin2sincosxrr22sincos2sincosyrr22sincoscossinxyrr（3）体力分量的坐标转换）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。将其分别向将其分别向 x、y 方向投影得方向投影得bbbcossinxrFFFbbbsincosy
4、rFFF2. 2. 极坐标系下的平衡微分方程极坐标系下的平衡微分方程由直角坐标系下的平衡微分方程推导由直角坐标系下的平衡微分方程推导00yxxxxyyyfxyfxyxx22sincoscossin2sincosrrrr32222cossincos2sincossincos2sincossinsin2sincos2sinsincoscos2rrrrrrrrrrrrrxry当当0时时ryx以此位置的直角坐标系，以此位置的直角坐标系，建立平衡微分方程。即建立平衡微分方程。即同理同理021yryrr0 xyrxr01xyrryrrbb0 xrFFbb0yFFb0b000yxxxxyyyFxyFxy代入
5、即得代入即得b10rrrrFrrrb210rFrrr0 xrxr三三. . 极坐标系下的几何方程极坐标系下的几何方程1. 1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系直角坐标与极坐标系下的位移分量关系ryOxrPuuruvcossinruuusincosruuv类似体力分量的投影关系类似体力分量的投影关系2. 2. 极坐标系下的应变分量极坐标系下的应变分量 将将P点分别沿点分别沿 r 和和 方向（相互垂直）两线元的线应变方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变及其切应变 r ，作为作为P点的应变点的应变分量。分量。3. 3. 极坐标系下的几何方程极坐标系下的几何方程可通过微分关系直接由直角
6、坐标系下的几何方程得到可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。同前分析，当同前分析，当 0 时，时，0 xr0y0 xyr所以所以0rx0ux0sincoscossinruurrrur0y0yv0cossinsincosruurr1ruurr0rxy00 xyvu0sincossincosruurr0cossincossinruurr1ruuurrr即即rrur1ruurr1rruuurrr四四. . 极坐标系下的物理方程极坐标系下的物理方程 因因r、 方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。即即111rrrrrEEG当为平面应变
7、问题时，当为平面应变问题时，E1E、1 。五五. . 极坐标系下的相容方程极坐标系下的相容方程 极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零为零或或关于关于 (r ， ) 有势。有势。22222211,0rrrrr（展开共（展开共8项）项）将将O-xy坐标系旋转至坐标系旋转至 x 与与 r 重合，即重合，即 0，此时，此时0 xr0y0 xyrryx在不计体力的情况下，在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐可通过微分关系直接由直角坐标系下的相容方程得到标系下的相容方程得到。所以所以0rx220y22211rrr0y220 x22r0
8、rxy20 x y 2211rrr 1rr 五五. . 极坐标系下的应力边界条件极坐标系下的应力边界条件 设边界设边界S的外法线方向与的外法线方向与 r、 方向的方向余弦分别为方向的方向余弦分别为 l1、l2 ，其上作用的面力沿，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为方向的分量分别为 pr、p 。则其应。则其应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。即即1212()()()()rsrsrrssllpllp当体力不当体力不为零或为零或无无势时，可用应力表示相容方程势时，可用应力表示相容方程2xy2bbb11rrrFFFrrr bb0(1)yxFFxy例例6-6写
