1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广 定理定理1 设函数设函数 f (x)满足条件：满足条件： 由上述的讨论，我们可以得到如由上述的讨论，我们可以得到如下定理下定理罗尔（罗尔（Rolle）定理。）定理。 设设 y= f (x)是一条连续光滑的曲线，并且在点是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相处的纵坐标相等，即等，即f (a) = f (b) ，如图，那么我们容易看出，在弧，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至小有一上至小有一点点C(, f ()，曲线在，曲线在C点有水平切线。点有水平切线。 （1）
2、在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续； （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导；内可导； （3） f (a) = f (b) .则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 . )(0)(baf 证证 因因 f (x)在闭区间在闭区间a,b上连续所以在上连续所以在a,b上一定取到最大值上一定取到最大值M和最小值和最小值m。 (1)若若M = m则则 f (x)在在a,b上是常数；上是常数； f (x) = M， x a,by o x ACBab3.1.1 3.1.1 罗罗 尔尔 定定 理理 由于由于 f (x)在在处取最大值，所以不论处取最大值，所以不论 x为正或为负，总有
3、为正或为负，总有 当当 x 0时时, (2)若若M m ，则，则M , m中至小有一个不等于中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设，不妨设 f (a) M 。因此，函数。因此，函数 f (x)在内在内(a,b)某一点某一点处取到最大值处取到最大值M 。我们来证。我们来证 。0)(f0)()(fxf0)()(xfxf0)()(lim)(0 xfxffx同理，当同理，当 x 0时时,0)()(xfxf从而从而 ，因此，任取，因此，任取 (a,b)都有都有0)(f0)( xf0)(f因此必然有因此必然有 0()( )( )lim0 xfxffx 3.1.2 拉拉 格格 朗朗 日日 中中 值值 定定
4、 理理 设函数设函数 f (x)在区间在区间a,b上的图形上的图形是一条连续光滑的曲线弧是一条连续光滑的曲线弧 ，显，显然然 是连接点是连接点A(a, f (a)和点和点B(b, f (b)的弦的弦 的斜率，如的斜率，如图图 所示，容易看出，在所示，容易看出，在(a,b)内至少内至少存在一点存在一点使弧使弧 上的点上的点C(, f ()的切线与弦的切线与弦 平行。平行。 ABABabafbf)()(ABAB图图y o x ACBab 由上述的讨论，我们可以得到如下定理由上述的讨论，我们可以得到如下定理拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理。中值定理。 )()()()(bafabafbf
5、 定理定理2 设函数设函数 f (x)满足条件：满足条件： （1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续； （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导；内可导； 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 )()()()(baabfbfaf或)()()()(axabafbfafy 分析：若分析：若 f (a) = f (b)即为罗尔定理，不妨设即为罗尔定理，不妨设 f (a) f (b) ，证明的，证明的思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。 容易看出，弦容易看出，弦 的方程为的方程为 AB 证证 作
6、辅助函数作辅助函数 )()()()()(axabafbfafxf即即 而曲线弧而曲线弧 与弦与弦 的纵坐标之差为的纵坐标之差为 ABAB它是它是 x 的函数，将其记为的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的，显然函数满足罗尔定理的条件。条件。 ,),(baxx),()()()()()()(baxaxabafbfafxfx0)()()()(abafbff显然显然 在上在上a,b连续，在连续，在(a,b)可导，且可导，且 )(x0)()(ba于是由罗尔定理，至少存在一点于是由罗尔定理，至少存在一点 (a,b) ，使得，使得 .),()()()(bafabafbf? . ).()()()( .,
7、存在什么样的关系与直线我们来看看曲线的切线该是每点处的切线而与曲线有关的直线应：线两个端点的直线因此，可得到一条过曲），（已知条件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy )(,(afa)(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT 与 l 平行这样的可能有好多( )( )( )()f bf afba .),()()()(bafabafbf()( )( )()f xxf xfxxxx 在区间在区间 上应用拉各朗日中值定理时，上应用拉各朗日中值定理时，结论可以写成结论可以写成 ,x xx 由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
8、 证证 在在(a,b)内任意取两点内任意取两点 x1，x2，不妨设，不妨设 x1 x2，显然，显然 f (x)在在a,b上连续，在上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点点 (x1，x2) ，使得，使得 推论推论2 若函数若函数 f (x)， g(x)在在(a,b)内可导，且内可导，且 推论推论1 若函数若函数 f (x)在在(a,b)内任意点的导数内任意点的导数 ，则，则 f (x)在在(a,b)内是一个常数。内是一个常数。 0)( xf)()()(1212xxfxfxf由条件知由条件知 ，从而，从而f (x2) f (x1)
9、 = 0。即。即 f (x2) = f (x1)。由。由 x1，x2是是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在在(a,b)内恒为一个常数。内恒为一个常数。 0)(f),(),()(baxxgxf),(,)()(baxcxgxf则在则在(a,b)内，内， f (x)与与g(x)最多相差一个常数，即最多相差一个常数，即其中其中c为常数。为常数。 ),(,)()(baxcxgxf 事实上，因为事实上，因为 ，由，由推论推论1可知可知 ),(, 0)()( )()(baxxgxfxgxf),(,)()(baxcxgxf 应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些
10、等式和不等式应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。例例1. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C又又,2) 1(f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证欲证Ix时时,)(0Cxf只需证在只需证在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使机动机动 目录目录
11、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 证明不等式证明不等式证证: 设设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有因此应有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.1.3 柯柯 西西 中中 值值 定定 理理 定理定理3 设函数设函数 f (x) 和和 g(x) 满足条件：满足条件： 作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西
12、定理：0)()3( xg则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 证证 先用反证法证明先用反证法证明g(b) g(a)0，若不然，即有，若不然，即有g(b) = g(a).则由罗尔定理知，至少存在一点则由罗尔定理知，至少存在一点x0 (a,b)，使得，使得 ，此与条，此与条件件(3)矛盾，故有矛盾，故有g(b) g(a)0。 0)(0 xg （1）在闭区间）在闭区间a,b上连续；上连续； （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导；内可导；)()()()()()()(bagfagbgafbf 注注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g
