1、6.1 6.1 概概 述述梁板式基础：梁板式基础： 连续基础，一种浅基础，通常指连续基础，一种浅基础，通常指柱列或柱网柱列或柱网下下的单向或双向的单向或双向条形基础条形基础，以及整片连续设置于建筑物下，以及整片连续设置于建筑物下筏形和箱形筏形和箱形基础基础柱下条形基础柱下条形基础当地基软弱而荷载较大时，若采用柱下独立基础，可能因基础当地基软弱而荷载较大时，若采用柱下独立基础，可能因基础底面积很大使基础边缘相互接近甚至重叠。为增强基础的整体性，底面积很大使基础边缘相互接近甚至重叠。为增强基础的整体性，并方便施工，将同一排的柱基础连通成并方便施工，将同一排的柱基础连通成柱下条形基础柱下条形基础十字
2、交叉基础十字交叉基础当荷载很大，采用柱下条形基础不能满足设计要求时，可采用当荷载很大，采用柱下条形基础不能满足设计要求时，可采用双向的柱下钢筋混凝土条形基础形成的双向的柱下钢筋混凝土条形基础形成的十字交叉基础十字交叉基础筏板基础筏板基础当地基软弱而荷载很大，采用当地基软弱而荷载很大，采用十字交叉基础十字交叉基础也不能满足设计要也不能满足设计要求时，可采用筏板基础，即用钢筋混凝土作成连续整片基础求时，可采用筏板基础，即用钢筋混凝土作成连续整片基础箱形基础箱形基础由底板、墙和顶板形成箱，整体性更好底板外墙内墙当荷载较大，底层墙柱间距过大，地基承载力相对较低，当荷载较大，底层墙柱间距过大，地基承载力
3、相对较低，采用筏板基础不能满足要求时，可采用采用筏板基础不能满足要求时，可采用箱形基础箱形基础。l 基础底面积扩大，基础底面积扩大，地基承载力提高地基承载力提高l 基础的刚度增大，基础的刚度增大，减小不均匀沉降减小不均匀沉降l 改善建筑物的改善建筑物的抗震性能抗震性能 挠曲特征、基底反力和截面内力分布与地基、基础和上部结构挠曲特征、基底反力和截面内力分布与地基、基础和上部结构的相对刚度特征有关。应该从的相对刚度特征有关。应该从三者相互作用三者相互作用的观点出发，采用适当的观点出发，采用适当的方法设计。的方法设计。梁板式基础优点：梁板式基础优点：弹性地基梁、板的分析理论：弹性地基梁、板的分析理论
4、：地基模型：地基模型： 地基土应力应变关系的数学表达式地基土应力应变关系的数学表达式。文克勒地基模型文克勒地基模型弹性半空间模型弹性半空间模型有限压缩层模型有限压缩层模型非线性模型非线性模型弹塑性模型弹塑性模型线弹性模型线弹性模型6.2 6.2 地基计算模型地基计算模型选用的模型尽可能反映土体的力学性状，并且便于利用已有选用的模型尽可能反映土体的力学性状，并且便于利用已有的数学方法和计算手段分析的数学方法和计算手段分析一、文克勒地基模型一、文克勒地基模型 1867年，捷克工程师年，捷克工程师E.Winkler提出一种最简单的地基计算模型，提出一种最简单的地基计算模型，假定地基上任一点受的压力强
5、度与该点的地基沉降成正比假定地基上任一点受的压力强度与该点的地基沉降成正比P = k s侧面无摩擦的土柱体系侧面无摩擦的土柱体系弹簧模型弹簧模型刚性基础刚性基础l 地面上地面上某点的沉降与作用于其他点上的压力无关某点的沉降与作用于其他点上的压力无关l 模型的基底模型的基底压力分布压力分布图与基础的图与基础的竖向位移分布相似竖向位移分布相似l 刚性基础刚性基础，基底，基底压力呈直线分布压力呈直线分布l 地基地基沉降沉降只发生在只发生在基底范围以内基底范围以内适用性适用性1 1 力学性质与力学性质与水水接近的地基：接近的地基： 淤泥、软粘土地基淤泥、软粘土地基2 2 厚度部超过基底短边一半的厚度部
6、超过基底短边一半的薄压缩层地基薄压缩层地基，由于其压力面积，由于其压力面积大，薄层竖直面大，薄层竖直面剪应力较小剪应力较小，也适合采用，也适合采用二、弹性半空间地基模型二、弹性半空间地基模型 将地基视为将地基视为均匀的、各向同性的弹性半空间均匀的、各向同性的弹性半空间，地基上任意点的沉，地基上任意点的沉降与整个基底反力以及邻近荷载的分布有关，他们之间的关系可通过降与整个基底反力以及邻近荷载的分布有关，他们之间的关系可通过弹性力学知识用弹性力学知识用积分法积分法得到。得到。 当基底受荷面积为当基底受荷面积为矩形矩形时，先将基底平面划分为时，先将基底平面划分为n个矩形网格个矩形网格，作用于各网格面