9、出图示问题的应力边界条件写出图示问题的应力边界条件（1）Oxylq0r上边：上边：0rp 0rpql0()000()rql 斜边：斜边：0rp 0p()0p ()0 （2）rPM内侧：内侧：rrr0rp 0p()0rr a0()0rrr外侧：外侧：0rp 0p()0rr b()0rr bxOyab 0，l1 0，l2 1 ，l1 0，l2 +1r a，l1 1 ，l2 0r b，l1 +1 ，l2 0r上端：上端：cosrFP sinFPzMM dbrraFp0dbrar0dcosbrarPdbaFpr0dbar0dsinbarP d2bzaabMprr00dd2bbaaabr rr0dsin
10、2baabr rMP 0，l1 0 ，l2 10dsin2baabr rP 或向或向O简化简化cosrFP sinFPsin2zabMMP dbzaMp r r0dbar r0dsin2baabr rMP面力向形心简化面力向形心简化rxOyabPMOMxy（3） 半无限平面半无限平面rrra当当 r 0 时，上边时，上边00()0()0r()0()0r 当当 r 0 时，时，O点受集中力偶，点受集中力偶， 但无法使但无法使用圣维南原理进行简化。用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立可使用截面法建立外力与内力的关系，外力与内力的关系，即即O点的应力边界条件。点的应力边界条件。由半圆上的应力和外
11、力的平衡关系，有由半圆上的应力和外力的平衡关系，有0 xF 0cosdrr aa0sindrr aa00cossind0rrr ar a0a 0yF 0sincosd0rrr ar a0a 0zM 0d0rr aa aM20drr aaM0a 五五. . 极坐标系下的基本方程总结极坐标系下的基本方程总结平衡微分方程平衡微分方程b10rrrrFrrrb210rrFrrr几何方程几何方程rrur1ruurr1rruuurrr物理方程物理方程111rrrrrEEG相容方程相容方程22222211,0rrrrr应力分量应力分量22211rrrr22r22111rrrrrr 应力边界条件应力边界条件12
12、12()()()()rsrsrrssllpllp位移边界条件位移边界条件()()rsrsuuuu（不计体力）（不计体力）（无体力）（无体力）2bbb11rrrFFFrrr （计体力）（计体力）或或6-6 6-6 平面问题在极坐标系下求解平面问题在极坐标系下求解一一. . 轴对称问题的应力与相应的位移轴对称问题的应力与相应的位移1.1.轴对称问题的特征轴对称问题的特征（1）截面的几何形状对称于中心轴，）截面的几何形状对称于中心轴，（2）荷载）荷载与约束与约束对称于中心轴。对称于中心轴。如圆环、圆盘、圆筒。如圆环、圆盘、圆筒。因此环向体力因此环向体力 Fb 0 ；在边界上在边界上 ，环向的面力，环
13、向的面力和位移和位移为零；即为零；即()00sup（3）导致物体导致物体的的应力、应变应力、应变和位移和位移分布也是轴对称的分布也是轴对称的。即。即0u0r0rrxyO 由于任何通过中心轴（由于任何通过中心轴（z 轴）的平面轴）的平面均为对称面，故各分量均与均为对称面，故各分量均与 无关。即无关。即 bbrrrrFFrppr rrrr rrrr rruur r2.2.轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程平衡微分方程平衡微分方程bd0drrrFrr几何方程几何方程rrurrur物理方程物理方程11rrrEE相容方程相容方程 222d1 d0ddrrrr应力分量应力分量1 ddrrr22ddr
14、边界条件边界条件()rsrp()rsruu（不计体力）（不计体力）（不计体力）（不计体力）2bbd1drrrFFrr 计体力时计体力时1 ur3.3.应力函数与应力分量应力函数与应力分量将相容方程展开得将相容方程展开得43243223d2 d1 d1 d0ddddrrrrrrr令令lntr22dd1 ddddrrtrddd1 ddd ddtrrtrttre21 d1 dddddtrrtr 21 d1 ddddd ddttrrttr 2221ddddtrt同理同理3323332d1ddd3ddddtrrtt443244432d1dddd6116dddddtrrttt代入代入432432ddd44