13、 (x) = x时的时的一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。 即即)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF显然显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 ，即，即 0)(F)(0)()()()()()(bagagbgafbff)()()()()()()(xagfagbgafbf 为证明等式成立，我们作辅助函数为证明等式成立，我们作辅助函数 法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他
14、兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建,
15、 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三三章 定理：设（定理：设（1） （2）在点）在点 的某邻域内（点的某邻域内（点 本身可以本身可以 除外），除外）， 及及 存在且存在且 （3） 存在或为无穷大，存在或为无穷大，则有则有0)(lim, 0)(lim00 xgxfxxxx0 x0 x)(xf )(xg0)( xg)()(lim0
16、xgxfxx00一一 两个无穷小量之比的极限两个无穷小量之比的极限 （ 型）型） 3.1.4 3.1.4 罗必达法则罗必达法则)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx.123lim2331xxxxxx解解: 原式原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .arctanlim12xxx解解: 原式原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx型机动机动 目录目录 上
17、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 . )0(lnlimnxxnx解解:型原式原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而而xxx21lim11lim2xx1用洛必达法则用洛必达法则 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 机
18、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在极限不存在)sin1 (limxxx1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( )lim()( )fxg x 不存在不存在)()(lim)()(limxgxfxgxf,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例5. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
19、 型. )tan(seclim2xxx解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化000取倒数转化0010取对数转化.lim0 xxx型00解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用 例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化000取倒数转化0010取对数转化.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到注意到xsin原式原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00机动机动 目录目录 上页上页 下页下
20、页 返回返回 结束结束 洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令令取对数取对数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限说明 目录 上页 下页 返回 结束 法国数学家, 他著有无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”
21、. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三节 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数单调性和极值一、函数单调性和极值 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点3.2函数性态的研究 第三章第三章 3.2.1 函数单
22、调性和极值函数单调性和极值1.函数的单调性函数的单调性若若定理定理 1. 设函数设函数)(xf( )0fx 则则 在在 (a,b)内单调递增内单调递增)(xf( )0) ,fx (递减递减) .证证: 无妨设无妨设,0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故故. )()(21xfxf这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.)(xf在在(a,b) 内可导内可导,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证毕证毕例例1. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间的
23、单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的单调增区间为的单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减区间为的单调减区间为).2,1 (12xoy12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxo1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变
24、函数的单调性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20 x时时, 成立不等式成立不等式.2sinxx证证: 令令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此因此且且证证证明证明 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02
25、x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当在其中当0 xx 时时, )()(0 xfxf(1) 则称则称 为为 的的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称称 为函数的为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称则称 为为 的的极小值点极小值点 ,0 x)(xf称称 为函数的为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .机动机动 目录目录 上页上页
26、下页下页 返回返回 结束结束 3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点为极大点52,xx为极小点为极小点3x不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在导数为极值可能出现在导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点为极大点 , 2) 1 (f是极大值是极大值 1)2(f是极小值是极小值 2x为极小点为极小点 , 12xoy12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 2 若函数若函数 f (x) 在点在点 处有极值，处有极值，且且 存
27、在，则存在，则0 x)(0 xf 0)(0 xf使使 的点的点 称为函数称为函数f (x)的驻点的驻点0)(0 xf0 xxaboy1x4x2x5x3x定理定理 1 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “由正变负由正变负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “由负变正由负变正” ,.)(0取极大值在则xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) )(xf 符号不改变符号不改变 ,则则 在在 处无极值处无极值( )f x0 xxaboy1x4x
28、2x5x3x例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 .解解:1) 求导数求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得得;521x令令,)( xf得得02x3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为0)0(f是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为52x33. 0)(52f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且处具有在点设函数0
