1、第五章第五章 参考椭球与大地坐标系参考椭球与大地坐标系补充知识：补充知识：第一部分第一部分 球面三角学的基本知识球面三角学的基本知识（ Foundation of Spherical Trigonometry ）v基本内容1.球面三角形 Spherical Triangular2.球面角超 Spherical Excess3. 球面三角公式 Formulae of Spherical Trigonometry 4.纳白尔规则一、球面三角形一、球面三角形定义:是指球面上三个大圆弧所构成的闭合图形球面三角形的边:a、b、c三个大圆弧叫球面三角形的边边,其值与所对应的球心三面角的面角同度 ,即:球面
2、三角形的角: A、B、C是各大圆弧组成的球面角叫球面三角形的角角，其值与球心三面角的二面角同度BOCaAOCbAOBcTTAAEEBBFFCC二、球面角超二、球面角超定义：定义：球面三角形三内角之和与平面三角形三内角之和的差叫做球面角超定义公式：计算公式：180CBA2RS式中， -球面三角形的面积，R-球的半径S三、球面三角公式三、球面三角公式在球面三角形ABC中正弦公式边余弦公式sinsinsinsinsinsinabcABCOabcBCACbabacBacacbAcbcbacossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscos角余弦公
3、式cBABACbACACBaCBCBAcossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscosCababBcCbabaAcBacacCbBcacaAbAbcbcCaAcbcbBacoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossin正余弦公式第一五元素定理第二五元素定理cABABbCcBABAaCbACACcBbCACAaBaBCBCcAaCBCB
4、bAcoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossincoscossinsincoscossin余切公式cos cossincotsincotcos cossincotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotcos cossin cotsincotaCabCBaBacBCbAbcACbCbaCAcBcaBAcBcbAB正切公式)2tan()2ta
5、n()2tan()2tan(babaBABA四、解算球面三角形的纳白尔规则四、解算球面三角形的纳白尔规则设球面三角形中有一角为直角，则该角余弦为0，正弦为1，代入前述公式可得球面直角三角形的计算公式便于公式记忆的纳白尔规则：将除直角（C）外的五个元素标成一环形：与直角C 相邻的两元素（a,b）照写，与直角相对的三元素分别以90度减之，则环形上任一元素的正弦等于（1）相邻邻两元素正切之积（2）相对对两元素余弦之积提示：90-c的相邻两元素为90-A，90-B; 90-c的相对两元素为a，b; 即：bacBAccoscoscoscotcotcos第二部分第二部分 垂线偏差与大地微分方程的导出简介垂
6、线偏差与大地微分方程的导出简介1.垂线偏差公式在球面直角Z1Z2P中按纳白尔规则，并考虑三角函数的幂级数展开式，取第一项： 后，有：cos)(LBBsecLsin)sin(1)cos(LLL即：垂线偏差公式为Rzu1tansin)(cot)cossin(sin)(ALAzAALAT ?2.拉普拉斯方程AAzzsincos?3.天文天顶大地天顶关系式（垂直角变换）Rzu14.大地弧度方程的导出简介NBLNBBNBBN旧旧旧旧新新新新新新）（）（coscoscos考虑大地坐标与空间直角坐标关系BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2经微分及变换后得 这里 dd
7、aAJdZdYdXJdHdBdL11新旧大地坐标关系关系NdH式中 BBHMLBLHMLBHNLBLBHMLBHNJsincos)(0sincossinsin)(coscos)(coscoscossin)(sincos)(BBeBBaMBeaNBLBaMLBaNBLBaMLBaNA222222sincos1 (sin1sin)1 (sincoscos1coscossincoscos1coscos从而得到基于新旧坐标转换的垂线偏差和大地水准面差距关系式 大地弧度方程000 sinsincoscoscos)(cos)(sinsin)(cossin0)(cos)(sinZYxBLBLBHMBHMLB