15、0dddttt常系数微分方程常系数微分方程特征方程特征方程43244012034222tttBteCeD lntr22lnlnrBrrCrD 1 ddrrr212ln2ABrCr22ddr232ln2ABrCr 平面轴对称问题（不计体力），应力分量的一般表达式。平面轴对称问题（不计体力），应力分量的一般表达式。0r其中其中A、B、C为待定系数，由边界条件和位移单值条件确定。为待定系数，由边界条件和位移单值条件确定。平面轴对称问题（不计体力）的应力函数平面轴对称问题（不计体力）的应力函数4.4.位移分量位移分量由物理方程和几何方程由物理方程和几何方程1rrE22112ln232ln2AABrCB
16、rCErr2111 32 1ln2 1ABBrCErrur1rE22132ln212ln2AABrCBrCErr21132 1ln2 1ABBrCEr1ruurr10rrG10uuurrr式积分式积分 112 1ln11 32 1rAuBrrBrCrfEr代入式代入式1132 1ln2 1ruABrBrrC ruEr 4BrfEu积分得积分得 12dBruffrE将将ur、u 代入式，整理得代入式，整理得 11dddddfrffrrfr欲使之成立，两端必等于同一常数。即欲使之成立，两端必等于同一常数。即 11ddfrfrrFr dddffFF为常数为常数分别解方程分别解方程 1frHrF si
17、ncosfFIK所以，无体力应力轴对称的位移分量所以，无体力应力轴对称的位移分量 112 1ln11 32 1cossinrAuBrrBrCrIKEr4sincosBruH rIKE其中，其中，A、B、C、H、I、K 为待定常数，为待定常数， 由应力边界条件、位移由应力边界条件、位移边界条件（约束）和位移单值条件确定。边界条件（约束）和位移单值条件确定。5.5.几点说明几点说明（1）当物体仅几何和荷载轴对称时，只产生轴对称应力，位移）当物体仅几何和荷载轴对称时，只产生轴对称应力，位移不一定轴对称（从不一定轴对称（从u可见可见）。称之为轴对称应力问题。）。称之为轴对称应力问题。（2）轴对称应力问
18、题的位移不一定轴对称乃约束不一定轴对称）轴对称应力问题的位移不一定轴对称乃约束不一定轴对称所致。所致。 可以证明，可以证明，I、K 为物体分别沿为物体分别沿 x、y 方向的刚体位移，方向的刚体位移，H 则为绕轴心的刚体转动。则为绕轴心的刚体转动。（3）当位移边界条件（约束）也轴对称时，位移也轴对称，）当位移边界条件（约束）也轴对称时，位移也轴对称， 应应有有 u 0，则，则 B H I K 0（4）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件。）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件。（即位移连续性条件）。（即位移连续性条件）。 按位移法求解时：若取位移分量为单值，由此求出的
19、应变按位移法求解时：若取位移分量为单值，由此求出的应变分量（几何方程）也为单值，求出的应力分量（物理方程）也为分量（几何方程）也为单值，求出的应力分量（物理方程）也为单值；单值； 按应力法求解时：若取应力分量为单值，由此求出的应变按应力法求解时：若取应力分量为单值，由此求出的应变分量（物理方程）也为单值，但求出的位移分量（几何方程积分）分量（物理方程）也为单值，但求出的位移分量（几何方程积分）常为多值。常为多值。 对于单连域，位移单值条件一般自然满足；但对于多连域对于单连域，位移单值条件一般自然满足；但对于多连域一般需检验位移单值条件。一般需检验位移单值条件。1.1.圆环或圆筒受均布压力圆环或
20、圆筒受均布压力qaqbbaO二二. . 轴对称问题示例轴对称问题示例已知：已知：abqqab、 、求：应力分布。求：应力分布。（1）确定应力分量的表达式：）确定应力分量的表达式：1 ddrrr212ln2ABrCr22ddr232ln2ABrCr 0r边界条件：边界条件：0rr arar aq 0rr brbr bq 代入应力分量表达式，有代入应力分量表达式，有212ln2aABaCqa 232ln2bABbCqb 式中有三个未知常数，二个方程还不足以完全确定常数式中有三个未知常数，二个方程还不足以完全确定常数 考察考察多连体多连体中的中的位移单值条件位移单值条件。 4sincosBruH r
