1、1微分中值定理与微分中值定理与导数的应用导数的应用第四章第四章2 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理，中值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。1. 1. 预备定理预备定理费马费马( (Fermat) )定理定理. 0)( )( ),( )( 000 xfxxfxbaxf可导，则可导，则在点在点且且取得最值，取得最值，内一点内一点在在若函数若函数 费马（费马（Fermat，1601-1665），），法国人，与笛卡尔共法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。
2、因提出费马大、小定理而著名于世。同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理34xyo)(xfy 1 2 几何解释几何解释: :.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一点点续续滑滑动动时时，就就必必然然经经过过，当当切切线线沿沿曲曲线线连连率率为为显显然然有有水水平平切切线线，其其斜斜曲曲线线在在最最高高点点和和最最低低点点5证明证明:达达到到最最大大值值证证明明。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就就有有内内在在达达到到最最大大值值，所所以以只只要要在在由由于于, 0)()( 00 xfxxf即即;0,
3、 0 )()( 00时时当当从而从而 xxxfxxf;0, 0 )()(00时时当当 xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf这这样样. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf.0)(0 xf所所以以可导，可导，在点在点而而0)(xxf6几何解释几何解释: :2. 2. 罗尔罗尔( (Rolle) )定理定理xO yC aby f(x)AB 如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y f(x) 在在端点端点 A、B 处的处的纵坐标相等。那么，在纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点曲线弧上至少有一点 C( , f( )，曲线在曲线在 C点点的切线平
4、行于的切线平行于 x 轴。轴。如果函数如果函数y f(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a, b上连上连续，续，(2)在开区间在开区间(a, b)内可导，内可导，(3) f(a) f(b)，则至少存则至少存在一点在一点 (a, b)，使得使得f ( ) 0。7证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使，则则由费马引理由费马引
5、理,.0)( f8注意：注意： f(x)不满足条件不满足条件(1) f(x)不满足条件不满足条件(3) f(x)不满足条件不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。9在在, 0 上上连连续续, ,), 0( 内内可可导导, , 且且0)()0( ff, , 例例1 1验证验证，xxfsin)( ，xxfcos)( ，0)2( f. ), 0(2 10 例例2 2 不求导数，判断函数不求导数，判断函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3)的导的导数有几个零点，以及其所在范围。数有几个零点，以及其所在范围。 解解
6、 f(1) f(2) f(3) 0，f(x)在在1, 2，2, 3上满足罗尔上满足罗尔定理的三个条件。定理的三个条件。 在在 (1, 2) 内至少存在一点内至少存在一点 1，使使 f ( 1) 0， 1是是 f (x)的一个零点。的一个零点。 在在(2, 3)内至少存在一点内至少存在一点 2，使使f ( 2) 0， 2也是也是f (x)的一个零点。的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间间(1, 2)及及(2, 3)内。内。11 如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续，(2)在在开区间开区
7、间(a, b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点 (a, b)内，使得内，使得几何意义：几何意义： C2h xO yABaby=f(x)C1 得得到到将将罗罗尔尔定定理理条条件件中中去去掉掉),()(bfaf 3. 3. 拉格朗日拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理.,ABCAB行于弦行于弦该点处的切线平该点处的切线平在在至少有一点至少有一点上上在曲线弧在曲线弧.)()()(abafbff 12证明证明容容易易验验证证, ,)(xF满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, , 于于是是 ba, , ,使使 即即 abafbff )()()( . . 作辅助函数作辅助函数
8、 ，)()()()()(axabafbfxfxF ，0)()()()( abafbffF 13xxfln)( , ,在在e, 1 上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的条条件件, , 例例3 3，xxf1)( ，1e11e)1() e ( ff，e), 1(1e .1e)1() e ()( fff 使使14).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.，)()()(abfafbf 之之间间和和介介于于ba 或或)()()(ababafafbf ,10 , 特别地特别地,或或.的精确表达式的精确表达
9、式增量增量 y 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：15如如果果在在),(ba内内恒恒有有0)( xf, ,则则)(xf在在),(ba内内为为一一常常数数. . 推论推论1 1),(, ),(2121xxxxba 内内任任取取两两点点在在)( )()()(211212xxxxfxfxf 则则，0)()(, 0)(12 xfxff . )()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, , )(xf常常数数, ,),(bax . . 证明证明在在,21xx上上对对)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 16如如果果)(xf和和)(xg在在),(
10、ba内内可可导导, ,且且在在),(ba内内恒恒有有)()(xgxf , ,则则在在),(ba内内)(xf和和)(xg最最多多相相差差一一个个常常数数. . 由由推推论论1 1 即即得得结结论论. . 作作辅辅助助函函数数 )()()(xgxfxF , , 则则 0)()()( xgxfxF, , 推论推论2 2证明证明17而而 2)0( f, , 故故 2)( xf, , 1 , 1 x. . 证证明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1 , 1 x 设设 xxxfarccosarcsin)( , , 1 , 1 x 01111)(22 xxxf, , 1 , 1 x C