7、积上的基底反力的作用于各网格面积上的基底反力的合力作用于矩形网格的形心合力作用于矩形网格的形心。以以沉降系数沉降系数 ij 表示表示 i 网格中点由作用于网格中点由作用于 j 网格上的力引起的沉降，按网格上的力引起的沉降，按叠加原理叠加原理，网格中点的沉降应为所有，网格中点的沉降应为所有n个网格上的基底压力分别引个网格上的基底压力分别引起的沉降之和。起的沉降之和。ijxi xjxj xi njnnnninijiinnniRRRRsssss212121222211121121.), 2 , 1(12211niRRRRsnjjijniniii矩阵形式矩阵形式ijxi xjxj xiFaEij02)
8、1 (rEij02)1 (沉降系数沉降系数 ij可由下述方法求得可由下述方法求得（1 1）i=j i=j 时时，可由，可由 Boussinesq Boussinesq 公式通过公式通过积分或角点法积分或角点法求得：求得：（2 2）i ij j 时时，把作用在，把作用在j j网格得均布荷载按单位集中力计算，网格得均布荷载按单位集中力计算，然后按然后按 BoussinesqBoussinesq 公式求解公式求解计算的沉降量和地表的沉降范围，常计算的沉降量和地表的沉降范围，常较实测结果大较实测结果大，这与它，这与它具有具有无限大的压缩深度无限大的压缩深度（沉降计算深度）有关，尤其是未能考虑（沉降计算
9、深度）有关，尤其是未能考虑地基的地基的成层性、非均匀性及应力应变关系的非线性成层性、非均匀性及应力应变关系的非线性等。等。三、有限压缩层地基模型三、有限压缩层地基模型 用沉降计算的用沉降计算的分层总和法分层总和法计算沉降系数计算沉降系数ij ，地基沉降等于沉降，地基沉降等于沉降计算深度内各计算分层在侧限条件下的压缩量之和。计算深度内各计算分层在侧限条件下的压缩量之和。mkskkijkijEh1/ 首先计算在首先计算在pi = 1 / fi 作用下在作用下在i点下引起的附加应力，然后用分点下引起的附加应力，然后用分层总和法计算层总和法计算i点的沉降系数点的沉降系数ijijk 在在j点作用单位力时
10、，在点作用单位力时，在i点下第点下第k层土中产生的附加应力层土中产生的附加应力hk 第第k层土的厚度层土的厚度Ek 第第k层土的压缩模量层土的压缩模量ijpi = 1 / fimkskkijkijEh1/), 2 , 1(12211niRRRRsnjjijniniii四、非线性模型和弹塑性地基模型四、非线性模型和弹塑性地基模型1 Duncan-Chang 模型模型 1963年，年，Konder提出土的应力应变关系为提出土的应力应变关系为双曲线双曲线，Duncan-Chang根据这个关系并利用根据这个关系并利用Mohr-Columb强度理论导出了非线性弹强度理论导出了非线性弹性地基模型的切线公式
11、，此模型被称为性地基模型的切线公式，此模型被称为邓肯张模型。邓肯张模型。 13轴向应变轴向应变11131ba模型采用双曲线表示由三轴试验得到的土体应力应变曲线模型采用双曲线表示由三轴试验得到的土体应力应变曲线13轴向应变轴向应变1f（破坏点）ultffR)()(3131naipKpEa3式中式中根据根据Janbu（1963）建议，建议，土体初始模量可表示为土体初始模量可表示为Duncan-Chang建议将上式改写为建议将上式改写为ffiRE)(131113123313sin2cos2)(sin1 (1cRpKpEfnataDuncan-Chang通过分析，得到切线模量公式为通过分析，得到切线模