21、IKE是多值函数，是多值函数， 如如(r , )和和(r , )同指一点，同指一点，但由此计算却得出两个位移。但由此计算却得出两个位移。由位移的单值条件，必有：由位移的单值条件，必有：B = 0所以所以22aACqa 22bACqb 2222()baa bqqAba22222abq aq bCbaqbbaO将其代回应力分量式将其代回应力分量式222222222222222221111rabbaabbarrqqbaabqqq aq ba bbarba 222222222222222221111abbaabbarrqqbaabqqq aq ba bbarba （繁分式称为拉梅解答）（繁分式称为拉梅
22、解答）讨论：讨论：（1） 外压无内压：外压无内压：0aq 2222210brq babar2222210bq babar r 当当 a 0 时：时：rbq 二向等压二向等压（2） 内压无外压：内压无外压：0bq qabar 当当 b 时：时：具有圆孔的无限大薄板具有圆孔的无限大薄板22arq ar 22aq ar若若 a 0但但 a 0 当当 r a 时：时：22220brq bba （针孔问题）（针孔问题）可见针孔处有应力集中现象，可见针孔处有应力集中现象，最大应力为无孔的二倍。最大应力为无孔的二倍。02rbq 2222210arq abbar2222210bq abbar 当当 b a t
23、 R ( (半径半径) ) 时：时：薄壁圆环薄壁圆环221br22aR222bababaRt22222211 12bbbq aq RbRqbarRtt与材力结果相同与材力结果相同2. 2. 压力隧洞压力隧洞问题：问题： 厚壁圆筒（厚壁圆筒（E， ）埋在无限大弹性体（）埋在无限大弹性体（E ， ）内）内 ，受内压受内压 q 作用，求圆筒的应力。作用，求圆筒的应力。分析：分析： 相当于两个轴对称问题，相当于两个轴对称问题，（1）内外半径分别为）内外半径分别为 a、b，受内压，受内压 q、外压、外压 p 的厚壁圆筒；的厚壁圆筒；qpbaO（2）内半径为）内半径为 b，外半径为，外半径为 ，受内压，受
24、内压 p 的厚壁圆筒；的厚壁圆筒；qbaOE，E ， pbO且均为平面应变问题。且均为平面应变问题。确定压力确定压力 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续径向变形连续rrr br buu径向应力连续径向应力连续rrr br b求解：求解：厚壁圆筒的应力分量及其边界条件厚壁圆筒的应力分量及其边界条件22rACrrr aq 22ACr rr bp 无限大弹性体的应力分量及其边界条件无限大弹性体的应力分量及其边界条件22rACrrr bp 22ACr 0rr将应力分量代入边界条件将应力分量代入边界条件22ACqa 22ACpb 22ACpb 20C 四个方程，五个未知量（四个方程，五个未知量（p
25、未知）未知）补充位移连续条件补充位移连续条件rrr br buu111112 1cossinrAuCrIKEr21(1)2(1)cossin11ACrIKEr12(1 2 )cossinAC rIKEr12(1 2)cossinrAuC rIKEr112(1 2 )cossin2(1 2)cossinAACbIKC bIKEbEb平面应变问题平面应变问题欲使对任意的欲使对任意的 成立，须有成立，须有IIKK112(1 2 )2(1 2)AACbC bEbEb令令(1)(1)EnE 上式整理为上式整理为因因20C 222(1 2 )0AAnCbb与前三式与前三式22ACqa 22ACpb 2Ap
26、b 联立求解联立求解 A、C、A、p，并代入得，并代入得2222221(12 )(1)1(12 )(1)rn bn raqn bn a r 2222221(12 )(1)1(12 )(1)n bn raqn bn a r222222(1)1(12 )(1)rnbaqn bn a r 3. 3. 圆弧曲梁的纯弯曲圆弧曲梁的纯弯曲问题：问题： 矩形截面曲梁矩形截面曲梁, rxyabMM O 为曲梁的曲率为曲梁的曲率中心，中心，内半径为内半径为 a ，外半径为外半径为 b ， 在在两端受有大小相等而转向相反的弯矩两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用，作用，两端面间极角为两端面间极角为 。分析：