8、HMLBHNLHNLN新新新zyxLBBNeLBBNeLLBLBLB旧0coscossincoscossin0cossincossinsinsincos2225-1 地球椭球及其地球椭球及其定位定位的经典方法定位定位的经典方法（Classical Method of Ellipsoid Location）经典定位指参考椭球局部定位，是参心定位，局部密合，建立的坐标系统是经典二维坐标系，如1954北京坐标系、1980西安坐标系；这类坐标系主要建立和应用于上个世纪。一、一、大地起算数据与椭球定位（大地起算数据与椭球定位（Geodetic Datum and Ellipsoid Location）1
9、.概念概念椭球定位：椭球定位就是建立经典大地坐标系；它是按一定条件将具有确定元素的地球椭球同大地体的相关位置确定下来，从而获得大地测量计算的基准面和大地起算数据2.椭球定位任务椭球定位任务椭球定位：确定椭球中心的位置；椭球定向：确定椭球中心为原点的空间直角坐标系坐标轴的指向，也就量确定椭球短轴和椭球起始大地子午面的指向。定向定位的同时确定了大地水准面与椭球面的关系，为地面观测成果的椭球归算提供基准。3.椭球定位作用椭球定位作用椭球定位、定向的作用是建立大地坐标系，而建立坐标系的主要标志是确定了大地起算数据，起算数据的标志点即是大地原点，坐标系建立的精华成果集中在大地原点上反映出来。有了起算数据
10、，只需观测一些相对量（如长度、角度等）就可推算坐标。椭球面椭球面， ，zSd， ，Hg常，xyzN， ， ，iiiLBH， ，高斯平面高斯平面000LBH0， ，Aiixy，大大地地测测量量需需观观测测的的量量及及测测量量过过程程4.关于大地原点和大地起算数据关于大地原点和大地起算数据大地原点：国家水平大地控制网点大地坐标的起算点。大地起算数据：体现在大地原点上，共有四个个，包括大地原点的大地坐标值L0、B0、H0，以及大地原点至某一方向的大地方位角A0，这些数据构成了经典大地测量的基准。陕西泾陕西泾阳县永阳县永乐镇大乐镇大地原点地原点外部内景二、定位过程概述二、定位过程概述1.定位结果要达到
11、的目标：使地球数学化形状-参考椭球体与大地体最大化接近；使观测元素归算到椭球上不失实际意义；方便垂线偏差、起始大地方位角的解算2.定位结果必须达到的条件定位结果必须达到的条件 两个平行（两个平行（实际是个旋转问题：椭球坐标向天文坐标的旋转） 椭球的短轴与地球的自转轴平行，即实现起始大地子午面与起始天文子午面平行，即实现0,0yx0z实现两个平行的标志标志：标志（1）：下列广义垂线偏差公式与广义拉普拉斯方程得以最简化，为：sincoscossinsincoscossincossisinsinoncosscXYXYXYZZLLBcossinBLAL式（1）式（2）0ZYX或者说式（2）是式（1）取
12、 时的形式0ZYX0ZYX被称为椭球定向参数。定向参数。大地体：天文首子午面大地体：地球自转轴椭球体：大地首子午面椭球体：椭球短轴椭球放到大地体内部，并实现两个平行两个平行经典大地测量中参考椭球与大地体位置关系及两个平行问题在实现平行的条件下确定大地起算数据00000000000000sectanLBAHHN正于地球旋转轴。子午面，椭球短轴平行地子午面平行于首天文大位中的旋转，实现了首或者说是完成了椭球定仅实现了平行此时量得到通过天文测量、水准测和式中：常正,)(,00000HH式（3（形同式（2）000,ABL或者说，大地起算数据满足式（3），则一定满足双平行条件标志（2）：一个密合（实际是
13、个平移问题）密合的问题，实际上是一个如何确定式（3）中的 问题，这实际是个平移问题，类似于：2minN min2实际上是实现：观测量所加的改正数很小，垂线偏差和高程异常的数值会小一些，观测结果的归算也将变得更简单。)(,0000或N000N、000XYZ、参考椭球面与某一区域（如下个国家范围内）的大地水准面最为密合，在数学上就是实现最佳的结果是把椭球参心平移到地心，但经典大地椭球定位中仅实现了局部密合，无法做到这一点。)(,0000或N也被称作椭球定位参数3.椭球定位方法椭球定位方法方法一方法一:单点定位在大地原点上简单地取000000N，即认为：在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线方向重合，