11、xf )( , 1 , 1 x 且且 2)1()1( ff, , 类类似似可可得得：2cotarcarctan xx, ,Rx . . 例例4 4证证由推论由推论1知知,18证证明明：aababb1lnln1 , ba 0 令令 xxfln)( , ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例例5 5利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式. . 证证，ababf lnln1)( ,ba ,111ab .1lnln1aababb 即得即得19例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当证证, 0)(条件条件上满足拉格朗日定理的上满足拉格朗日定理的
12、在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx ),1ln()(ttf 设设.)1ln(1 xxxx 即得即得20不不妨妨设设yx , ,令令ttfsin)( , , 在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理： 而而 1cos , , 故故 yxyx sinsin. . 特特别别, ,令令0 y，得得 xx sin. . ),(yx , ,使使 )(cossinsinyxyx , , 例例7 7证证类似可证：类似可证： ，yxyx arctanarctanRyx ,
13、，yxyx sinsinRyx ,特别，特别，xx sinRx 214. 4. 柯西柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理 设函数设函数f(x)及及g(x)满足条件：满足条件： (1)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续， (2)在开区间在开区间(a, b)内可导，内可导， (3)在在(a, b)内任何一点处内任何一点处g (x)均不为零，均不为零，则至少存在一点则至少存在一点 (a，b)内，使得内，使得)()()()()()( gfagbgafbf 如果取如果取g(x) x，那么柯西中值定理就变成了拉那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理格朗日中值定理.说明说明：证略证略. .22
14、练习练习：P154 习题习题4.11.(1) 3. 4.(1)(2) 5. 6.(3) 8. 23第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为存在，这种极限称为不定式不定式，记为，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. . ，00. 及及24( (1 1) )0)(lim)(lim xgxfaxax； ( (2 2) )(xf和和)(xg在在点点0 x的的某某去去心心邻邻域域内内
15、可可导导，且且0)( xg； 则则 Axgxfax )()(lim( (或或 ) ). . ( (3 3) )Axgxfax )()(lim( (或或 ) ), , 00设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的 定理定理(洛必达法则洛必达法则) ( (证略证略) ) 某某去心邻域内有定义且可导去心邻域内有定义且可导, ,且满足下列条件：且满足下列条件： 25)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1. .ax 可可改改为为 x； 2 2. . )(lim)(limxgxfaxax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立； 3 3. .若若不不是是 “00” 或或 “ ”
16、 未未定定式式, ,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则； 4 4. .当当)()(limxgxf 不不存存在在时时, ,且且不不是是 , ,不不能能说说)()(limxgxf不不存存在在, , 说明说明： 5.5.洛必达法则可多次使用。洛必达法则可多次使用。 只能说此时使用洛必达法则失败只能说此时使用洛必达法则失败, ,需另想它法；需另想它法； )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 26例例13245lim241 xxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00(用用“洛必达法则洛必达法则”求极限例求极限例题题练习练习:123lim2331 xxxx
17、xx2254lim31 xxx.41 比较比较:因式分解，因式分解，)3)(1()4)(1(lim231 xxxxxxx原原式式.41 27例例2xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx. )00(比较比较:xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式,1)1(tx 令令, )1ln()1ln(tx 则则.0,0tx时时当当. xxttxt)1ln(lim)1ln(lim00 )0( 28练习练习:2031)cos(sinlimxxx xxxx6cos)sin(sinlim0 .61 2031)cos(sinlimxxx 22032/sinlimxxx .61 或解或解等价
18、无穷等价无穷小替换小替换29例例3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx . 1 )00(xxx1arctan2lim 30例例4)00(xxxx10)1(elim ，xxy1)1( ，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及时分离非零因子及时分离非零因子 31例例5)( 注注: :0lnlim xxx, ,0 . . xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注:
19、 : xxxelim, ,0 . . 例例65elimxxx )( 45elimxxx . ! 5elimxx 32例例6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22 .3 )( 或解或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及时及时分离分离非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 33例例7解解.coslimxxxx 求求1s
20、in1limxx 原式原式)sin1(limxx 洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 .1lim2xxx 求求练习练习不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。.111lim20 xx原式原式解解极限不存在极限不存在221lim1limxxxxxx xxx21lim 34,0 例例8)0( 解法解法: :化为化为 或或 型不定式。型不定式。00 型型） 0 1 步骤步骤:,10 .0100 或或xxxlnlim0 ( (0 ) ) xxxlnlim010/1lim xxx xx 0lim1.0 其它不定式：其它不定式：, ,00,1 0 35例例9)( 0