27、分析： 取曲梁的曲率中心取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原为坐标的原点，并按图示建立坐标系。点，并按图示建立坐标系。O 由于各截面上弯矩由于各截面上弯矩 M 相同，因而可假定各截面上应力相相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为同，构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。轴）。求解：求解：（1）应力分量）应力分量212ln2rABrCr232ln2ABrCr 0r由于是单连域，由于是单连域，0, ,位移式中无多值项，位移式中无多值项， 故故0B （2）边界条件）边界条件内外侧：内外侧：0rr a212ln20ABaCa0rr a自然满足自然满足0rr b212ln20ABbCb
28、0rr b自然满足自然满足端面：端面：0rF 0FzMM取取 = 端端dbrraFprdbrardbaFpr0自然满足自然满足dbard0bardbzaMp r rdbar rdbar rM两式直接积分有一定困难，两式直接积分有一定困难， 可利用应力分量与应力函数可利用应力分量与应力函数的关系简化积分的关系简化积分由由1 ddrrr22ddrddrrr22ddrdbar22dddbarrddbarbrar0rrr br aba满足满足dbar r22dddbarrrdddbarrdddddbbaarrrr2bbraar 22rrr br ar br aba 22rrr br ar br aba
29、 2222lnlnlnlnbBbbCbDaBaaCaD 2222(lnln )(lnln )()AabB aabbC ab2222(lnln )(lnln )()AabB aabbC abM联立求解得联立求解得224lnM bbAN aa22221MbBa Na2222212lnlnMbbCbaa Naa 其中其中22222214lnbbbNaaa222224lnlnlnrMbbrbba Narara 所以所以222222241lnlnlnMbbbrbba Naarara 0rr讨论：讨论：a）r = a 时，时， 取得最大值（绝对值）；取得最大值（绝对值）；b）中性轴不过截面形心，而偏于内侧
30、；中性轴不过截面形心，而偏于内侧；c） 关于截面不成线性分布，且挤压应力关于截面不成线性分布，且挤压应力r 与与同量级。同量级。三三. . 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中1. 1. 问题的提法问题的提法 无体力的矩形薄板，无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔薄板内有一个小圆孔 （半径（半径 a 远小于板远小于板的尺寸）。的尺寸）。薄板对边均匀拉力薄板对边均匀拉力q作用，作用， 由于板内有微小圆孔，孔由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力，边应力将远大于距孔稍远处的应力，称应力集中问题。称应力集中问题。2a 本问题即是求解图示弹性本问题即是求解图示弹性体的应力解答。体的应力解
31、答。qq2. 2. 问题的分析问题的分析以孔心作为原点建立坐标以孔心作为原点建立坐标yxr（1）无孔时）无孔时00 xyxyq在极坐标系下在极坐标系下11cos222rqq11sin222qq1sin22rq yxba(r)r = b(r)r = bqqyxa（2）有孔时）有孔时b应力分布将发生变化，应力分布将发生变化，但在距孔边较远处，其应力但在距孔边较远处，其应力分布与无孔时几乎一致。分布与无孔时几乎一致。 因此用较大半径因此用较大半径 ba ，以孔心为圆心作圆，以孔心为圆心作圆， 该圆周该圆周上的应力即与无孔时的应力相同。上的应力即与无孔时的应力相同。(r)r = b(r)r = b 由
32、截面法，以半径为由截面法，以半径为b的大圆将板截为内外半径分别为的大圆将板截为内外半径分别为a、b的圆环。的圆环。 视圆周上的应力为圆环的面力，即视圆周上的应力为圆环的面力，即11cos222rrr bpqq1sin22rr bpq 将面力分解为两组，即将面力分解为两组，即12rpq 0p 1cos22rpq 1sin22pq 问题转化为圆环分别在两组面力作用下应力解答的叠加。问题转化为圆环分别在两组面力作用下应力解答的叠加。 yxbaprpyxbaprpyxbapr3. 3. 问题的求解问题的求解 第一组解答第一组解答 在第一组面力在第一组面力12rpq , ,0p 作用下，作用下，系圆环仅