14、椭球面和大地水准面相切。从而得到大地原点起算数据00000000LBAHH正，实质：将大地原点上所测的天文经纬度和天文方位角视为大地经纬度和大地方位角，大地原点上的正高（正常高）视为大地高。常用于缺少观测资料，如一个国家首个坐标系建立时；这种情况下并未达到最佳密合。方法二方法二:多点定位在多个天文大地点上列出弧度测量方程弧度测量方程，通过平差计算得到定位参数完成椭球的定位；在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线方向不重合，椭球面和大地水准面不再相切在区域内，椭球面与大地水准面最佳密合参心坐标系或局部坐标系二、弧度测量方程（二、弧度测量方程（Equation of Arc Measurement）
15、理论基础：椭球弧长（可实测，是观测量）是椭球几何参数长半径a和扁率的函数，建立的方程即弧度方程。古代国内外都进行过弧长测量，并计算过椭球参数，如古埃及学者埃拉托色尼（公元前276194年），他估算地球半径为6844KM，用过某形式的弧度方程。弧度方程可视作天文坐标与大地坐标的转换方程。1.近代弧度测量方程的建立特点近代弧度测量方程的建立特点建立在实测基础上，一般是在原有旧的椭球的基础上，利用天文、大地、重力和卫星测量等资料完成的，通过逐次趋近推算新椭球元素。如在1954北京坐标系基础上，利用天文、大地、重力测量结果列弧度测量方程，进而建立1980西安坐标系。coscoscosLBLBBdLdB
16、dNBBNNN新新旧旧旧新旧新新旧新新根据垂线偏差公式有:将另行导出的大地坐标微分方程代入上式，整理可得广义弧度测量方程式2.弧度测量方程推导弧度测量方程推导000sincos0sincossinsincoscoscoscossinsinLLNHNHBLBLBMHMHMHNBLBXLBYZ新旧222220sincossinsincossincos0sincossincossinsincoscos01sinXYZmBLBLBNLLeBBMNeBBLNeBBLNeB 旧2222222200cos2sinsincossincos11sin1sinsin1LBMeBNeBBBBBMH aMHNNMeB
17、eBBdada 旧旧旧旧旧三、多点定位的实现三、多点定位的实现1.在多个天文大地点上列出弧度测量方程（每点可列出三个）在多个天文大地点上列出弧度测量方程（每点可列出三个）每一个天文大地点上都可以列出如上式的3个弧度测量方程式2.依据 或 进行解算大地起算数据；注意：22新新最小2N新=最小22新新最小2N新=最小 和 中的垂线偏差分量与N是相关的，所以两者等价，但考虑后者变化较前者平缓，可更少受地球局部异常影响，解算结果精度更高，所以实践中主要使用后者。当采用正常高系时，使用注意：（1）假设椭球定位只需满足双平行条件，可仅采用弧度测量弧度测量方程方程中的第三个方程，在多个（大于6个）点上列出弧
18、度方程即可解出上述6个未知参数，回代广义弧度测量方程式即可得到每个点（包括大地原点）上的定位参数。（2）现代条件下，新建坐标系的椭球参数是已知的，建立新坐标系过程中的多点定位实际上就是在原来天文大地点上列出如下弧度测量方程。弧度测量方程。 min2022222001cossincoscossinsin(1sin)sin1NBLXBLYBZMaeBBNeNBa 旧旧旧旧旧新旧旧旧旧旧旧旧旧旧旧（）2N新=最小000Z、Y、XN、 、，、000N先解得新旧椭球中心的位置差 然后再代入弧度方程解算，从而求得各个天文大地点含大地原点上的最后得到新的大地起算数据。如1980西安坐标系的建立就是在1954
19、北京坐标系基础上通过上式先求定三个平移参数 ，再将平移参数并新椭球参数代入弧度方程进而获得大地原点的大地起算数据完成定位的。000XYZ、)(,N000Z、Y、X5454254225422054054540545480sin)sin1 (1)sin1 (sinsincoscoscosBJBJBJBJBJBJBJBJBJGDZaBBeMaBeaNZBYLBXBB min280GDZ1980西安坐标系建立进采用的过程方程和解算条件5-2 参考椭球参考椭球一、大地测量计算的基准面一、大地测量计算的基准面常规测量获得的平面观测量主要有：距离、方向和天文方位等，为了推求控制网点的坐标和进行其它测量计算，