21、101 0000 型型） 2步骤步骤: xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(21lim0 xx )00(.21 36步骤步骤:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例10)0(00e . 1 xxxtan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 对数恒等式对数恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 37例例11xxx 111lim)1( xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1
22、 或解或解( (重要极限法重要极限法) )： xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 38例例12.)(cotlimln10 xxx )(0 ,ln)ln(cotln xxy 取取对对数数得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1 原式原式,)(cotln1xxy 令令解解39练习练习)1( 解解,)sin(21xxxy 记记200lnsinlnlimlnlimxxxyxx xxxxxxsin2sincoslim20 206cossincoslimxxxxxx ,61 .)sin(lim210 xxxx
23、求求.e 61 原式原式xxxxx21sincoslim0 302sincoslimxxxxx 40求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 解解,1xn 令令，原式原式xxxxba10)2(lim ，令令xxxbay1)2( ，则则xbayxx2ln)ln(ln )1( 2)ln(e ab 原式原式xxxxxbabbaa lnlnlim0 xbayxxxx2ln)ln(limlnlim00 )00(，2)ln(ab .ab 例例13 这是数列极限这是数列极限, , 不能直接使用洛必达法则不能直接使用洛必达法则, , 要先化为函数极限要先化为函数极限. .41或解或解xxxxba
24、10)2(lim 原式原式xxxxba10)2111(lim xbabaxxxxxxxba2111120)2111(lim xbaxxx211lim0e 2lnlneba .ab axaxln1 )0(x求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 例例1342小结小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 433.3. 若若 不存在时不存在时, ,不能断定原极限是否存在不能断定原极限是否存在, ,此时法则失效此时法则失效, ,改用其它方法改用其它方法. .洛必达法则并不能解洛必达法则并不能解决一切
25、不定式的极限问题决一切不定式的极限问题. .)()(limxgxfax 应用洛必达法则应注意的几个问题应用洛必达法则应注意的几个问题: :1.1. 应用洛必达法则时要应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数分别求分子及分母的导数, ,切忌不要把函数切忌不要把函数当做整个分式当做整个分式来求导来求导. .2.2. 洛必达法则洛必达法则可以累次使用可以累次使用, ,但必须注意但必须注意, ,每次使每次使用前需确定它是否为用前需确定它是否为不定式不定式. .4.4. 使用洛必达法则时使用洛必达法则时, ,要灵活结合其它方法要灵活结合其它方法, ,如等价如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等
26、变无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等形、换元等. .44练习练习：P161 习题习题4.21.1.双号双号 3. 3.选做选做45第三节第三节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法46函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？0)( xf0)( xf47 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。小于零。
27、0)( xf0)( xf函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察结果：观察结果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加48xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf定理定理.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2( 上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在baxfyxfba 49证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得)
28、()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf ；上上单单调调增增加加在在,)(baxfy , 0)(),( xfba内内，若若在在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 50例例1 1解解.ln的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy . 1e xy,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(: D定定义义域域又又例例2 2.1e的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xyxxy1
29、 ,0 .)(ln单单调调增增加加严严格格在在定定义义域域内内所所以以xy 解解51例例3 3解解.)(32的的单单调调性性确确定定函函数数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上上单单调调减减少少；在在0 ,( 32xy xoy52例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x
30、, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在 1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2 53也可用列表的方式，也可用列表的方式，x1,(2, 1 ), 2 y y例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx54.,)(内内导导数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间的的定定义义区区间间数数分分函函用用驻驻点点及及不不可可导导点点来来划划