33、受外压系圆环仅受外压应力解答应力解答12bqq ()()的轴对称问题。的轴对称问题。22112raqr 102baqqb (,)(,)22112aqr 0r =4. 4. 问题的求解问题的求解 第二组解答第二组解答 在第二组面力在第二组面力作用下，作用下，圆环受非对称荷载，圆环受非对称荷载，1cos22rpq , ,1sin22pq 系非对称问题。系非对称问题。用应力函数半逆解法求解。用应力函数半逆解法求解。（1）应力函数）应力函数由应力边界条件由应力边界条件1cos22rr bq1sin22rr bq 可知，只要可知，只要 r 不接近不接近 a ，cos2r含含项项, ,sin2含含项项。由
34、应力分量与应力函数的关系可知，由应力分量与应力函数的关系可知，,cos2r。一一定定含含项项故设故设 ,cos2rf r代入相容方程得代入相容方程得43243223d2 d9 d9 dcos20ddddffffrrrrrrr43243223d2 d9 d9 d0ddddffffrrrrrrr解该解该Euler方程得方程得 422Df rArBrCr所以所以422,cos2DrArBrCr（2）应力分量）应力分量222241146(2)cos2rCDBrrrrr 22246(122)cos2DArBrr222241126(62)sin2rCDArBrrrrr （3）边界条件）边界条件内边界：内边
35、界：0rr a0rr a外边界：外边界：1cos22rr bq1sin22rr bq 将应力分量代入将应力分量代入244622CDqBbb 22426622CDqAbBbb 244620CDBaa22426620CDAaBaa联立解之，并令联立解之，并令0ab0A 14Bq 2Cqa414Dqa 所以所以2222311cos22rqaarr441 3cos22qar 2222311sin22rrqaarr 5. 5. 问题的应力解答问题的应力解答222222113111cos222rrraaaqqrrr24241111 3cos222aaqqrr22221311sin22rrraaqrr 解答
36、的此形式称为齐尔西（解答的此形式称为齐尔西（G. Kirsch）解）解6. 6. 讨论讨论（1）应力集中）应力集中孔边（孔边（r a）0r1 2cos2q0r最大应力最大应力max123r aq 无孔时无孔时0q可见可见,应力集中系数应力集中系数max03K（2）应力分布）应力分布qqyxq3q 沿水平方向（沿水平方向（ 0）q ra: :3ra: :06ra: :0.16q q0.16q之后趋近于零，与无孔时的分布相同。之后趋近于零，与无孔时的分布相同。 沿竖直方向（沿竖直方向（ 2）3qra: :2ra: :1.219q3ra: :1.074q之后趋近于之后趋近于q，与无孔时的分布相同。，
37、与无孔时的分布相同。 说明应力集中的影响范围仅限于局部区域，与力的局部作说明应力集中的影响范围仅限于局部区域，与力的局部作用原理（圣维南原理）相同。用原理（圣维南原理）相同。yx（3）结果应用）结果应用 双向均匀拉压矩形薄板，距边界远处开小圆孔的计算双向均匀拉压矩形薄板，距边界远处开小圆孔的计算q2q1yxrq1y1x1r1 分解为两个齐尔西解叠加分解为两个齐尔西解叠加q2y2r2 2x2 均匀应力任意形状薄板，距边界远处开小圆孔的计算均匀应力任意形状薄板，距边界远处开小圆孔的计算yx1212xy 由无孔时计算所得的均匀应力状态，由无孔时计算所得的均匀应力状态，计算任一点的主应力和主方向；计算
38、任一点的主应力和主方向； 以主方向以主方向为为x、y轴，以圆心为原点作矩形；轴，以圆心为原点作矩形； 由于各由于各点应力状态相同，所以矩形两对边的面力点应力状态相同，所以矩形两对边的面力即为主应力。即为主应力。 问题化为。问题化为。 需注意问题转化前后研究点的坐标方位。需注意问题转化前后研究点的坐标方位。 工程中近似计算孔边应力的方法工程中近似计算孔边应力的方法 先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 x 、y 、xy ；再由应力分量求出相应的主应力和主方向；再由应力分量求出相应的主应力和主方向； 最后将圆孔附近部分最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布