20、必须选定一计算基准面。计算基准面应具备的条件（1）接近地球自然形体，使观测结果归算改正数尽量小（2）需是规则曲面，便于数学计算（3）计算基准面与大地关系要固定，以便建立起地面点和基准面点一一对应关系。最佳形体是三轴“梨形”椭球，但其不便计算最佳且实用的形体-旋转椭球体真实地球的数学化形状，其面为大地测量计算基准面椭球法线为大地测量计算基准线1. 1.诸椭球关系图及参考椭球作用诸椭球关系图及参考椭球作用参考椭球局部密合参心定位的参考椭球全球密合地心定位的参考椭球（总椭球）正常椭球水准椭球（大地水准面的规则化形状）地心、地固坐标系参心、地固坐标系旋转椭球（地球数学形状）地球椭球大地体（大地水准面）
21、（地球物理形状）参考椭球作用参考椭球作用测量计算基准（参考）面研究大地水准面的参考面地面点水平坐标、大地高的基准面地图投影的参考面物理形态2. 2. 大地水准面与地球椭球大地水准面与地球椭球21.4abkm在赤道面上，截线弧形状近圆，长轴指向西经15方向，长短半径之差为69.5m，赤道扁率为191827，约为极扁率的三百分之一 。ab大地水准面在子午面上的截线图大地水准面在子午面上的截线图大地水准面在赤道上的截线大地水准面在赤道上的截线子午截面上，长短半径之差二、参考椭球的几何参数及其相互关系二、参考椭球的几何参数及其相互关系常用几何参数bac2aba abae22bbae22长半径：短半径：
22、极曲率半径：第一辅助函数： BeW22sin1第二辅助函数： BeV22 cos1常用符号： Be costantB扁率：第一偏心率第二偏心率ab 椭球几何参数参数间的相互关系abeecaVWe21bae21abe2 1eee21eee21ace21cae211 e 222e21WVe21VWe小值大值21 e大值小值21 e注意：各关系式记忆时，有下列规律三、我国历代坐标系采用的椭球及其参数见有关参考资料三、我国历代坐标系采用的椭球及其参数见有关参考资料三、参考椭球上的点、线、面三、参考椭球上的点、线、面5-3 大地坐标系与空间直角坐标系的关系一、大地坐标系与大地空间直角坐标系定义1.大地坐
23、标系（Geodetic Coordinate System）（1）定义：以参考椭球面为基准面、以参考椭球法线为基准线，用大地经度L、大地纬度B、大地高H三个位置参数表示一点几何位置的坐标系。（2）坐标参数含义P0 - P点在参考椭球面上的投影点 ONGHBLP0PPKL大地经度： Geodetic Longitude： 0360或0 180 大地纬度：Geodetic Latitude ：090大地高：Geodetic Hight：向球面外为正，向球面内为负地球每地球每4分钟转分钟转1度度（3）大地坐标与天文坐标区别v大地坐标与天文坐标形式上相近,但有本质上区别:基准面不同:大地坐标-参考椭球
24、面;天文坐标大地水准面基准线不同:大地坐标法线;天文坐标垂线属性不同:大地坐标表示点几何位置的数学坐标;天文坐标具有物理意义，反映地球重力场特性获得坐标的方法不同:大地坐标观测间接量推算而得;天文坐标通过测量相对于恒星的方向值与精密时间测定获得v大地坐标与天文坐标可通过垂线偏差和大地水准面差距（高程异常）换算HNHABLu）（正,大地坐标与天文坐标图示表达及其相互关系NH),(NHP2.2.大地空间直角坐标系大地空间直角坐标系（1 1）定义）定义：以参考椭球面为基准，原点O位于地球质心（或参心）Z轴指向协议北极（或平行地球自转轴）、X轴指向首子午面与赤道交点（或平行于首子午面）、Y轴与O-XY
25、平面成右手系，以(X，Y，Z) 三个位置参数表示一点几何位置的坐标系。（2 2）坐标参数含义）坐标参数含义大地空间直角坐标大地空间直角坐标ONSGHBP0PPKXYZL2P1PXYZ空间直角坐标P(X,Y,Z)（3 3）空间直角坐标类型）空间直角坐标类型大地大地地心地心空间直角坐标系空间直角坐标系大地大地参心参心空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系大地空间大地空间直角坐标系直角坐标系站心站心法线法线空间直角坐标系空间直角坐标系站心站心垂线垂线空间直角坐标系空间直角坐标系站心站心赤道赤道空间直角坐标系空间直角坐标系站心空间站心空间直角坐标系直角坐标系3.3.其它空间直角坐标系
26、其它空间直角坐标系-站心空间直角坐标系系列站心空间直角坐标系系列站心地平法线空间坐标系定义：以测站点P为原点，以P点的法线为Z轴，指向天顶为正，以子午线方向为x轴，指向北为正，Y轴与XZ平面垂直，向东为正；左手系。另有：站心地平垂线空间坐标系、站心赤道空间直角坐标系、站心极坐标系等地球常用坐标系ONSGHBL0PnXYZ大地空间直角坐标系、站心地平法大地空间直角坐标系、站心地平法( (垂垂) )线空间直角坐标系、站心极坐标系线空间直角坐标系、站心极坐标系X(北北)Z(天顶天顶)Y(东东)地面地面ONSGHBL0PnXYZ大地空间直角坐标系、站心赤道直角坐标系大地空间直角坐标系、站心赤道直角坐标