12、量公式为sin1sin2cos2)(331cf根据根据Mohr-Columb破坏准则破坏准则 Kulhawy和Duncan认为，常规三轴试验的轴应变与侧应变也认为，常规三轴试验的轴应变与侧应变也可用双曲线拟合，可用双曲线拟合，侧应变侧应变3轴向应变轴向应变1aipFG3lg1131Df五、地基参数的确定五、地基参数的确定弹性半空间地基模型参数为土的弹性半空间地基模型参数为土的弹性模量弹性模量，有限压缩层地基模，有限压缩层地基模型参数为土的型参数为土的压缩模量压缩模量，其确定方法在土力学中已介绍。，其确定方法在土力学中已介绍。文克勒地基模型中基床系数文克勒地基模型中基床系数如果认为地基是一种如果
13、认为地基是一种直线变形体直线变形体，而且多少总有一定的扩散应，而且多少总有一定的扩散应力与变形的能力，那么基底某点的沉降可用表达，根据定义，该点力与变形的能力，那么基底某点的沉降可用表达，根据定义，该点的基床系数可表示为：的基床系数可表示为：njjjijiiiifppspk1由上式可以看出，基底各点的由上式可以看出，基底各点的基床系数并非常数基床系数并非常数，随点的位置，随点的位置不同而变化。不同而变化。进一步分析，还可知道，进一步分析，还可知道，k k值取决于地基值取决于地基土层的分布土层的分布情况及其情况及其压压缩性、基底的大小和形状缩性、基底的大小和形状，以及与，以及与基础荷载和刚度有关
14、基础荷载和刚度有关的地基中的的地基中的应力等等。严格说来，在进行地基上梁板的分析之前，基床系数的应力等等。严格说来，在进行地基上梁板的分析之前，基床系数的值是很难准确预定的。值是很难准确预定的。njjjijiiiifppspk1对于某个特定的地基和基础条件，如已探明对于某个特定的地基和基础条件，如已探明土层分布并测得土土层分布并测得土的压缩性指标的压缩性指标，则可利用下式估算基床系数：，则可利用下式估算基床系数：mspk0P0为为基底平均附加应力基底平均附加应力。把它作为均布于基底的荷载并按。把它作为均布于基底的荷载并按有限压缩有限压缩层或分层总和法层或分层总和法算得若干点算得若干点沉降后求平
15、均值沉降后求平均值。如果基底可压缩土层厚度如果基底可压缩土层厚度H H不超过基础底面宽度的不超过基础底面宽度的1/21/2，则在，则在薄薄压缩层压缩层范围的附加应力约等于基底平均压力范围的附加应力约等于基底平均压力p p，所以基底平均沉降为，所以基底平均沉降为sm = p H / Es（EsEs为土层全平均压缩模量）代入上式得为土层全平均压缩模量）代入上式得HEks/ 如在基底范围内地基土得变化不大，可以只计算基底中点得如在基底范围内地基土得变化不大，可以只计算基底中点得沉降沉降 s s0 0，然后按弹性半空间求得的沉降系数，然后按弹性半空间求得的沉降系数w w0 0和和w wm m把把 s
16、s0 0折算为折算为 s sm m，即：即：00)/(swwsmmppkbbk)/(如果基底如果基底压缩层范围土质均匀压缩层范围土质均匀，则可利用，则可利用荷载板试验荷载板试验结果估算结果估算基床系数。基床系数。在在p ps s曲线上取对应于基底平均反力曲线上取对应于基底平均反力p p得刚性荷载板沉降得刚性荷载板沉降s s计算计算荷载板下的基床系数荷载板下的基床系数 kp = p / s 。对粘土地基，实际基础下的基床。对粘土地基，实际基础下的基床系数为系数为bp、b 荷载板、基础宽度荷载板、基础宽度六、地基模型的选择六、地基模型的选择（1） 一般说来，当基础处于一般说来，当基础处于无粘性土或
17、抗剪强度很低无粘性土或抗剪强度很低的半液的半液态土（淤泥等），用文克勒地基模型比较合适。对态土（淤泥等），用文克勒地基模型比较合适。对厚度不超过基底厚度不超过基底短边之半的薄压缩层短边之半的薄压缩层地基，也适合采用地基，也适合采用文克勒模型文克勒模型。（2） 当基础处于当基础处于粘性土粘性土上时，一般采用上时，一般采用弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型或分层地基模型或分层地基模型，特别是对于，特别是对于刚性基础，刚性基础，基底反力适中，土中应力基底反力适中，土中应力水平不高，塑性区开展不大时。水平不高，塑性区开展不大时。（3） 如果如果地基土呈现明显的层状分布地基土呈现明显的层状分布，而且土