31、xf 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :注意注意: 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区不影响区间的单调性间的单调性.例如例如,3xy .),(上上严严格格单单调调增增加加但但在在 ,032 xy称驻点称驻点, 0)0( yxyo55例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)( ,), 0(,), 0)( xfxf且且上上可可导导在在上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f而而时，时，当当0 x,
32、0)( xf).1ln(xx 即即可利用函数的单调性证明不等式可利用函数的单调性证明不等式，)0()(fxf 56.0)( ,1e xxx证证明明不不等等式式例例6 6证证, )1(e)(xxfx 令令,1e)( xxf则则，时时当当0 x,0)( xf,0) 0()( fxf;1exx 即即，时时当当0 x,0)( xf,0) 0()( fxf.1exx 即即综上所述，综上所述，.1e 0 xxx 总总有有时时当当，57有且只有一个实根。有且只有一个实根。证明方程证明方程0arctan4 xx ，设设xxxfarctan4)( .1)1( ,4)0( ff .)(至至少少有有一一个个零零点点
33、函函数数xf.)( 至至多多只只有有一一个个零零点点xf.)( 单单调调增增加加xf0111)(2 xxf又又由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，有且只有一个实根。有且只有一个实根。0)( xf利用函数的单调性讨论方程的根利用函数的单调性讨论方程的根例例7 7证证58小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式实根的个数和证明不
34、等式.59问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点xyoNABM60观察与思考观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？61 定义一定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹上凹的；如的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是则称曲线在这个区间内是下凹下凹的。的。曲线凹向的定义曲线凹向
35、的定义凹的凹的凸的凸的62设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内可可导导. . 若若对对),(ba中中任任一一点点0 x, ,有有 , )()()()(000 xxxfxfxf , ),(bax 0 xx 则则称称函函数数曲曲线线在在,ba上上是是上上( (下下) )凹凹的的 曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的63xyo)(xfy 图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方：下凹所张弦的上方：下凹xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方：上凹所张弦的下方：上凹221xx 221xx )2(21xxf )2(21xxf 2
36、)()(21xfxf 2)()(21xfxf 1x2x64;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是上凹的内的图形是上凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),( 212121内的图形是下凹的内的图形是下凹的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba 定义二定义二xyo1x2x)(xfy xyo1x2x)(xfy 65观察与思考：观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的
37、单调性有什么关系？拐点拐点凹的凹的凸的凸的当曲线是上凹的时，当曲线是上凹的时， f (x)单调增加。单调增加。当曲线是下凹的时，当曲线是下凹的时， f (x)单调减少。单调减少。曲线凹向的判定曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。66设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内二阶可导二阶可导. . xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理( (1 1) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是上上凹凹的的； (
38、(2 2) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 则则曲曲线线)(xfy 在在,ba上上是是下下凹凹的的； 67例例8 8.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y；为为下下凹凹的的在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y；在在为上凹的为上凹的曲线曲线), 0 .)0 , 0(是是曲曲线线的的拐拐点点点点x yO3xy 68例例9 9.143 34区间及拐点区间及拐点的上凹、下凹的上凹、下凹求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),3
39、2()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(69例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2. 2. 若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号, ,则为拐点则为拐点, ,若同号则不是拐点若同号则不是拐点. .3的的拐拐点点求求曲曲线线xy ,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在, 0,), 0( y内内在在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点
40、点xy 70例例1111.32的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解当当0 x和和当当0 x时时, ,均均有有0 y, , ，3132 xy，3494 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx 故故)0, 0(不不是是拐拐点点. . 71练习练习：P168 习题习题4.32.(2)(3)(4) 3.(1) 4.(2)(4) 7. 10.选做选做72oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第四节第四节 函数的极值与最值及其应用函数的极值与最值及其应用73设设函函数数)(xf在在0 x的的某某个个邻邻域域),(0 x