29、)(xxf,0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0(3)()0 ,fx 若若不确定不确定例例2. 求函数求函数1) 1()(32 xxf的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点求驻点令令,0)( xf得驻点得驻点1,0, 1321xxx3) 判别判别因因,06)0( f故故 为极小值为极小值 ;0)0(f又又,0) 1 () 1
30、( ff故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下列命题是否正确？为什么？下列命题是否正确？为什么？ (1) 若若 ，则，则 x0是是 f (x)的极值点；的极值点；0)(0 xf (2) 若若 f (x) 在在 x0点取得极值，必有点取得极值，必有 ；0)(0 xf 解解 (1) 错误。如错误。如 f (x)x3 ，则，则 ，但，但f (x) 在在 x00点无极值。点无极值。0)0( f (2) 错误。反例为错误。反例为 ，易知，易知 f (x) f (0) ，即
31、，即x00 是是 f (x)极值点，但极值点，但 f (x)在在x00不可导。不可导。xxf)(,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能则其最值只能在极值点或端点处达到在极值点或端点处达到 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当 在在 内只有一个极值可疑点时内只有
32、一个极值可疑点时,)(xf,ba 当当 在在 上单调时上单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值点或最小值点值点或最小值点 .(小小)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.2.2 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 1 曲线的凹凸性曲线的凹凸性 定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方，定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方， 我们就称这段
33、曲线是凹曲线；我们就称这段曲线是凹曲线； 如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方，如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方， 我们就称这段曲线是凸曲线；我们就称这段曲线是凸曲线； 2曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分，曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分， 那么这两部分的分界点叫拐点。那么这两部分的分界点叫拐点。yox定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .)(xf设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导
34、数上有二阶导数4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下可得拐点的判别法如下:若曲线若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧异号两侧异号,0 x则点则点)(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,x
35、yo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxy24362 )(3632xx例例3. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1yy)0,(
36、),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上在),0(32凹凹凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32) 1 , 0(),(2711321. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 ,0上,0)(
37、 xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(xf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在机动 目录 上页 下页 返回 结束 .),(21)1,(2121e21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;第五节 目录 上页
38、 下页 返回 结束 112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:xxx
39、F2sin)(令, 0)0(F, 则)(xF )(xF)(xF是凸凸函数)(xF即xx2sin)20( x0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0机动 目录 上页 下页 返回 结束 (自证)1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实
40、际意义判别 .)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 特点特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf )(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计
41、误差如何估计误差 ?xx 的一次多项式的一次多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令)(xpn则则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxp
42、n)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202011.幂级数幂级数常用的几个函数的幂级数展开式常用的几个函数的幂级数展开式定义定义1： 给定数列给定数列 则表达式则表达式 叫做无穷级数（简称为级数），叫做无穷级数（简称为级数）， 记为或记为或 或或 。其中第。其中第n 项项 叫做无穷级数的通项或一般项。叫做无穷级数的通项或一般项。,21nuuunuuu211nnununu如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数；数项级数；如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。如果级数的每一项都是函数
43、，这级数叫做函数项级数。),()()()(21baxxuxuxun幂级数幂级数nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000其中其中 是常数，叫做幂级数的系数是常数，叫做幂级数的系数 naaaa,210nnnnnxaxaxaaxa22100 nnxnfxfxffxf!) 0 (! 2) 0 () 0 () 0 ()()(22. f (x)的幂级数展开式的幂级数展开式函数函数 f (x)在点在点x=0处的幂级数展开式处的幂级数展开式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1(
44、 n) 10(1nxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )
45、 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:令 x = 1 , 得e111
46、12 !n 当 n = 9 时e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x机动 目录 上页 下页 返回 结束 本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105 . 076总误差为6105 . 076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!2111机动 目录 上页 下页 返回 结束 英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人
47、 .英国数学家, 著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 .试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的在 1 ,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1 ()().(limnMn解解:)(xf,0)( xf令内的唯一驻点得) 1 ,0() 1(1 )1 (1xnxnnnxn)1 ( 1)1 (nxnxn机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1 e1)111 (limnnn11nx