18、层之间的物理、，而且土层之间的物理、力学性质差异较大时，最适合采用力学性质差异较大时，最适合采用有限压缩层模型有限压缩层模型。6.3 文克勒地基上梁的计算文克勒地基上梁的计算一、无限长梁的基本方程一、无限长梁的基本方程xdxqpb温克尔地基上的等截面梁，其宽度为温克尔地基上的等截面梁，其宽度为b。任取长度为。任取长度为dx的一的一小段梁单元分析。其上作用分布荷载小段梁单元分析。其上作用分布荷载q、基底反力、基底反力p、截面弯矩、截面弯矩M和剪力和剪力VVV+dVMM+dMpbqxdxVV+dVMM+dMqpbpbqqpbdxdV0)(qdxpbdxdVVV对微元体竖向静力平衡分析得对微元体竖向
19、静力平衡分析得dxdMV MdxwdIEc22qbpdxdVdxMddxwdIEc2244利用关系利用关系根据材料力学知识，梁挠度的微分方程为：根据材料力学知识，梁挠度的微分方程为：wKdxwdIEc44wkp根据变形协调条件，沿梁的全长根据变形协调条件，沿梁的全长地基沉降应与梁的挠度相等地基沉降应与梁的挠度相等，即即 s = w0，可得可得对于梁的无荷载部分对于梁的无荷载部分 q = 0 ，可得，可得此式即此式即文克勒地基梁微分方程式文克勒地基梁微分方程式，其中，其中K = kb 为梁单为梁单位长度上的集中基床系数位长度上的集中基床系数04444wdxwd另一种形式另一种形式)sincos(
20、)sincos(4321xCxCexCxCewxx式中式中44IEkbc以上四阶常系数线性常微分方程的以上四阶常系数线性常微分方程的通解为：通解为：二、集中荷载作用下的解答二、集中荷载作用下的解答)sincos(43xCxCewx取取 P0 的作用点为坐标原点的作用点为坐标原点o，则离，则离o点无限远处梁的挠度为点无限远处梁的挠度为0。因此，因此，C1 = C2 = 0，于是梁的，于是梁的右半部右半部p0o在在o点处紧靠点处紧靠P0右边把梁切开，则作用于梁右半部截面上的右边把梁切开，则作用于梁右半部截面上的剪力应等于地基总反力之半，并指向下方，即剪力应等于地基总反力之半，并指向下方，即)sin
21、(cos20 xxeKPwx2/)(0033PdxwdIEVxcKPC2/0由此得代入挠曲方程得代入挠曲方程得P0 / 2p0oxxxxDPVCPMBKPAKPw2,4,20000 xeBxxsinxeDxxcos)sin(cosxxeAxx)sin(cosxxeCxx将将w对对x取一阶、二阶、三阶导数，得梁截面得转角取一阶、二阶、三阶导数，得梁截面得转角 、弯矩弯矩 和剪力和剪力 。所得公。所得公式归纳如下：式归纳如下：dxdw)(22dxwdIEMc)(33dxwdIEVc式中式中xAKPw20 xBKP0 xCPM40 xDPV20432三、多个集中荷载作用三、多个集中荷载作用ccbba
22、aaadDMCPDMCPM2424ccbbaaaadAMDPAMDPV2222计算若干集中荷载作用下无限长梁上任意截面的转角计算若干集中荷载作用下无限长梁上任意截面的转角 、弯矩、弯矩 和剪力时，可以按前述分别计算各荷载单独作用时在该截面引起的和剪力时，可以按前述分别计算各荷载单独作用时在该截面引起的效应，然后叠加得到共同作用下的总效应。效应，然后叠加得到共同作用下的总效应。BCDAabc四、有限长梁的计算四、有限长梁的计算 当当/4 L 时，梁便可称为有限长梁，此时荷载作用对时，梁便可称为有限长梁，此时荷载作用对梁端的影响已不可忽略。解法如下：梁端的影响已不可忽略。解法如下： 用常见的所谓用