27、系XZY地面地面站心赤道直角坐标系站心赤道直角坐标系是大地空间直角坐标是大地空间直角坐标系的平移系的平移4.4.左手系和右手系含义左手系和右手系含义BBdxdycot)90tan(0式中的x，y又需满足椭圆方程 12222byax上式对x取导数 yxabdxdy221. 1.建立一子午平面坐标系建立一子午平面坐标系L-x,yL-x,y在经度为L的椭球子午平面坐标系中：法线-pn； 法线长pn =PQ+Qn；大地纬度B。二、椭球法线长度的计算表达式二、椭球法线长度的计算表达式及及法线与大地坐标关系法线与大地坐标关系式（1）式（2）2.2.推导法线长公式推导法线长公式 在L-x,y中 ，根据直线斜
28、率定义有式（1）L-x,y坐标系坐标系yxeyxabB)1 (cot222Bexytan)1 (2将上式代入椭圆方程，得1tan)1 (2222222bBexax上式两边同乘Ba22cosBaBeBx222222cossin)1 (cosBaBex22222cos)sin1 (比较式（1）式（2）顾及 有 )1 (2eab式（3）VBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222WBaBeBaxcossin1cos22由上式求出x后，代入式（3）求出y，得以B为参数的椭圆参数方程 法线长法线长pnpn若设PnN(卯酉圈半径)，由图直接看出 BNxcos式（4）L-x,
29、y坐标系坐标系WaN 考虑式（4）中WBaxcosBeNysin)1 (2由图又可直接看出 BPQysin)1 (2eNPQ显然法线长法线长法线长pn =PQ+Qnpn =PQ+Qn中的两部分可分别表示为 2NeQn 法线长法线长pnpn还可表示为还可表示为再考虑式（4）中三、大地坐标与大地空间直角坐标互换三、大地坐标与大地空间直角坐标互换1. 1.空间直角坐标同子午面直角坐标系关系空间直角坐标同子午面直角坐标系关系 yZLxYLxXsincosL-x,y坐标系坐标系空间直角坐标系中的空间直角坐标系中的P P2 2P P相当于子午平面直角坐标系中的相当于子午平面直角坐标系中的y yOPOP2
30、2相当于后者的相当于后者的x x并且二者的经度并且二者的经度L L相同相同两坐标系关系：两坐标系关系：2.2.空间直角坐标系同大地坐标系关系空间直角坐标系同大地坐标系关系1 1）大地坐标换算至空间直角坐标）大地坐标换算至空间直角坐标当点位于椭球面上时：将子午平面坐标系坐标代入上式，可得由大地坐标计算空间直角坐标的关系式yZLxYLxXsincosBeNZLBNYLBNXsin)1 (sincoscoscos2BNxcosBeNysin)1 (2在L-x,y坐标系中写成矢量形式其中椭球外法线单位矢量为BeLBLBNZYXsin)1 (sincoscoscos20BLBLBnsinsincosco
31、scos当点P在椭球外，大地高为H时，大地坐标计算空间直角坐标的关系式。如下图示：P0为P在椭球上的法向投影点nH0BHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2由图知：即xy0 x0yOQH0PPBn大地坐标计算空间直角坐标的其它形式VBbZLWBaYLWBaXsinsincoscoscos2 2）由空间直角坐标计算大地坐标）由空间直角坐标计算大地坐标XYZ-LBH，由图可知点P的大地经度L的计算 2222arccosarcsinarctanYXXaLYXYLXYLHO0PXYZ2P1PXYZ3PBQBLPn点P的大地纬度B的计算)1 (22eNQPNeQKp
32、前已述及：由图可得22,YXPOZPP POKPPBNe cos2BNeOQcos2222sintanYXBNeZBZBNeYXBcoscot222或选代运算时，一般取初值为221tanYXZB点P的大地高H的计算)1 (sin2eNBZHNBYXHcos22或5-4 5-4 法截线法截线及其曲率半径及其曲率半径一、椭球上的面、圈、线一、椭球上的面、圈、线法截面法截面：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，过一点的法截面有无数多个。法截线法截线：法截面与椭球面的交线叫法截线，过一点的法截线有无数条照准面与椭球的交线是法截线，因而在大地计算中意义重大P2PO