39、拉力当作沿两个主方向受均布拉力 q1 = 1 及及 q2 = 2 ，从而由前述的叠，从而由前述的叠加法求得孔边应力。加法求得孔边应力。非均匀应力状态非均匀应力状态四四. . 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力1. 1. 楔顶受集中力作用楔顶受集中力作用xyOP22r 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚，下端为无限长（单位厚度）。度）。 求楔顶与楔面受力时的应力分布。求楔顶与楔面受力时的应力分布。 设集中力设集中力P与中心线的夹角为与中心线的夹角为 。（1）应力函数）应力函数 量纲分析法：量纲分析法： 问题的条件中，所有的量问题的条件中，所有的量仅有仅有P (Nm)、r (
40、m)、 。 要由这些量要由这些量构成应力的量纲构成应力的量纲 (Nm2)，只有且仅含只有且仅含 Pr 的一次项。的一次项。所以，应力分量所以，应力分量 r 1应力函数比应力分量高两次应力函数比应力分量高两次 , rr故设故设 , rr f代入相容方程得代入相容方程得423421d( )d( )2( )0ddfffr即即4242d( )d( )2( )0ddfff42210 1,23,4ii 1223iifccecce整理得整理得 cossincossinfABCD所以所以,cossincossinrArBrrCDxy,cossinrrCD线性项线性项（2）应力分量）应力分量222112coss
41、inrDCrrrr220r10rrr （3）边界条件）边界条件楔面：楔面：2020r自然满足自然满足楔顶：楔顶：截取含楔顶的脱离体建立平衡关系。截取含楔顶的脱离体建立平衡关系。以楔顶为圆心任作一圆弧以楔顶为圆心任作一圆弧 ，ab 取其上取其上部建立平衡方程。部建立平衡方程。xyOP22r0rrab0 xF 0202cos dcos0rr rrP 0yF 0202sin dsin0rr rrP 将应力分量代入将应力分量代入2222cossincosdcos0DCP2222sincossindsin0DCP0zM 自然满足自然满足积分得积分得sincos0DPsinsin0CPsinsinPCco
42、ssinPD 代入应力分量得代入应力分量得2coscossinsinsinsinrPr 00r密切尔（密切尔（ Michell ）解答）解答（4）讨论）讨论 0 ：竖向力：竖向力P作用作用2coscossinrPr 2 ：水平力：水平力P作用作用2sinsinsinrPr Pr正对称分布正对称分布反对称分布反对称分布Pr 当当 r 0 时：时：r ，不可能（？），不可能（？） 、 0 ：半平面体边界受法向力：半平面体边界受法向力P作用作用PxyOr2cosrP 2. 2. 楔顶受集中力偶作用楔顶受集中力偶作用xyO22rM（1）应力函数）应力函数应力分量应力分量 r 2 0, rr故设故设 ,
43、 r 代入相容方程得代入相容方程得424421d( )d( )40ddr 4242d( )d( )40dd cos2sin2ABCD 注意到集中力偶矩应为单位厚度的注意到集中力偶矩应为单位厚度的矩，即矩，即M 的量纲为的量纲为(N) 。因此。因此若受分布力作用，可由叠加法对上式积分。若受分布力作用，可由叠加法对上式积分。（2）应力分量）应力分量2222114cos2sin2rABrrrr 220r2112 sin22cos2rABCrrr 考虑到反对称载荷下，对称体的应力分布应反对称。即考虑到反对称载荷下，对称体的应力分布应反对称。即r 应是应是 的奇函数，的奇函数，r 应是应是 的偶函数。的
44、偶函数。所以，所以，A 024 cos2rBr 022cos2rBCr（3）边界条件）边界条件楔面：楔面：2020r自然满足自然满足2 cos0BC楔顶：楔顶： 以楔顶为圆心任作一圆弧以楔顶为圆心任作一圆弧 ，ab 取其上取其上部建立平衡方程。部建立平衡方程。0 xF 0yF 0zM 自然满足自然满足自然满足自然满足02002d0rr rrrM222 cos2d0BCM2 sin0BCM联立求解得联立求解得2sincosMB cossincosMCxyO22r0rrabM代入应力分量代入应力分量22sin2sincosrMr02cos2cossincosrMr 英格立斯（英格立斯（Inglis