23、常见的所谓“初始参数法初始参数法”可以较为方便地确定通解可以较为方便地确定通解的积分常数的积分常数 以无限长梁的计算公式为基础以无限长梁的计算公式为基础，利用，利用叠加原理叠加原理来求得满来求得满足有限长梁两自由端边界条件得解答。足有限长梁两自由端边界条件得解答。原原 理：理：设想把梁设想把梁I由由A、B两端向外无限延伸，形成无限长梁两端向外无限延伸，形成无限长梁II，相应于，相应于梁梁I两端的两端的A、B截面将产生一定的挠度、转角、弯矩和剪力。设想此截面将产生一定的挠度、转角、弯矩和剪力。设想此时时A、B两截面的弯矩和剪力分别为两截面的弯矩和剪力分别为Ma、Va及及Mb、Vb。但是，实际上。
24、但是，实际上梁梁I的的A、B两自由端并不存在弯矩和剪力。两自由端并不存在弯矩和剪力。PMAB梁梁 IPMABPBMBPAMA梁梁 II为了按为了按梁梁II利用无限长梁公式以叠加法计算，而能得出相应于原利用无限长梁公式以叠加法计算，而能得出相应于原有长梁的解答，就必须设法有长梁的解答，就必须设法消除消除发生在发生在梁梁II中中A、B两截面的两截面的弯矩和剪弯矩和剪力力，以满足原来梁端的边界条件。，以满足原来梁端的边界条件。lPMlPBPA梁梁 IPMABPMABPBMBPAMA梁梁 IIalBAlBAMDMMCPP2244alBAlBAVAMMDPP2222bBlABlAMMDMPCP2244b
25、BlABlAVMDMPDP2222在在梁梁II紧靠紧靠AB段两端段两端的外侧，分别加上一对集中荷载的外侧，分别加上一对集中荷载MA、PA及及MB、PB，并要求这两对附加荷载在，并要求这两对附加荷载在A、B两截面中产生的弯矩和剪力分别等两截面中产生的弯矩和剪力分别等于于Ma、Va及及Mb、Vb。blllblllalllalllAMAEFVDEFMAFEVDFEP)()()()(blllblllalllalllAMDEFVCEFMDFEVCFEM)(2)()(2)(blllblllalllalllBMAEFVDEFMAEFVDFEP)()()()(blllblllalllalllBMDEFVCEF
26、MDFEVCEFM)(2)()(2)(解方程得：解方程得：式中式中llleEll22sinsinhsinh2llleFll22sinhsinsin2可按可按 l 查表。查表。原来的原来的梁梁I 延伸为无限长延伸为无限长梁梁II 之后，它在之后，它在AB两截面处的连续性是两截面处的连续性是靠内力靠内力Ma、Va及及Mb、Vb来维持的，而来维持的，而附加荷载附加荷载MA、PA及及MB、PB是是为为了在了在梁梁II上实现上实现梁梁I 的边界条件所必须的附加荷载，称为的边界条件所必须的附加荷载，称为梁端边界条件梁端边界条件力力。lPMlPBPA梁梁 IPMABPMABPBMBPAMA梁梁 II有限长梁
27、有限长梁上任意点上任意点X的的 w、M、V的计算步骤如下：的计算步骤如下： 以以叠加法叠加法计算计算已知荷载（已知荷载（P、M）在在梁梁II上相应于上相应于梁梁I两端的两端的A、B截面截面引起的弯矩和剪力引起的弯矩和剪力Ma、Va及及Mb、Vb 计算计算梁端边界条件力梁端边界条件力 MA、PA及及MB、PB 以以叠加法叠加法计算在计算在已知荷载和边界条件力已知荷载和边界条件力的共同作用下，的共同作用下，梁梁II上相应于上相应于梁梁I的的X点处的点处的 w、M、V 值值PMAB梁梁 IPMABPBMBPAMA梁梁 IIl 有限差分法有限差分法6.3 6.3 地基上梁的数值分析方法地基上梁的数值分
28、析方法从本质上讲，差分法求解梁的挠度和内力，就是用从本质上讲，差分法求解梁的挠度和内力，就是用差分商代替差分商代替微分商微分商，变微分方程为差分方程变微分方程为差分方程，从而把，从而把微分方程的求解变为线性微分方程的求解变为线性代数方程组的求解代数方程组的求解，这是一种数学上的近似。，这是一种数学上的近似。i-1 i i+1xxwi-1wiwi+1xwwxwdxdwiiii211w = f (x)设梁的挠度曲线用连续函数设梁的挠度曲线用连续函数w=f(x)表示，曲线的三个纵距为表示，曲线的三个纵距为wi-1 、wi 、wi+1 ，各纵距之间的间距为，各纵距之间的间距为x，函数在每个小区间，函数