33、P1BKpA法截线均可闭合，形成法截圈子午圈是法截圈中的一个垂直于子午圈的那个法截圈叫卯酉圈同一点上的法截圈的半径随方向的不同而不一样同一法截圈上不同点上的半径也不一样除法截圈外，椭球上还有一组重要的圈，即平行于赤道的圈-平行圈;平平行圈不是法截圈行圈不是法截圈l过平行圈上任一点，同方向法截线的形状都一样，即法截线的曲率与大地经度无关;方位角都为的两条法截线PP1和PP2在同一平行圈上的两点P和P处的曲率相等。YZXOP1P2PP附录：子午、卯酉的概念: 子午1. 指南北。我国古代以“子”为正北，以“午”为正南。 2. 指夜半和正午。子时:夜间11点至1点；午时:白昼11点至1点。卯酉:1.
34、指东西。古代以“卯”为正东，以“酉”为正西。2. 早晚。卯时:早晨5点至7点；酉时:傍晚5点至7点。卯酉圈A子午圈K任意方向法截线BPKxyBxydSdxdBDKE二、椭球上的法截线与平行圈曲率半径二、椭球上的法截线与平行圈曲率半径1.1. 子午圈半径子午圈半径MM由图示可知： 求M的公式dBdSMMdBdS在子午平面坐标系L-xy中，由微分三角形DKE可知BdxdSsin的增大而缩短随号表明中的BxdxOySGPPKXYZxQrB代入求M的公式dBdxMBsin1WBaxBeBaxcossin1cos22或在子午平面直角坐标系中由上式可知2cossinWdBdWBBWadBdx式（1）dBd
35、WdBBed22sin1BeBBe222sin12cossin2WBBecossin2BeW22sin1顾及代入上式得：BadBdxsin322cos1WBeW)cos(sin2223BeWWBaBeW222sin1顾及dBdx)cossin1 (sin22223BeBeWBadBdx)1 (sin23eWBa代入子午半径计算公式（1）dBdxMBsin1得子午半径计算公式32)1 (WeaM顾及椭球面元素间的基本关系式，子午半径计算公式还有下列等价形式3VcM 2VNM 子午半径变化规律在赤道上，子午半径M小于赤道半径a赤道至极点间M随纬度的增大而增大在极点上，M等于极点曲率半径C 在极点处
36、，M为极曲率半径cM随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间逐渐减小在赤道上，M小于赤道半径a说明MW、VB0 B900 B90 B 211eVW 112VeW 2322)1()1(eceaMcMea )1 (2 ceaM21M的变化规律（M是B的增函数）223333222222(1)(1)1sin1 cosaecaecMWVeBeBKNKNPP21aec0POM0K1PSPM的端点轨迹2.2.平行圈与卯酉圈半径平行圈与卯酉圈半径推导过程，由图示：卯酉圈是一个与子午圈垂直的法截圈;平行圈是一个斜截圈卯酉弧（圈）与平行弧（圈）两截弧平面夹角为大地纬度B，根据麦尼尔麦尼尔定理：过曲面一点
37、做法截弧、斜截弧，若该两弧具有公共切线（图中PT线），则斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦 若令卯酉圈的曲率半径为N，平行圈半径r则有：BNrcosWBaxrcos显然卯酉半径NWaN 顾及椭球面元素间的基本关系式，卯酉圈半径还可表示为下列等价形式VcN 由图还可知：BOPNPncosBrcosPn=N就是卯酉圈半径卯酉半径变化规律在赤道上，卯酉半径N等于赤道半径a赤道至极点间N随纬度的增大而增大在极点上，N=M等于极点曲率半径C，卯酉圈变为子午圈。 KNKNPPac0PONN的端点轨迹0 B900 B90 B 211eVW 112VeW021aNcecNa
38、2901aNec在极点处卯酉圈变为子午圈，N为极曲率半径cN随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间逐渐减小在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径说明NW、VBN的变化规律（N是B的增函数）22221sin1 cosacacNWVeBeB3.M、N的实用公式的实用公式上述子午圈曲率半径M，卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径，其实用的M、N的计算公式为 21222122232)sin1 ()sin1)(1 ()1 (BeaWaNBeeaWeaM将上两式按牛顿二项式定理展开，并取至8次项，即得两主曲率半径的实用公式BnBnBnBnnNBmBmBmBmm