45、）解答）解答3. 3. 楔面受分布力作用楔面受分布力作用Oxyrq（1）应力函数）应力函数应力分量应力分量 r 0 2, rr故设故设 2, rr f 注意到分布力注意到分布力q 的量纲为的量纲为(Nm2) 。因此，因此，代入相容方程得代入相容方程得422421d( )d( )40ddffr4242d( )d( )40ddff cos2sin2fABCD2,cos2sin2rrABCD（2）应力分量）应力分量2 cos22 sin222rABCD 2 cos22 sin222ABCD2 sin22 cos2rABC（3）边界条件）边界条件0q 00r0 0r 22ADq 20BC2 cos22
46、 sin2220ABCD2 sin22 cos20ABC竖面：竖面：斜面：斜面：联立求解联立求解tan4 tanqA 14 tanqB12 tanqC tan22tanqD 回代应力分量回代应力分量tan(1cos2 )(2sin2 )2(tan)rqq tan(1cos2 )(2sin2 )2(tan)qq (1cos2 )tansin22(tan)rq（3）特例）特例当当 时，半平面体之半受均布力作用。时，半平面体之半受均布力作用。qxyOr2sin22rqq 2sin22qq 1cos22rq 为便于应用，将其转换到直角坐标系：为便于应用，将其转换到直角坐标系：22arctanxqyqx
47、yqxxy 22arctanyqyqxyqxxy 222xyqyxy五五. . 半平面体在法向力作用下的位移半平面体在法向力作用下的位移PxyOr1. 1. 受集中力作用受集中力作用（1）应力分量）应力分量2cosrPr 00r（2）应变分量）应变分量2cosrPEr 2cosPEr0r（3）位移分量）位移分量由几何方程由几何方程12cosrPurrrEu10ruuurrr由物理方程由物理方程2cosrPuErr 12cosln( )rPrfEu 积分第一式积分第一式12cos2lncos( )rPPrfEEuu代入第二式代入第二式 122lnsindPrffurE积分得积分得将将 ur、u
48、代入第三式，并整理得代入第三式，并整理得1212d ( )d ( )2 sin(1)( )d( )ffrPfrfrdEdr 11d ( )2 sin(1)( )dfPfJdE22d ( )( )frrfrJdr 1(1)( )sincossinPfIKE 2( )frHrJ式中，式中，H、I、J、K为任意常数为任意常数由对称性由对称性00u所以所以(1)sincossin2coslnrPuIKPrEE(1)12lnsincossincosPPurIKHrJEE,rrurur0K 0HJ所以所以(12cos)sinc slnorPuIEPrE(1)12lnsincossinPPurIEE常数常数
49、 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。22(1)lnPPurIEE 工程所关注的是边界上的铅垂位移（地面沉陷），即工程所关注的是边界上的铅垂位移（地面沉陷），即（4）边界沉陷）边界沉陷由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的相对沉陷量。所以只能求得的相对沉陷量。在边界上取一基准点在边界上取一基准点B，计算计算M点相对于基准点点相对于基准点B的沉陷。的沉陷。为此，为此，PxyOrBsMr22r rr suu 2lnPsEr对于平面应变问题对于平面应变问题22 1lnPsEr符拉芒（符拉芒（Flamant）公式）公式xOMc2c2BadrdP
50、q 1crsb2. 2. 受均布力作用受均布力作用 设单位均布压力设单位均布压力1qc（其中（其中 c 为作用长度）。为作用长度）。求求 M 点（距压力中心为点（距压力中心为 a）相对于基点相对于基点 B（距压力中心为（距压力中心为 b）的沉陷量的沉陷量 。 取微段力取微段力 dP dr c ，由符拉芒公式由符拉芒公式2ddlnMBPsEr2dlnrsEcr其中，其中，()sbra为为 r 的函数。的函数。222lndcacMBasrEcr当当 s r 时，可视时，可视 s 为常数，即为常数，即 s b222lndcacMBarabrEcr或或222lndcacMBasrEcr其中，其中，s为