29、在每个小区间x上的变化称上的变化称为函数的一阶差分为函数的一阶差分w ，函数在，函数在 i 点处的一阶导数为点处的一阶导数为一阶中心差分一阶中心差分xwxwxwdxdwiiixi0lim一阶向前差分一阶向前差分iiwww1)(2111iiwww211222)/(xwwwxxwdxwdiiiii 只要对一阶向前（后）差分作一次向后（前）差分，就可以得只要对一阶向前（后）差分作一次向后（前）差分，就可以得到到二阶中心差分二阶中心差分如下如下二阶导数近似表示为：二阶导数近似表示为：111122)()(iiiiiiiiiwwwwwwwww将任意荷载下的梁等分为将任意荷载下的梁等分为n段段，每段长，每段
30、长L，各段中点记为，各段中点记为节点节点，根，根据梁的弯曲关系式，得到梁的据梁的弯曲关系式，得到梁的差分方程差分方程为为2112LwwwIEMiiibibi1 2 i i+1 np1p2pipn1 2 i i+1 np1p2pipn假设各段梁上得假设各段梁上得基底反力基底反力为为均布均布，并表示为，并表示为pi，其合力，其合力Ri作用于作用于节点。由节点。由变形协调条件变形协调条件，i点的点的挠度等于该点地基的竖向位移挠度等于该点地基的竖向位移，对于变，对于变基床系数地基，有：基床系数地基，有：iiiiiiiiwKwkLBLpBRBi i 区段梁宽ki i 区段梁下地基土的基床系数各段梁成为支
31、承在各段梁成为支承在刚度系数刚度系数为为Ki = ki Bi L的的弹簧上的梁弹簧上的梁1 2 i i+1 np1p2pipnK1 K2 Ki KnR1 R2 Ri Rn求求 Mi，将梁在，将梁在 i 点处切开，根据点处切开，根据梁左半部分梁左半部分的的静力平衡静力平衡条件得：条件得：piijjjiMwKjiLM11)(R1 R2 Ri Rn式中式中Mpi为为i点左边梁上所有点左边梁上所有外荷载对外荷载对i点的力矩之和点的力矩之和piiiMLRLiRLiRM121.)2() 1(代入代入弯矩、挠度关系式弯矩、挠度关系式，得，得piijjjiiiibiMwKjiLwwwLbE11112)()2(
32、0MPRnii1对式分别取对式分别取i=2,3,i=2,3,n-1,n-1,可得相应于第可得相应于第2 2，3 3，各点的各点的n-2n-2个差个差分方程分方程余下的两个方程由全梁的余下的两个方程由全梁的静力平衡条件静力平衡条件给出给出pnniiMLjnR1)(0F以各段中点以各段中点挠度为未知数挠度为未知数的的n n个个线性代数方程式线性代数方程式，可用，可用矩阵形式矩阵形式表示如下：表示如下：T32,.,PMMMPpnppPwAT21,.,nwwww 解解n n阶线性方程组，可得挠度阶线性方程组，可得挠度w，进而求得，进而求得基底反力基底反力，再按一，再按一般般静力学方法静力学方法求出梁任
33、意截面得求出梁任意截面得弯矩和剪力弯矩和剪力l 有限单元法有限单元法与与数学上数学上近似的近似的有限差分法有限差分法不同，有限元法是一种不同，有限元法是一种物理上物理上的近的近似。系将连续梁用一些似。系将连续梁用一些离散的梁单元离散的梁单元代替，变连续体为离散体，这代替，变连续体为离散体，这些单元些单元在节点上保持变形的连续性和力的平衡在节点上保持变形的连续性和力的平衡。K1 K2 Kj Kn1 2 i i+1 m1 1 梁的刚度矩阵梁的刚度矩阵把梁分成把梁分成m m段，每个分段为一梁单元，分段处和梁两端是单元节段，每个分段为一梁单元，分段处和梁两端是单元节点，编号如图。梁与点，编号如图。梁与