41、U有有定定义义, ,且且当当),(0 xUx 时时, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极大大值值；如如果果当当),(0 xUx 时时, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,则则称称)(0 xf为为)(xf的的一一个个极极小小值值. . 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念, ,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . oxy0 xoxy0 x74定理定理1 1( (必要条件必要条件) )由费马引理
42、可知，由费马引理可知，若若)(xf在在极极值值点点0 x .0)( 0 xf处处可可导导，则则导数等于零的点称为导数等于零的点称为驻驻点点. . 对可导函数来讲对可导函数来讲, ,极值点必为驻点极值点必为驻点, , 但驻点只是极值点的必要条件但驻点只是极值点的必要条件, ,不不是充分条件是充分条件. . 如如3xy 的的驻驻点点为为0 x, ,但但它它不不是是极极值值点点. . 如如xy 在在0 x处处不不可可导导, ,但但却却是是极极小小值值点点. . 另一方面另一方面, , 不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点, , x yO3xy x yOxy 75 这就是说这就是说, ,极值点
43、要么是极值点要么是驻点驻点, ,要么是要么是不可不可导点导点, ,两者必居其一两者必居其一. . 我们把驻点和孤立的不可导点统称为我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值极值嫌疑点嫌疑点. . 下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件, ,用来判别这些嫌疑用来判别这些嫌疑点是否为极值点点是否为极值点. . 76定理定理2(2(极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x 设设函函数数)(xf在在0 x处处连连续续, ,在在0 x的的某某去去心心邻邻域域),(0 xU内内可可导导. . (1) (1) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 x
44、xx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为极大值点；为极大值点； ( (2 2) ) 若若),(00 xxx 时时, ,0)( xf, , ),(00 xxx时时, ,0)( xf, , 则则0 x为极为极小小值点；值点； ( (3 3) ) 如如果果在在上上述述两两个个区区间间内内)(xf 同同号号, ,则则 0 x不不是是极极值值点点. . xyoxyo0 x0 x 一阶导数一阶导数变号法变号法77例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 ,
45、1( 1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 ,)3)(1(3 xx78例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xfM79定理定理3(3(极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件) )设设函函数数)(xf在在它它的的驻驻点点0 x处处二二阶阶可可导导, ,则则 ( (1 1)
46、 ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极小小值值点点； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则 0 x为为极极大大值值点点； ( (3 3) ) 如如果果0)(0 xf, ,则则无无法法判判断断. . 称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”(1)(1)记忆记忆: :几何直观；几何直观； ( (3 3) )当当0)(0 xf时时, ,失失效效, ,如如: :32, xx在在0 x处处 . . xyo0 x xyo0 x 说明：说明：(2) (2) 此此法只适用于驻点法只适用于驻点,不能用于判断不能用于判断不可导点；不可导点； 80例例3 3解解.20243)(23的
47、极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点, )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 81(1) 确定函数的定义域；确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第二充分条件判定. .注意注意 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形. . 求极值的步骤求极值的步骤: :);(2)xf 求导数求导数(3) 求定义域内部的极值嫌疑点求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或即驻点或
48、一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点) )； 82oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在上上连连续续，则则在在若若函函数数baxfbaxf二、函数的最值二、函数的最值极值是局部性的极值是局部性的, ,而最值是全局性的而最值是全局性的. . 83具体求法：具体求法： (1) (1) 求出定义域求出定义域内部内部的极值嫌疑点的极值嫌疑点( (驻点和不可导点驻点和不可导点) ) kxx,1, ,并算出函数值并算出函数值), 2 , 1()(kixfi ； (2) (2) 求出端点的函数值求出端点的函数值)(),(bfaf； ( (3 3) ) 最
49、最大大值值 )(),(),(,),(max1bfafxfxfMk 最最小小值值 )(),(),(,),(min1bfafxfxfmk . 84例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值851 1）如如果果)(xf在在,ba上上单单调调, ,则则它它的的最最值值必必在在端端点点处处取取到到； 2 2）如果）如果
50、)(xf在在,ba上连续上连续, ,且在且在 ),(ba内可导内可导, ,且有惟一驻点且有惟一驻点, , 更进一步更进一步, ,若若实际问题实际问题中有最大中有最大( (小小) )值值, ,且有且有惟一驻点惟一驻点, ,则不必判断极大还是极小则不必判断极大还是极小, ,立即可以断立即可以断定该驻点即为最大定该驻点即为最大( (小小) )值点值点. . 则则若为极小值点必为最小值点，若若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；为极大值点必为最大值点； 说明说明: :86 将边长为将边长为a的正方形铁皮的正方形铁皮,四角各截去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一个无盖方盒折