39、M886644220886644220sinsinsinsinsinsinsinsin628628426426224224022022028789656743452123)1 (nenmemnenmemnenmemnenmemaneamo系数取值与椭球密切相关，带入不同椭球的参数，计算得到的系数将不同，使用时应注意与椭球参数相配合4.任意得方向法截弧曲率半径任意得方向法截弧曲率半径RA上述子午圈曲率半径M，卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90度或270度，子午圈为南北方向方位角为0度或180度,这两个法截弧在P点上是正交的，如右图示：任意法截
40、弧的曲率半径按尤拉公式计算：设曲面上任意一点的法截弧之大地方位角为A，则由主曲率半径可计算得该点方位角为A的法截弧的曲率半径RAAR1MA2cosNA2sinAMANMNRA22sincos将上式分子分母同除以M，并顾及221VMNABeNANRA22222coscos1cos1可得任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式 5. RA的变化规律的变化规律子午圈卯酉圈1432 当A=0（或A=180）时，RA=M，最小值； 当A=90（或A=270）时，RA=N，最大值 当A由0趋于90时，RA逐渐增大由M趋于N变化 当A由90趋于180时，RA逐渐减小由N趋于M变化 RA随A的变化以180为周期
41、的，对称于M、N变化A M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中称为主曲率半径。6.任意点法截弧的平均曲率半径任意点法截弧的平均曲率半径R法截弧的半径随点在椭球上的位置不同而变化，在同一点上又随方位角A的变化而变化，在任意点上：半径即是卯酉圈半径方向上在半径即是子午圈半径方向上在,27090,180020222022)tan(1cos21sincos0-21ANMAdANMMNdAAMANMNR在各象限内，RA随A的变化对称于子午圈和卯酉圈，因此求平均半径RA只需求出一个象限的RA的均值即可，即：AdANMdtANMt2costan令：将上式换元后：MNtdtMNR0212NRM关
42、系：23(1)aeMW3cMV221aeRW2cRVaNWcNVRMNMRN7.法截弧曲率半径法截弧曲率半径R、M、N间的关系间的关系CMRNMRN:在椭球的极点上在椭球的任意点上或赤道三、子午线弧长和平行圈弧长三、子午线弧长和平行圈弧长1. 1.子午弧长公式子午弧长公式BMdBXBMdBdxPPdB0:,子午弧长为的点的赤道至纬度为则间微分弧长与的点子午弧上纬差如图示2322232sin111BeeaWeaM21322221sin1BBeBdXaeB其中：上式是椭圆积分，不能直接积分，需按二项式定理展开成级数形式二项式定理2311211 x12!3!nn nn nnxnxxx 3222244
43、662315351sin1sinsinsin2816eBeBeBeB BBBBBBBBB6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin642即：其中：代入积分后：2221212121211(1)(sin2sin2)(sin4sin4)24(sin6sin6)6(sin8sin8)(sin10sin10)810BBXaeBBBBBBBBBBBCADEF2462468108108104611025436591638465536220572765204863451751+464256315525 +41651215105 553622
44、0510395409 +64256 616384eeeeeeeeeeeeee ABCD81081601031531185204813107231534651638465536639 35 +512 + 1310 2+7 eeeeee EF18057.2958 603437.7468 60206264.8 908其中的积分常数和单位变换式分别为公式中的sin8B项不超过0.3mm),(22LBPNO赤道赤道),(11LBP)(B,LPX2.由赤道起算的子午弧长由赤道起算的子午弧长公式公式子午弧长计算一般取： B1=0、B2=B；由上式还可给出由子午弧长求定纬度的实用选代格式如下2412QaeA还