34、地基接触面地基接触面也被分为也被分为m+1m+1个子域个子域，各子域的地基，各子域的地基反力反力p pj j均匀分布，合力为均匀分布，合力为 Rj=pjf=Kjwj，f=1/2(Libi+Li+1bi+1)1 2 j m+1K1 K2 Kj Kn1 2 i i+1 m将将Rj以集中反力的形式作用于节点以集中反力的形式作用于节点j上，即相当于在节点上，即相当于在节点j下设置下设置了刚度为了刚度为Kj的弹簧，于是弹性地基梁被简化为的弹簧，于是弹性地基梁被简化为支承在支承在n个弹簧上的梁个弹簧上的梁1 2 j m+1K1 K2 Kj Kn1 2 i i+1 m不考虑水平力，每个节点有不考虑水平力，每
35、个节点有两个自由度两个自由度，即挠度，即挠度w w和转角和转角，相，相应的节点力为应的节点力为剪力剪力V V和弯矩和弯矩M M。MaVaVbMb根据结构力学知识，可得联系单元根据结构力学知识，可得联系单元i i的的节点力节点力fifi与节点位移与节点位移wiwi的单元刚度矩阵为的单元刚度矩阵为iiciBLLLLLLLLIEK22234612264612612iiBiwKfT11,ijjjjiMVMVfT11,ijjjjiwww将将单元刚度单元刚度矩阵组装成矩阵组装成整体刚度矩阵整体刚度矩阵KB,KB,同时将同时将单元节点力单元节点力列列向量集合成向量集合成总节点力向量总节点力向量FF，单元节点
36、位移单元节点位移集合成集合成位移列向量为位移列向量为wwwKFBP1 P2 P3 M1 M2 M3L L例：例： 两个相同单元的等截面梁，外荷载如图两个相同单元的等截面梁，外荷载如图332211222222233221146260061261200268026612024612002646006126123wwwLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLEcIFFFFFFmmm,332211wwww 产生节点位移和转角产生节点位移和转角 所需的节所需的节点力点力 用矩阵表示为用矩阵表示为T332211,mmmFFFFFFF 左上及右下两框中的元素由第左上及右下两框中的元素由第和第和第单元的刚度矩
37、阵提供，单元的刚度矩阵提供，叠合部分叠合部分为两矩阵的相应元素之和为两矩阵的相应元素之和2 2 地基上梁的刚度矩阵地基上梁的刚度矩阵根据根据接触条件接触条件，地基在任一，地基在任一节点节点j j处也要考虑沉降处也要考虑沉降sjsj和基底倾和基底倾斜斜jj两方面。地基在与梁底接触处只能承担竖向集中反力两方面。地基在与梁底接触处只能承担竖向集中反力R Rj j = K = Kj j s sj j，而不能抵抗转动，由此基底反力距，而不能抵抗转动，由此基底反力距 R Rmjmj=0=0。集中基底反力和反。集中基底反力和反力距与基底沉降和倾斜之间关系为力距与基底沉降和倾斜之间关系为33221132133
38、2211000600000000000000000000000000000sssmmmsssLKKKRRRRRRsKR 地基刚度矩阵地基刚度矩阵根据梁上根据梁上各节点的静力平衡条件各节点的静力平衡条件，作用于任一节点，作用于任一节点j j的集中基的集中基底反力、节点力以及节点荷载之间满足条件底反力、节点力以及节点荷载之间满足条件 Rj + Fj = Pj 和和 Rmj + Fmj = Mj，即，即PFRsw )(PwKKBKKAB根据接触条件地基上梁的刚度矩阵地基上梁的刚度矩阵梁的刚度矩阵梁的刚度矩阵地基刚度矩阵地基刚度矩阵PwAnnww,11解方程组解方程组 对于对于自由支承自由支承在地基上的条形基础，其边界条件为在地基上的条形基础，其边界条件为V1 = M1 = 0 以以及及Vn = Mn = 0。在端节点。在端节点1和和n的平衡方程中，使的平衡方程中，使主对角元素为主对角元素为1，并，并划划行划列行划列。在。在右端项右端项的相应位置上以的相应位置上以 代替。代替。nnnnwwwxxw#10000001000000*0000*000000100000011111