45、可推出子午圈周长公式按1800年德兰勃椭球(a=6375653 m，1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m ，1米的最初定义。子午弧长实质上即纬度差（或纬差）初始值：迭代公式：迭代收敛条件：迭代收敛解为：12B()(1)XaeA单位：弧度ii 1i 12i 1i 1i 11Bsin2sin4(1)24 sin6sin8sin106810XBBaeBBBBCADEF201 1 2, 10iiBB, i, ,J()JB 弧度122112mmBXMBBBBBB当XLBLA, BBBCBA 3.相对法截线构成的图形4. 相对法截线间的夹角 1111212122cossin2tNSAAN
46、SA夹角定义：设正法截线AaB的方位角A1，反法截线AbB的方位角A1，相对法截线的夹角A= A1- A1221121sin24SAAN角量：若B10，A1 =45，A有最大值：S=25km A 0.004S=50km A 0.021S=100km A 0.985近似式五、大地线（五、大地线（Geodesic）相对法截线存在下列缺点相对法截线使图形破裂，破裂的图形无法作为计算依据；两点之间的法截线不唯一；法截线也不是椭球面上两点的最短线解决上述问题的办法引入大地线大地线1. 1.大地线（测地线）相关概念大地线（测地线）相关概念切线：过曲线上两点N，M的直线NM，当NM时，直线NM的极限位置法平
47、面：与切线垂直的平面密切面：过曲线上三点M，N，P作一平面，当N,P M时，平面的极限位置主法线：法平面与密切面的交线MNP切线主法线密切面法平面副法线测地曲率：过曲线上任一点作曲面的切平面，此切平面上该曲线的正投影在这一点的曲率曲面法线：过曲面上一点垂直于过该点切平面的直线POBKOT2.2.大地线大地线( (测地线测地线) )的定义的定义 定义1：测地曲率处处为零的曲线定义2：大地线是一曲面曲线，在该曲线上任一点的曲线主法线与该点的曲面法线重合定义3：大地线是一曲面曲线，在该曲线上各点的相邻两弧素，位于该点的同一法截面中 ，或者说大地线上每点的密切面都包含该点的曲面法线。3. 3. 大地线
48、的性质大地线的性质 性质性质1 1：大地线是椭球面上两点间的最短线：大地线是椭球面上两点间的最短线平面上两点的最短线：直线球面上两点的最短线：大圆弧椭球面上两点的最短线：大地线方向不变,不弯曲是两点之间距离最短的原因方向不变：每一点的主法线与曲面的法方向平行，也即测地线相对于曲面保持方向不变不弯曲：测地曲率处处为零性质性质2 2：大地线是无数法截线弧素的连线：大地线是无数法截线弧素的连线椭球面上的法截线中，只有子午圈和赤道是大地线大地线通过沿线各点的所有法截面性质性质3 3：椭球面上的大地线是横、纵双重弯曲的空间曲线：椭球面上的大地线是横、纵双重弯曲的空间曲线 横向弯曲（曲率）：椭球面的弯曲产
49、生。纵向弯曲（挠率）：法线不相交，法截面不重合产生 在一非常光滑的椭球面上，两点间绷一橡皮筋，那么这条绷紧的橡皮筋，就是两点间的大地线MNP切线主法线密切面法平面副法线 通常情况下，大地线靠近正法截线，并分相对法截线的夹角约为二比一，即u:v=2:1 在子午圈和赤道上，大地线和相对法截线重合 在平行圈上相对法截线虽然合而为一，但大地线、法截线和平行圈三者都不重合。在北半球，大地线在上，法截线居中，平行圈在下性质性质4 4：大地线位于相对法截线之间：大地线位于相对法截线之间4.4.大地线微分方程：大地线微分方程：v大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式大地线长度与大地经纬度、大地方位角
50、间的微分关系式v大地线微分方程是椭球面计算的基础大地线微分方程是椭球面计算的基础公式（1）、（2）适用于椭球面上的任意曲线MdBrdLP1PPOGPKcosrNB90BZdSAdLNLAdABdSNAdLdSMAdBsecsincosAdSMdBcosAdSrdLsinBNrcos公式（公式（1 1）公式（公式（2 2）由图知，在球面微分 中PPP 1MdBrdLP1PPTOGPKcosrNB90BZdSAAdAdAdLNL2PPTBdLNPTrdLdAcoscotPTNBBdLdAsinsintanAdABdSN公式（3）大地线专有微分方程用经差、纬差、方位角差表示的近似公式G公式（公式（3
